Représentations des élèves sur la leçon

Qu*est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ?

5 élèves pensent que cette leçon ne sert à rien. Les autres élèves ont plutôt parlé de la définition. À quoi sert une définition ?

Voici les réponses des élèves, avec leur nombre : 4 élèves .• à rien

13 élèves : pour appliquer (mais disent aussi qu’on pourrait l’énoncer avec ses mots, ou que dans la vie, ce sera inutile)

Ceci rejoint la réflexion du professeur :

Une définition dynamique sert aux constructions, donc il faut pouvoir expliquer, mais énoncer une définition telle quelle ne sert pas, les élèves doivent uniquement pouvoir l’énoncer aux interrogations.

4 élèves : pour comprendre le mot

5 élèves : pour comprendre la matière (dont tin pour aider à structurer) Un élève ajoute encore ;

Mettre par écrit ce qu’on a prouvé en classe, grâce à une définition, on peut mieux représenter dans sa tête le sujet abordé.

Réponses particulières d’élèves :

Une définition généralement, ça ne me sert à rien car moi je mise plutôt sur la compréhension. On peut rapprocher cette réflexion de celle du professeur qui explique qu’en classe, les élèves peuvent expliquer avec leurs mots ce qu’ils font. La définition en langage plus formalisé s’utilise aux interrogations seules, comme restitution. Et cela se remarque encore dans les réflexions suivantes ;

Je trouve que les définitions ne servent à rien. (2 élèves)

Du moment qu’on sait ce que c’est, il n’y a pas d’intérêt à apprendre par cœur. (2 élèves) Les définitions et propriétés servent encore pendant qu ’on est à l’école mais on oublie tout de suite après !)

 la retenir, ça ne sert à rien de spécifique, mais ça fait partie des maths.

3) Conceptions de l'enseignant

a) Sur les mathématiques enseignées à l’école secondaire

Ce qui arrive en premier lieu dans la réponse, c’est l’aspect pédagogique : apprendre en s’amusant. Mais ceci résulte de la propre conception que le professeur se fait de son enseignement et non d’une contrainte qui serait liée aux motivations des élèves et dont il subirait les retombées à regret. Ensuite, il signale que les mathématiques sont im outil pour les autres branches scientifiques, surtout la physique, puis il parle du raisonnement que les élèves peuvent acquérir en suivant ce coiu's :

Pour moi, ce doit être un plaisir pour les élèves (un cours de mathématiques), plaisir mais tout en étant très rigoureux. Donc pour eux, quand ils doivent sortir de mon cours, ils doivent avoir appris quelque chose en s ’amusant, en s ’amusant entre guillemets. Mais tout en étant conscient de la rigueur de notre cours, pour leur apprendre, justement moi ce que je leur dit toujours, c’est que mon cours de mathématiques, c’est un outil de travail pour les autres branches scientifiques plus tard et pour leur raisonnement. Même je crois que dans les études supérieures, si vous faites du droit où vous n ’avez pas besoin de mathématiques, vous

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

avez une rigueur de raisonnement qui est super importante. Donc, c 'est comme ça que je dis notamment, j’exige que ce soit présenter d’une certaine façon, même si au départ, ils en ont marre de mes exigences parce qu ’ils disent qu ’on arrive à la même réponse, c ’est pour leur montrer cette rigueur qui est importante notamment dans les définitions aussi. C ’est vrai que s ’ils savent me construire une médiatrice, c ’est bien, mais je leur dis qu ’au départ ils doivent utiliser le bon vocabulaire, la précision est importante

Le cours doit être un plaisir, et en même temps, il doit se montrer très rigoureux, en particulier les définitions sont l’occasion de montrer aux élèves qu’il s’agit de se montrer très précis, chaque mot de la définition a son importance. Par exemple, explique le professeur sur l’utilité d’une définition :

deux possibilités, enfin deux choses ! En classe, il peut me l ’expliquer. Par exemple si je dis une médiatrice, et que je demande qu’il m’explique comment je dois construire ma médiatrice, il va me l’expliquer et je dois suivre, et je vais suivre ce qu’il va me dire, pour bien lui montrer toutes les possibilités. Mais sur feuille, ça doit être précis. Et au moment, après quand je lui dis : « Donne-moi ta définition », elle doit être comme je l ’ai donnée en première, deuxième et, troisième je commence à être plus large. Mais première et deuxième,

ils n ’ont pas assez de vocabulaire, ils ne manipulent pas assez bien leur vocabulaire pour me permettre. Une droite et la droite, pour eux c ’est la même chose. Alors j ’ai beau leur montrer que c ’est pas du tout la même chose. Donc, en première et deuxième et même en troisième, je suis super exigeante point de vue des définitions ; mais en disant ceci, le professeur se situe plutôt dans le dessin géométrique lorsqu’il est en classe, et quand il exige une définition plus formalisée, il s’attache au langage de la vie courante : il est important qu’il soit précis. De la sorte, les mathématiques enseignées sont en quelque sorte un apprentissage pour la vie.

