Enseignement secondaire supérieur - Professeur 1 - Classe 1

1.

Observation de la leçon

Le sujet de la leçon porte sur le plan projectif et les coniques.

Les élèves ont vu les coniques réduites dans le plan cartésien. Il s’agit d’une classe de 12 élèves, de dernière année du secondaire (17 ans), section maths fortes. La leçon a duré deux heures (de 50 minutes).

Le professeur a fait la remarque au chercheur qu’il se rendait compte que ce qu’il allait donner, le rapport de section, n’était pas rigoureux, mais que cela facilitait la suite de la leçon et qu’en général, cela passait bien auprès des élèves.

1 P - Je vais d’abordfaire quelques rappels. [Au tableau]

A) Rapport de section

Le rapport de section du point C sur [AB]= au rapport de AC sur CB AC

k= — CB

2 P - Si on donne les coordonnées des points A, B, C [et en même temps, il écrit au tableau]: [Au tableau]

A(ai, a2) etc.

3 P - quelles sont les coordonnées du vecteur AC ? 4 E - ai + Ci? [D’un ton hésitant]

[Au tableau, le professeur note :] Ci-ai et C2-a2

5 P - et quelles sont les coordonnées du vecteur CB ? 6E- bi-ci, b2-C2

AC

7 P - Voyons, si on part de l'égalité k = et qu ’on transforme en coordonnées, qu ’est-CB

ce qu ’on obtient ?

[Au tableau, le professeur écrit en même temps qu'il dit] ci-ai= ?

C2-a2=k(b2-C2)

8 P - et Ci = ? [Au tableau, il note :]

Ci = kbj l + k C2 = ld>2 +a. l + k

[Il se retourne vers ses élèves]

9 P - on peut en déduire les coordonnées de C Exemples

[Au tableau, il dessine :]

10 P- et k] = ?

11 E- 1

12 P- oui, car ACjetCiB ont même longueur. 13 P- Que vaut k2 ?

14 E- 2

Le professeur ne relève pas l’erreur de l’élève mais il reprend l’exemple en montrant, au tableau, le dessin du doigt et en indiquant ainsi l’opération.

15 P - vous imaginez les coordonnées. 16 P - k2 = ?

17 E - -3 [un bref signe d’assentiment de la part du professeur] 18 P - Je place C3, que vaut ks ?

[En même temps, le professeur écrit au tableau]

A B C

3

—^^--- 1---

^^---0 1

ks=?

19 E- -6 ou-7

[L’élève a évalué la réponse, trop rapidement, il se trompe et le professeur corrige.] 20 P - = - 3/2

On prend un point de Vautre côté pour voir s ‘ il existe une différence. On prend c de coordonnées (-1):

Que vaut k dans ce cas ? 21 E- k = -l/2

22 P - intuitivement, si C s'éloigne, de quoi va se rapprocher k ? 23 El - l’infini

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

[L’élève fait correspondre k avec l’abscisse de C.] 24E2- 0

Ceci serait exact si on additionnait AC et CB, mais pas pour leur rapport. 25 E3 - 1

[Ici, l’élève se contente des mesures de AC et BC; effectivement elles tendent vers l’égalité. Mais il n’a pas tenu compte du sens.]

26 E- -1

27 P - plus on est loin, plus le rapport de section se rapproche de -1. Donc, si C tend vers l'infini, à droite ou à gauche, k tend vers -1. C 'est OK ?

28 E - k est toujours différent de -1, Je suppose ? Car on divise par 0.

29 P - justement. A tout k correspond un point C de la droite. Donc, on peut dire que : [Et le professeur écrit au tableau en même temps qu’il dit ;]

[Au tableau]

a, +kb. ‘ 1 + A:

30 P - que représente ce système ? 31 E - des équations paramétriques

32 P - tout à fait. Ce sont des équations paramétriques d’une droite. Ceci est valable pour tout k, excepté pour k = -1. Par conséquent, la donnée de 3 nombres réels permet de

définir n 'importe quel point C. Donc : [Et le professeur écrit au tableau]

[Au tableau]

La donnée de 3 nombres réels ai + k bi, ai + k b2, 1 + k permet de définir un point C de la droite.

33 P - Le problème est pour k = -1. On va dire ??

[Le professeur se tourne vers la classe et pose un regard interrogateur.] 34 E - que C est à l'infini.

