• Aucun résultat trouvé

Représentations des élèves de la leçon

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 109-114)

Cite les trois premières lettres (majuscules d'imprimerie) de l'alphabet qui possèdent un seul axe de symétrie

2) Représentations des élèves de la leçon

Qu ’est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d’apprendre et pourquoi ?

Sur les 19 élèves de la classe, 15 élèves ont l’impression que cette leçon ne présente guère d’intérêt. « Rien, parce que aplatir des figures ne sert à rien » répond l’un d’eux.

3 élèves sont dubitatifs, dont l’un répond pmdemment que la raison est qu’il n’a pas vu toutes les matières. Un seul élève pense « avoir plus de connaissances ».

(Ou un élève : « à connaître les bases », mais ceci est peut-être simplement une répétition de choses que des adultes lui répètent, parce qu’il ne donne aucune explication ni exemple)

3) Conceptions de l'enseignant

Le début du cours consiste en l’observation de dessins suggérant des photos prises à des heures différentes, d’un arbre et de son ombre, au-dessus se trouve le soleil. Des feuilles photocopiées sont distribuées, les élèves devront les compléter par la suite. Cette manière d’entamer un cours se répète souvent semble-t-il. Lorsque le chercheur a posé la question de savoir comment il commençait un nouveau chapitre, le professeur précisa qu’ «Au maximum, c’est rare que je commence la matière telle quelle sauf parfois en algèbre, ... . J’essaie de prendre un truc qui accroche, je ne dis pas que cela accroche pour tout le monde, on

espère ».

Pourtant, lorsque nous lui avons demandé : « Comment concevez-vous un cours de mathématiques ? », il a répondu, après un temps de réflexion :

«moi, j'aime bien que ce soit un cours interactif Les élèves découvrent la matière par eux-mêmes, en fait, pas construire la théorie par eux-eux-mêmes, mais j ’essaie au maximum de les faire découvrir, mais on est quand même limité dans la découverte parce que 1 ils n ’ont pas toujours envie, 2 on a un programme à suivre, donc on n ’a pas toujours le temps de faire des recherches ».

L’intérêt du cours de mathématiques est de réfléchir, ... pouvoir se débrouiller dans la vie de tous les jours. A titre d’exemples, il cite les soldes. Et lorsque le chercheur lui a posé la question de savoir si les mathématiques développaient l’esprit critique, le professeur a signalé que dans son cours de remédiation, il donnait précisément à lire des graphiques venant de journaux, et « la façon dont on le lit va apporter des points de vue différents ».

4) Ce qui ressort de l'observation : les quatre tensions

a) Domaine

Dans cette leçon deux domaines sont présents : ime situation, l’image du soleil, de l’arbre et de son ombre. Ils fournissent une représentation iconique, avec la certitude : on le voit.

L’autre domaine est celui de la géométrie, une représentation symbolique, faite d’énoncés présents ou à construire, et tme unité de rationaüté, la croyance, faite de l’établissement de relations entre ces énoncés. Le passage de l’un à l’autre, souhaité par le professeur, ne semble

pas s’effectuer, en tous les cas pas correctement, ou pas chez tous les élèves. Nous avons vu que pour passer de la situation au contexte, et ensuite réciproquement, il y avait une abduction, ime inférence qui s’effectuait sur des indices, de manière immédiate, sans qu’un raisonnement complètement déductif rigomeux ne puisse s’établir. L’image produite comme introduction à la leçon, ne présente pas d’indices suffisamment éloquents pour permettre cette abduction et les élèves ont des difficultés (lignes 39, 49, 68). La représentation iconique est celle d’un objet dans l’espace, les rayons du soleil sont parallèles (ils ont une direction commune, celle d’une droite parallèle) et ils projettent une ombre sur un plan (la terre). Mais la géométrie envisagée par le professeur est celle qui eineilyse la projection d’un point parallèlement à une droite, sur une autre droite (donc dans un plan). Les élèves devaient donc transformer l’image d’un objet de dimension 3 en un objet de dimension 2. Ensuite, passer à l’idéalisation mathématique. Mais le professeur ne fournit pas d’indices qui produisent une inférence rapide chez les élèves. Le professeur est tenté d’une part de montrer des situations de la réalité sensible, et d’autre part, il doit arriver à de la géométrie. Ceci se fait avec des non-dits.

b) Énoncé

Un énoncé est formulé. 11 exprime la manière dont il faut construire (ligne 65). On se situe dans une représentation indiciaire. Mais ensuite, il situe cette définition parmi l’ensemble des transformations du plan (ligne 66). Tout apparaît comme des propriétés qui conduisent à constmire les images de points. Par contre, lorsque le professeur a rappelé la définition d’une isométrie, il a formulé un énoncé qui avait l’allure d’un énoncé très formel du type symbolique b. Hors leçon, il nous a expliqué que les élèves éprouvaient beaucoup de difficultés à comprendre les projections parallèles. Ceci explique sans doute pourquoi il formule de manière différente les deux transformations.

c) Validation

La validation de la définition se fait par l’observation du dessin géométrique de la video (entre lignes 35 et 36) et par l’observation des dessins sur les feuilles photocopiées. Mais avant de formuler la définition, le professeur a montré une propriété des projections : comment les mesures varient lorsque la direction de projection est modifiée. Cette propriété est constatée sur la video (lignes 24, 29). La tension est présente : entre essayer d’amener les élèves à une conception des projections comme une traduction fidèle de phénomènes issus de la réalité sensible, et un concept de géométrie pure, avec un langage relativement formalisé.

d) Représentations

Le début de la leçon porte sur un exemple issu de la réalité sensible que les élèves regardent. La langue naturelle seule est utilisée, sans l’idiome relatif aux mathématiques, la représentation est iconique (lignes 1-7). Ensuite, le professeur passe à la géométrie, il propose des propriétés de géométrie et utilise des figures géométriques (lignes 8-18). La représentation devient sjmbolique. Puis il retourne à une représentation iconique (lignes 19- 29). On constate ainsi une alternance entre deux types de représentation.