b) Sur les compétences et les compétences transversales

À la question de savoir si le professeur commence un nouveau chapitre par un exemple concret, il répond souvent. Mais ce problème n’est pas destiné à faire saisir la finalité de ce qui va être enseigné, parce que lorsque le chercheur lui a demandé: et ce problème concret, c ’est quelque chose qu ’ils peuvent résoudre ou qu ’ils ne pourront résoudre que quand ils auront vu la suite ?, il a répondu :

non, si je prends les rotations, ils ont résolu parce qu ’ils ont vu le dessin. Euh, parfois ils vont trouver par..., intuitivement, et après je reprends le problème en disant : «Ben maintenant qu’on a vu, on peut trouver la façon de calculer plus rapidement, que devoir passer ... ». Il considère les compétences de manière fort négative :

D’abord, les mathématiques, ben en soi, c’est d’abord savoir calculer. Ça, c’est le principal. Je trouve que, en primaire, ils devraient se limiter au calcul tout simplement et ne pas s’amuser avec des constructions de rotations etcetera, ce qu’ils font !...Ah oui, en cinquième ou sixième, il y a des élèves qui viennent avec des translations et tout, mais ils ne savent pas leurs tables de multiplication. Donc, moi les compétences, bon ..., c'est-à-dire, c’est leur outil de travail par après quoi. Donc, moi je dis, une équation, c’est une compétence, parce qu’ils en ont besoin par après, pour le cours de physique notamment. Donc, c ’est ça ! Donc, ici moi maintenant, si je prends dans mes petites classes, qu’ils sachent bien calculer d’abord, et après, je peux commencer, comme maintenant vous avez les rotations, c ’est une compétence, c ’est de voir dans l ’espace. Et ça, on peut, ils peuvent le retrouver dans leurs rosaces, dans leur papier peint, dans leur ... Non, je dirais que honnêtement je vais être très mauvaise, mais je ne regarde jamais mes compétences. Je trouve ça ..., pour moi, entre guillemets je m’en fous du nom qu’on donne... Mais oui parce que, au fait euh ..., moi je trouve que, d’abord on fait par, le nivellement par le bas à 100% et ce qui est grave. Oui, moi je trouve que c ’est,

qu ’il y a des questions qu ’on ne voit plus, on ne peut plus donner aussi fort, (a+b)^ en 3è, je ne peux plus voir normalement, mais on ne le voit jamais dans le programme hein. Donc, je dis il faut arrêter, chez madame le ministre qui vient ici demain à l'école, j'ai envie de lui dire, mais je dirai rien du tout ! ... Pour ce professeur, les compétences sont des aptitudes à résoudre certaines tâches, savoir calculer par exemple, ou à voir dans l’espace. Les mathématiques, répète le professeur, sont un outil, pour la physique, par exemple. Les compétences sont seulement im nom nouveau qu’on donne aux activités mathématiques. Ce professeur reproche vivement le fait qu’on ait supprimé une heure de mathématiques en première année au profit d’activités concernant l’histoire des mathématiques, supprimant par ce fait, l’occasion de travailler des calculs ou des constmctions géométriques. Il estime que les élèves ne sont pas prêts à cet âge pour s’intéresser à l’histoire des mathématiques de manière efficace.

Les mathématiques sont un outil, une matière à apprendre, et le professeur ne souligne pas que ce pourrait être l’occasion d’apprendre à réfléchir, ou alors indirectement, lorsqu’il explique que ses questions d’examen ont diminué de niveau. Il insiste sur l’utilité des mathématiques en physique, en les présentant comme un outil de travail :

Oui, moi je le dis en troisième, moi j'insiste que c 'est leur outil de travail. Mais le professeur en parle déjà dans les classes de première :