35 P - ce qui donne la direction de la droite. On va retrouver quelque chose de connu. [Et le professeur écrit au tableau et dit en même temps ;]

[Au tableau]

Seul k = -1 ne conduit pas à un point du plan affin. Pour pallier à cet inconvénient, on définit un nouveau point (k = -1), donné par (ai - bi, a2 - b2, 0)

36 P - que représente (ai - bi, a2 - b^) ? 37 E - le vecteur AB

39 E - un vecteur directeur.

40 P - le point à l'infini sera le « vecteur directeur de la droite ». [En insistant sur la dernière expression]

41 P - et que vaudra le coefficient angulaire ? Par exemple, (3, 4) = ^ implique que le coefficient w = 4/3. C’est le coefficient angulaire. Les nouveaux points qu’on vient de définir sont les points à l’infini. Ou la direction du point à l’infini : (1, w, 0) de la droite. On définit ainsi les coordonnées homogènes.

42 E - pourquoi y a-t-il un zéro ? 43 P - car ce sont les points oùk- -1. On passe au point suivant.

[Et le professeur écrit au tableau et dit en même temps :] [Au tableau]

B) Coordonnées homogènes

44 P - les points qui ne sont pas à l'infini, sont appelés des points propresi ) Les points à l'infini sont des points impropres.

[Et le professeur continue après un bref instant de silence] [Au tableau]

lè définition ; tout point propre P (pi, pi) du plan affin est déterminé par (mpi,

mp2, m), ;

2è définition : un point impropre (à l’infini) est déterminé par

rmp,-^ mp^

0

45P-

46

E-comment puis-je l'écrire autrement ?

Pi

vOy

47 P - comment fait-on pour passer aux coordonnées homogènes ? On ajoute z ! Quelles sont les équations homogènes ?

48 E - ? [Les élèves cherchent sans succès, des murmures dans la classe]

En fait, le professeur change de domaine, il passe à la trigonométrie, mais sans le dire explicitement. Et les élèves ne s’en rendent pas compte.

49 P - les équations homogènes trigonométriques ? On a déjà vu ça ! [S’exclame le professeur]

50 E - la somme des exposants est pareille dans chaque terme

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

Il y a une analogie à faire entre des domaines différents. 51 P - oui

Prenons un exemple

[Et le professeur écrit au tableau] [Au tableau]

Il suffit d’ajouter la variable z telle que tous les termes soient du même degré en x,

y, Z.

52 P - le passage inverse : on pose z = 1 ; en général, on utilise des lettres majuscules. On se rend compte dans quel type de coordonnées on est, c 'est de voir les majuscules. Par exemple, si je vous donne :

3x — 2y + 5 = 0. En coordonnées homogènes, qu ’est-ce que cela donne ? 53 E - 3xz - 2yz + 3z = 0

54 P - pourquoi ?

On dirait plutôt 3x — 2y + 5z = 0

Et une ellipse en coordonnées homogènes ?

56 P - En homogènes, cela donne ? 57 E - le « 1 » égale z^

58 P - 9x^ + 16y^ = 144 [en même temps, il écrit l’équation au tableau] Soit en homogènes :

9x^ + 16y^ - 144z^ = 0 59 El - à quoi ça sert ?

Cet élève ne remarque pas l’intérêt des coordonnées homogènes, qui est de pouvoir considérer l’infini comme un point ordinaire, et d’établir une classification des coniques, ce qui se verra plus loin. Le professeur propose ici une théorie, et comme nous l’avons vu dans la partie empirique, il faut l’avoir lue jusqu’au bout pour la saisir pleinement. Mais d’un autre côté, les élèves sont pris par l’oralité de la leçon qui est souvent linéaire. Toutefois, ici, cette linéarité n’est pas ou plus possible. 60 E2 - cela va venir par après !

L’élève E2 n’a pas envie d’être distrait par im autre type de discours. Cet élève-ci se rend compte que cette leçon n’est pas linéaire, qu’il faut aller jusqu’au bout pour comprendre. Plus loin, nous verrons que le professeur fait également une remarque en ce sens (ligne 162).

61 P - la droite à l’infini est formée par tous les points impropres. Quelle sera son équation ?

62 E - y = mx + pz ? 63 P - non ! Réfléchissez !

Et l'axe des y ? 64 E- x = 0

65 P - moui. Et la droite de l'infini ? Qu 'ont-ils en commun tous ces points ? 66 E - 0!

61V - qu 'est-ce qui sera égal àO ? 68 E - Z !

69 P- ok!z = 0 Ça va ?

70 E - C 'est quoi une droite à l'infini ?

Il est difficile de se représenter une droite dans un plan projectif. La représentation indiciaire habituelle (cf le fil tendu) n’est plus la bonne. La seule façon de se représenter correctement une droite, c’est par son équation. On peut se poser la question de la nécessité de cette représentation indiciaire qui agit comme une inférence immédiate et que les élèves sont obligés d’abandonner.

71 P - c 'est la droite composée de tous les points à l'infini. C 'est difficile à s'imaginer !

C 'est l'ensemble des points de la forme : ^b vOy

Pour les élèves, une droite est ime figure géométrique bien particulière et il lui correspond une équation du premier degré. Mais ici, la droite est définie par l’équation. La figure géométrique « ne fonctionne plus » comme inférence immédiate. Du coup, les élèves doivent nécessairement avoir en tête la représentation algébrique et seulement celle-là.

[Et le professeur écrit au tableau] [Au tableau]

Points remarquables

72 P - dans le plan affin, les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires. [Au tableau]

73 P - quelles sont les coordonnées de l'origine, en homogènes ? 74 E - sais pas

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

La question paraît trop générale, les élèves sont submergés. Le professeur s’en rend compte et découpe la question en sous-questions. Du coup, les élèves peuvent

répondre :

75 P - est-ce un point propre ou impropre ? 76 E - un point propre

77 P - quelle est l'abscisse, quelle est l'ordonnée, et quelle est la troisième coordonnée ? (0\

78 E- ⁰

vly

79 P - quelles sont les coordonnées du point 1 sur l'axe x ?

80 E ⁰

vly

81 P - comme elles sont proportionnelles, on peut prendre n'importe quoi, prendre 1.

[Le professeur écrit au tableau]

Donc autant

[Au tableau]

82 P - que vaut le point à l'infini sur l'axe x ?

rn

83 E ⁰ vOy 84 P - et sur l'axe y ? ^0^ 85 E- ¹

86 P - imaginons qu ’on dessine la droite de l'infini. Quelle est l'équation de la droite qui passe par l'infini ?

rn 87E- ¹ .0. 88P- non fm^ 89 E- ^m .0, 90 P- non,

Pourquoi donner une seule direction pour l'infini? Que vaut le coefficient angulaire ?

91 E- m

rr

92 P- donc. ^m

.0. 93 E- le problème

[Et le professeur écrit au tableau et dicte en même temps] [Au tableau]

c) Coniques dans le plan projectif

94 P - dans le plan projectif, tous les points jouent le même rôle. [Et le professeur continue au tableau et dicte en même temps]

Ligne 93. Cet élève a mis le doigt sur une difficulté cruciale de la leçon, celle qui les force à abandonner leurs représentations habituelles qui constituent un obstacle épistémologique.

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

Ligne 94. Le professeur se rend compte de cette difficulté, nouvelle, qui consiste à ne plus pouvoir se représenter une droite par une figme à laquelle ils sont habitués depuis de longues années (même déjà à l’école primaire). Pendant plusieurs années, la droite était la figure géométrique. Puis est venue son équation, la figure devenant progressivement ime représentation indiciaire. Maintenant, même cette figure devient fausse. Et pour les élèves, la difficulté est grande de quitter cette figure et de s’attacher uniquement à l’équation. Pour le professeur, la suite de la leçon doit

progressivement habituer les élèves à cette nouveauté. [Au tableau]

Toute conique est le lieu des points dont l’équation du second degré est homogène en(X, Y, Z)

C = conique

95 P - après les termes en X^, Y^, Z^, viennent les termes en ? 96 E - X, Y. Z

97 P - non, on doit garder du second degré 98 E - alors, XY, XZ, YZ

[Et le professeur écrit au tableau] [Au tableau]

C = CiiX" + 2C12XY + C22Y^ + 2C13XZ + 2C23YZ + C33Z2 = 0 99 P - ces notations sont utilisées pour pouvoir être mises dans une matrice.

Pourquoi « 2 » ? Parce que dans la matrice, on a une symétrie, de sorte que Cu est la moitié du terme.

[Et le professeur développe la matrice au tableau] [Au tableau]

(c

_{'^11 *^12} C C _'-'13

^

c c c

'-"12 '-"22 '-"23 ^Cj3 C23

100 P - c 'est une matrice symétrique 101 E - pourquoi ces indices ?

102 P- Ci2 = C2i parce qu 'elle est symétrique. Prenons un exemple :

[Et le professeur écrit au tableau] [Au tableau]

C = 2X^-4XY-^-6XZ-YZ+13Z" = 0 103 P - quelle est la matrice correspondante?