Si, je commence déjà avec les petits, en leur montrant. Mais eux ne savent pas ce que c 'est qu'un cours de physique, parce que ils ont cours de sciences maintenant, ou d'initiation scientifique, encore des beaux mots ... Donc, mais je leur montre, je dis que : « C'est vrai, pour aller chercher votre pain, votre x+y ça ne va pas servir à grand-chose. Mais j'essaye de dire : « Vous devez avoir de la rigueur, ça va vous aider à présenter des cours, à être bien clair, en physique, pour les présentations, ... ». Donc, je leur explique comme ça, mais sans leur montrer et tout. Mais ici maintenant, Pythagore, mais je leur dit écoutez, mon cours de Pythagore, super important, vous avez des architectes, et bien ils utilisent Pythagore tout le temps, vous avez un ébéniste, il va utiliser Pythagore. Voilà, donc ça je leur montre, oui. Finalement, les mots comme réfléchir, raisonner interviennent peu dans son discours et on a l’impression que la question du cadrage n’est pas prioritaire. Ainsi, à la suggestion : montrer en classe que l'enseignant ne trouve pas toujours immédiatement la solution d'un problème ou une démonstration n 'est pas à faire devant les élèves, il répond ;

oh si, si. Moi je le montre. Ah moi, tout à fait. Mais je suis très contente ...parce qu 'un élève qui va poser une question, je dis : « Ecoute, là, tu te mets dans le bain, on va réjléchir ensemble, je vais réfléchir et... ». Et il ajoute : c 'est ce que je dis, moi je suis un être humain. On n 'est pas des machines hein ... Et je suis contente, et c 'est ce que je dis à mes élèves, parce que parfois en démonstration de géométrie, ils me donnent une démonstration où là tout le monde peut aborder la démonstration différemment. Mais je dis, ils ne me donnent pas, je dis : « Attendez, ce n 'est pas du tout comme ça que j'allais l'aborder mais je n 'ai pas dit

que c 'était faux ! ». Donc, c 'est vrai que je vais regarder, corriger aux interros, c 'est la même chose. Ça prend plus de temps parfois, mais non, non, moi je suis tout à fait d'accord de dire que je ne sais pas. Effectivement, il parle de « réfléchir ensemble », mais il n’insiste pas sur le fait qu’il pourrait être intéressant de montrer comment réfléchir et faire face à un proWème.

4) Ce qui ressort de l'observation : les quatre tensions

a) Domaine

La définition de la rotation, même si elle n’est jamais rappelée de manière formalisée, se trouve dans un plan, on est donc dans la géométrie du plan comme c’était déjà le cas pour les

Ch^itre 10 Analyse des classes de deuxième année

autres transformations (symétries) (ligne 8). Mais, avec les mesures qu’il faut effectuer sur les angles, il faut ajouter des calculs, ce n’est donc plus tout à fait le même domaine de travail que précédemment. Cela semble paraître naturel pour le professeur qui ne le dit pas explicitement, mais on remarque dans les réactions des élèves, qu’ils éprouvent des difficultés (lignes 33-35).

b) Énoncé

La première définition, celle de la rotation, a été vue lors de la leçon précédente, dans cette leçon-ci, le professeur se contente de donner les caractéristiques d’une rotation (lignes 9-12). La seconde définition, qui concerne la notion d’angle orienté qui intervient dans la rotation, n’est jamais définie dans un domaine mathématique précis ; le professeur se contente de la faire saisir par les élèves en suggérant des constructions ou une illustration de la vie courante des élèves et en indiquant des remarques. Plusieurs non-dits apparaissent qui posent problème aux élèves (lignes 39, 43, 48, 55). Cette définition n’est pas donnée explicitement, seulement quelques remarques interviennent.

c) Validation

En ce qui concerne la rotation, ime description est rappelée (lignes 1-4).

Pour la seconde définition, celle qui concerne l’addition d’angles orientés, étant donné que l’énoncé explicite n’est pas présenté, l’objet introduit provient immédiatement de la réalité sensible, il s’agit d’im savoir faire de construction. Toutefois, on se rend compte que les élèves éprouvent des difficultés à comprendre ces angles orientés et leur addition, et qu’ils cherchent à préciser cela en mathématiques (lignes 39,43,48, 55).

De plus, on peut définir l’addition de 0 à 360 degrés ou de - 180 à + 180 degrés. Mais le professeur, sans doute dans un souci de ne pas surcharger les élèves, ne fait pas explicitement la différence : 0< a <360 ou -180< a <+180. On se rend compte (lignes 38, 48, 55) que les passages entre la situation et le contexte, implicites, posent des problèmes aux élèves. Si on analyse les programmes et le référentiel des Socles de compétences auxquels doit faire référence le professeur en préparant son cours, on se rend compte que les conventions ne sont jamais signalées. Au contraire, ils préconisent de souligner le caractère non arbitraire de ce qu’il faut enseigner, mais jamais l’aspect conventionnel. Que se serait-il passer si le professeur avait donné la définition formelle de cette addition ? On ne peut rien dire à ce sujet, seulement émettre des hypothèses.