104 E-^2 2 -2 0 ^ 3 -1/2 -2 ^ -1/2 13 y

[Les élèves hésitent et doublent d’abord certains coefficients.]

Le professeur alterne équation et matrice sans rappeler les manières dont on use pour multiplier les matrices entre elles. En fait, il se situe dans les équations ; les matrices sont un moyen de calculer. La représentation qu’il souhaite faire construire chez les élèves est celle des équations. (Il estime sans doute que les calculs matriciels sont bien mmtrisés par les élèves).

105 E - c 'est la diagonale ?

106 P - oui. Et si on reprenait les équations canoniques connues ? [Et le professeur écrit au tableau et dicte]

[Au tableau] 9 25

107 P - qu ‘est-ce que cela donne en homogènes ? [Au tableau, il ajoute]

25X" - 9Y" - 225 Z" = 0

108 P - quelle est la matrice correspondante ?

(25 ° ° >

109 E- ah! ^O

° -225j

C’est une matrice, non... Pas grave !

110 P - cette conique a-t-elle des points à l’infini ? Comment fait-on pour le voir ?

111 E - on remplace z par 0 112P- pourquoi?

113 E - parce que z = 0 àl ‘infini 114 P - on obtient

[Au tableau] 25X-9Y" = 0

115 P - on a combien de points à l‘infini ? 116E- 2

117 P - ce seront quels points ? 118E- (5,-3,0)

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

119 P - ce ne sont pas des coordonnées?

120 E - non, ce sont les directions de n 'importe quelle moitié

121 P - en français ? [C’est-à-dire en utilisant le langage idiomatique adéquat] 122 E - ce sont les points à l'infini de n 'importe laquelle des demi-droites 123 P - c 'est une hyperbole

124 E 1- existent-il des obliques ? 125 E2 - les asymptotes

126 P - les deux points à l’infini seraient ? [Regard interrogateur vers sa classe] 127 E - les points à l'infini des asymptotes

128 P - considérons une ellipse maintenant

[Au tableau, le professeur écrit et dicte en même temps]

25X^ + 9Y" - 225 = 0 129 P - quelle est la matrice ? [Au tableau]

(25 ° ° "

O ç O

° ° -225

130 E - pourquoi y a-t-il des zéros partout ?

131 P - parce que il n 'existe pas de terme en XZ, YZ, ... 132 E- c’est juste

133 ? - on fait Z = 0

[Au tableau, le professeur continue] 25X" + 9Y^ = 0

134 P - quel est le nombre de solutions ? 135 E - 1 (0, 0, ?)[un instant d’hésitation]

000 ça ne marche pas

L’élève se rend compte qu’il devrait mettre 0 comme troisième coordonnée, et que du coup, il n’aurait plus de point.

136 P - pas de solution, pas de point à l’infini. 137 E - ah, oui, c 'est une ellipse

À quoi cet élève songe-t-il ? À la figure ou à l’équation ? 138 E - il n’y a pas de droite à l’infini dans les négatifs ?

139 P - c’est la même droite. On ne peut pas tracer cette droite. Ce sera toujours le même point à l'infini. Positif et négatif se rejoignent.

[Après un instant de silence] La parabole maintenant. [Au tableau]

y^ = 6x Y" - 6XZ =0

[Un élève dicte la matrice correspondante]

^0 0 -3^

140 E- 0 10

^-3 0 0

Pourquoi divise-t-on par deux toujours ? y

141 P - [qui n’a pas entendu ou fait mine de ne pas entendre] quelle est l’intersection avec la droite de l'infini ?

Le professeur omet de réagir à la question de l’élève, parce qu’il estime peut-être (c’est une supposition) que les opérations matricielles doivent être maîtrisées, et il s’ensuit que les élèves devraient se montrer capables de se corriger seuls.

[Au tableau] Z = 0

Et donc l'équation devient Y" = 0

142 P - une solution, un point à l’infini. 143 E - pourquoi n ’a-t-on pas Y^Z - 6XZ ? Pourquoi on a juste multiplié le 6X ?

144 P - parce que tous les termes ont même degré HSE- même si on n 'a pas les mêmes termes ? [Resté sans réponse]

En coordonnées cartésieimes, la parabole possède des termes de degrés différents, même sous sa forme canonique, d’où la question que l’élève se pose.

Pour le professeur, la compréhension totale se fera quand les élèves auront terminé de voir ce chapitre théorique. Il faut avoir tout lu jusqu’au bout. C’est un cours qui n’est pas linéaire (comme nous en avons parlé dans la partie théorique de ce travail, cf. chapitre 3). Le professeur enseigne une théorie.

146 P - grâce à tout ceci, on peut classer les coniques. [Au tableau]

1) Coniques non dégénérées (CND)

147 P - la matrice C est de rang 3. Et le rang, c 'est ? [regard interrogateur vers sa classe]

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

148 E - qui ne s'annule pas

149 E - le plus petit déterminant est different de 0. 150 P - oui, le déterminant de C est différent de 0

[Au tableau, le professeur continue] 3 possibilités : H E Par

2) Coniques simplement dégénérées (CSD)

151 P - le déterminant de C égale ? [Regard interrogateur vers sa classe]

Ici, il est fait allusion à un autre domaine : les déterminants qui interviennent dans le calcul des solutions de systèmes d’équations et dans le calcul matriciel. Les déterminants permettent d’effectuer des analyses de systèmes d’équations.

152E- 2

153 P - de rang 2.

Dans la matrice, il existe au moins une sous-matrice d’ordre 2 dont le déterminant est different de 0.

[Au tableau, le professeur continue]

2 droites sécantes ou 2 droites parallèles. 3) Coniques doublement dégénérées (CDD) 2 droites confondues

154 P - le rang vaut 1, on a deux droites confondues 155 E - deux droites quelconques ?

156 P - non, pas du tout.

157 E - pourquoi l'ellipse, l'hyperbole, la parabole ne sont pas de rang 2 ?

158 P - parce que le déterminant est différent de 0, donc cela ne peut être que de rang 3. 159 E- ok

160 P - E existe au moins une un déterminant d’ordre 2 161 E

-162 P - tout va se préciser par la suite. [Au tableau, le professeur continue]

D) Point double

Un point P de matrice P est un point double de la conique C ssi ^0^

ep= ⁰

vOy

Pour déterminer un point double d’une conique, il suffît de résoudre le système ... Q, ^c'^12 Co'^{fx^}

Cj2 ^C_^22 C23 Y ^- 0

Cu ^C'^23 Q3 y .0.

164 P - Comment calcule-t-on cela ? 165 E- lè ligne fois lè colonne... [Au tableau]

CiiX + Ci2Y + Ci3Z = 0

166 P - c 'est un système particulier 167 El - à 3 équations et 3 inconnues 168 E2 - tous du même degré

169 P - et???

170 E3 - les coefficients XYZ sont les mêmes ?

171 E4- X+ Y+Z=l

172 E5- attention, toujours égal à 0 173 P - et le système ?

174 E - le système est nul

175 E - c 'est un système homogène 176 P - quelle est la solution ? 177 E- (0,0,0)

178 P - On remarque que toutes les équations du système peuvent se trouver plus facilement.

[Au tableau, le professeur écrit]

dX

179 P - ceci est plus facile que le produit matriciel, comme la fonction est du second degré, la dérivée est assez simple.

[Silence, puis il continue]

On peut classifier les coniques à partir du nombre de points doubles [Au tableau]

CND rg = 3 d’où 0

180 P - le système a combien de solutions ?

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

181E- 3 182 E- 2 183 E- I

184 P - rappels, la discussion d’un système d’équations ? [Regard interrogateur vers sa classe] C’est la solution de ??

185 E - Cramer 186 P - oui. [Au tableau]

Une solution triviale (0, 0,0)

187 P - le point (0, 0, 0) n ’existe pas, donc vas de point double [et il insiste sur ce point] [Au tableau]

CSD rg = 2

188 P - comment appelle-t-on ce système ? 189 E - un système simplement indéterminé.

190 P - oui, toutes les solutions sont multiples les unes des autres. 191 E - on a un seul point

192 P - oui. Les droites sont soit sécantes, soit parallèles. Existe-t-il un point double ? 193 E - un point d’intersection

194 P - ok

2 droites parallèles se coupent en un point à l ’infini. 2è cas [Au tableau] CDDrg = l 195P- 196E- 197P- 198E- 199P-200E- 201

P-quel système a-t-on ?

un système doublement indéterminé, le nombre de points doubles ?

une infinité

une droite de points doubles. Le point double appartient deux fois à la conique. dC

et alors, - 0 représente quoi ?