Soit, les élèves ne saisissent pas ce que signifie cette définition, et pour qu’ils arrivent à comprendre, cela peut prendre du temps, trop peut-être aux yeux du professeur. Soit, ils la saisissent, se l’approprient, et dans ce cas, une procédure peut se construire et s’automatiser. Mais dans ce cas, l’aspect conventionnel de cette règle risque de se présenter, au premier abord, comme arbitraire aux yeux des élèves, et le professeur doit fournir des explications.

d) Représentations

On note la présence du « je » chez le professeur, qui reste dans des constmctions de figures dans le plan. Les élèves restent dans une représentation indiciaire, qui fournit seulement l’indice d’un concept, ou qui traduirait plutôt un mouvement obtenu dans la réalité sensible (lignes 15, 17, 19, 26, 28).

5) Compétences idiomatiques

Elles ne sont pas présentes ici.

6) Conclusions

Le professeur souligne l’aspect calcul des mathématiques dans son entretien, et cela se remarque aussi dans les réponses des élèves. Par contre, l’utilité en physique, et la rigueur des énoncés formalisés dont le professeur fait écho dans l’entretien, n’apparaissent pas de manière explicite en classe. Toutefois, entre ce que dit et ce que fait le professeur en classe, il existe assez bien de concordance : il précise au début du cours, ou fait préciser par les élèves, ce qu’il entend par rotation pour que le cadre de travail soit net (il indique au tableau les caractéristiques d’une rotation).

Lorsque les élèves apprennent une définition, l’expression formelle qui leur est enseignée sert à se montrer très précis sur l’objet qu’on définit. Mais dans la situation de classe courante, l’élève peut expliquer avec ses mots et cela semble concerner surtout le domaine des constructions. Le professeur travaille des dessins géométriques, et les énoncés formels des définitions ne paraissent pas avoir au départ, d’autre but que la dénotation de l’objet en deuxième année du moins. Par la suite, ils interviennent dans les démonstrations en troisième et en deuxième : mais en deuxième, mes définitions vont intervenir notamment pour chercher tous les invariants. Donc quand ils vont chercher avec les rotations, on va voir la médiatrice ... . C’est plus recherche en deuxième. Selon le domaine de travail, les élèves utiliseront l’un ou l’autre énoncé.

Lorsque le chercheur pose la question : L'apprentissage des mathématiques au début du secondaire doit servir à poser un regard critique sur la vie de tous les jours. Que pensez-vous de cette affirmation ?, il répond : non, je ne vois pas, ou alors un chapitre : grandeurs proportionnelles, on peut prendre à ce moment-là : consommation d’essence...Sinon, non.

Le regard critique porterait sur une situation et nécessiterait sans doute une argumentation. Mais celle-ci se ferait sans une construction dont la structure serait semblable à une théorie, comme ce pourrait être le cas en mathématiques, à moins que le professeur n’envisage pas des mathématiques très structurées sous la forme de théories. Il n’a jamais émis de réflexion en ce sens au cours de l’entretien. La question reste néanmoins en suspens.

Au cours de la leçon, le professeur précise comment effectuer des additions sans donner la règle formelle d’une telle opération, ni préciser sur quel ensemble de nombres on travaille. Mais lors de son entretien, le professeur insiste sur l’idée qu’un objet peut en quelque sorte, être défini de deux manières : soit un élève peut expliquer avec ses mots, et il s’agit plutôt de l’explication de la construction, soit il donne un énoncé plus formalisé, que l’élève doit connaître aussi. On aurait donc un seul objet défini de deux manières différentes. Toutefois, chaque définition concerne un domaine : le premier concerne des dessins, le second des énoncés géométriques. Et il ne semble pas que dans ce dernier cas, le professeur insiste sur l’existence comme la possibilité de construire un concept. De toute façon, il n’a pas défini de cette manière au cours de la leçon observée.

7) Représentations des élèves

À quoi sert ton cours de mathématiques ?

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

Poiir 70% des élèves, c’est un outil de calculs (en général, ce sont les mêmes que ceux qui attribuent l’intérêt des mathématiques à la vie courante)

61% estiment que les mathématiques serviront plus tard, pour leur métier.

Pour 8 élèves, elles apprennent à réfléchir (soit 35%) mais, pour la plupart d’entre eux, c’est aussi xm outil de calcul en usage dans la vie courante.

9 élèves répondent à la fois que leur cours de mathématiques leur apprend à calculer, mais ils sont néanmoins en attente d’un sens différent à donner.

L’intérêt d’apprendre quelque chose de nouveau se situe au niveau des exercices de construction.