[explique comment on calcule les dérivées partielles] Quand on écrit

dx

= 0,

[Un élève dicte ce qu’on obtient et indique les simplifications] 202 E - êC]iX+ SC12Y + SC13Z = 0

[Au tableau]

E) Polarité

Définition : l’application de polarité associée à la conique C est l’application f: Po |B-> P

p->‘pe

Po = l’ensemble des points du plan projectif B = l’ensemble des points doubles

P = l’ensemble des droites du plan projectif 204 P - quels sont les points qui n 'auront pas de polaire ? 205 E - les points doubles

[Au tableau, le professeur dresse un croquis]

206 P - quelle est la polaire ?

207 E - la droite qui comprend les points de tangence 208 P - oui

P est la polaire P est le pôle

Qu 'implique la polarité ? il existe des points tels que la polaire est une droite particulière. 209 E - si le point est intérieur

210 P - non

211 E - s'il est dessus 212 P - et alors?

213 E - c 'est une tangente.

2. Représentations des élèves

Qu’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ?

Outre le fait d’apprendre de nouvelles choses, les élèves estiment que cette théorie leur sera utile pour pouvoir l’appliquer dans des exercices. Un ou deux élèves disent que cela ne leur servira pas dans la vie quotidienne. D’autres disent qu’ils verront bien après les exercices. Ce qui semble les avoir marqués, c’est l’infini qui est approché de manière

générale : un point à l’infini joue dans le plan projectif, le même rôle que tous les autres points.

Certains ajoutent :

Cela permet de donner une concrétisation (même si pour moi elle semble faussée un peu) à quelque chose d’irréel qu’est l’infini.

- D ’imaginer ce qu ’on ne voit pas (deux droites se touchant à l ’infini)

Ça forme mon esprit, c’est une manière d’apprendre à travailler quelque chose dont on n ’a aucune conception réelle.

Cela permet de faire des liens et voir plus clair dans nos connaissances.

Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur

À quoi sert une définition ?

On retrouve dans les réponses des élèves, en quoi une définition permet d’entrer dans une théorie. Certes, chaque élève n’a pas tout dit. Mais malgré le fait qu’ils ne sont pas nombreux, ils ont tout de même, ensemble et sans se concerter, rassemblé quelques points essentiels qui, à travers l’analyse épistémologique d’une définition, permet de faire apparaître les traits essentiels sur la nature épistémologique d’une théorie. Voici leurs réponses.

1 À mieux nous expliquer une notion. 2 Idée du concept

A nous expliquer ce que nous comprenons ou ce que nous ne comprenons pas. Mais simplement de mettre des mots sur quelque chose que nous visualisons ou pas.

A faciliter la compréhension et à la rendre plus rapide, (passage par le langage^

A exprimer des choses avec des mots pour mieux les comprendre. C’est sensé clarifier et exprimer clairement et fixement ce dont il s ’agit.

3 Départ d’une théorie et transmission possible

Elle sert comme référence lorsque deux personnes ne sont pas d’accord sur un sujet, et à ne pas confondre les pommes et les poires.

4 Une définition est le passage de la réalité sensible à une idéalisation qui permet l’entrée dans une théorie

La définition sert à analyser théoriquement quelque chose en lui donnant toutes ses valeurs propres.

Départ dans une théorie

En pratique, ce n ’est pas la même chose et quand on est bloqué dans un problème, mieux vaut se remettre en mémoire la définition.

5 Dépersonnalisation du texte et autonomie d’où transmission possible

A comprendre plus précisément la notion qu’on définit. Une définition permet aussi l ’universalité de la notion. Tout le monde a la même définition.

Fixer des normes afin de mieux s ’entendre et communiquer.

A trouver l’essence d’une chose. Elle permet d’établir des convictions valables pour un ensemble de personnes qui dès lors peuvent communiquer.

6 Une définition peut faire partie d’une théorie qui sert d’instrument pour setisir la réalité sensible

A exprimer les mathématiques clairement et théoriquement avant de les appliquer à des exercices et des exemples.

3. Conceptions de l'enseignant

a) Sur les mathématiques enseignées à l’école secondaire

Dès le début de l'entretien, le professeur insiste sur l'importance de la forme textuelle des cours qu'il donne: une présentation hiérarchisée, basée sur des preuves qui sont des raisonnements. Il enseigne des théories:

Important ... Moi, je trouve, je pense que c’est important que ce soit structuré, que ce soit un cours structuré. Donc avec différentes étapes du cheminement Et alors je trouve aussi

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