Ligne 35. Il mélange les deux domaines, celui de la réalité sensible et le plan, d’où on a à la fois une représentation iconique (rayon de soleil) et l’idiome mathématique (quand il parle de projection dans le plan) (idem pom les lignes 44, 45). Il existe des passages entre les deux domaines et du coup également dans les représentations : « on change la droite ». On a deux représentations en présence, l’iconique et la symbolique a. Parfois la représentation indiciaire

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième aimée

intervient notamment quand il énonce la définition d’une projection parallèle en expliquant comment projeter.

Le professeur utilise des formulations différentes, il passe de la langue naturelle tout à fait courante à ime langue naturelle où intervieiment des passages plus formalisés faisant référence à l’idiome mathématique. On le sent en tension entre des représentations différentes, l’une que maîtrisent les élèves, l’autre qu’il convient d’enseigner (par exemple, à la ligne 69).

De plus, à plusieurs moments de la leçon, il s’est exprimé à la première personne, et en utilisant des verbes d’action : « sur le dessin, je vérifie que... », « vérifions », « je vérifie sur le dessin, OK ». Ces propos ne sont pas ceux qui seraient tenus si on se situait dans une théorie qui produit un langage dépersonnalisé.

5) Compétences idiomatiques

Il n’est pas possible de dire qu’elle est vraiment travaillée, du moins pas au cours de toute la leçon. À certains endroits, le professeur insiste sur des termes mathématiques, mais pas sur la syntaxe de la phrase, cela reste ponctuel (lignes 10-13, ou 49-63 par exemple). À un endroit, vers la fin de la leçon, le professeur exerce les élèves à lire une formule correctement : Comment lire ceci ? Commencer par l’image. Et un élève répond : l’image du segment AB parallèlement à e sur f est le segment A ’B’ (lignes 79-80).

6) Conclusions

L’idéalisation du sujet de cette leçon par les mathématiques, permet d’interpréter les variations de l’ombre et de prévoir la taille de celle-ci. Et en mathématiques, cette situation illustre une propriété importante dans le cadre du cours de géomètre: les projections ne conservent pas les distances contrairement aux isométries vues jusqu’alors. Cette nouveauté perturbe les élèves. Pourtant, au cours de l’entretien, à la question : « Est-il utile d’expliquer aux élèves pourquoi il est intéressant de suivre un cours de mathématiques ? », la réponse était :

« Moui, je le fais un maximum, mais c ’est difficile de leur montrer que c ’est pour se débrouiller dans la vie de tous les jours ». Il semble exister une ambiguïté ou une tension, dans l’esprit du professevir, sur l’intérêt d’apprendre des mathématiques. Son exemple de l’ombre est une situation de la vie courante, mais ensuite, il donne aux élèves un exemple d’utilité dans le ceilcul des proportions : Aider à diviser un segment de 13.8 cm en 8 parties égales. Cela peut aider en mathématiques à faire des choses plus intéressantes (ligne 47). Mais au vu des réponses des élèves à la question qui portait sur l’intérêt de la leçon, on se rend compte que les élèves n’ont pas saisi l’intérêt de passer aux mathématiques elles-mêmes. On a constaté que cette leçon était très rapide, et que peu d’explications étaient fournies. La question que l’élève a posé - ça sert à quoi de faire ça ? • ligne 46) ne concernait probablement pas, ou pas uniquement, l’utilité immédiate qu’on pouvait faire de l’étude des projections, mais plutôt, comment ces manipulations sur vidéo, pouvaient conduire à vme finalité en mathématiques. Le professeur ne l’indique p£is. Pour faire émerger des représentations et les modifier, ou en faire de nouvelles à partir de celles-là, les théories qui se basent sur le constmctivisme, indiquent qu’il faut rendre cette représentation problématique. Or, la vidéo ne répond pas à une question qui aurait été posée (par exemple, les élèves remarquent que les ombres des objets, créées par le soleil, varient au cours de la journée. Comment pourrait-on prévoir la longueur de l’ombre de l’arbre aux différents

mathématiques développées dans cette leçon, n’expliquent de ce fait rien yeux des élèves. Comme nous l’a suggéré un autre professeur, un bâton planté dans la cour, et l’observation de son ombre par les élèves, relevée pendant quelques jours, à différents moments, aurait peut- être été plus efficace.

Pratiquement, la leçon de géométrie (qui porte sur la géométrie) débute après la ligne 47 avec un discours qui utilise l’idiome des mathématiques. Le professeur fait la synthèse de la leçon, qu’il fait lire sur la feuille distribuée aux élèves, tout en la complétant. Pour le professeur, l’essentiel de la leçon consiste en la traduction de l’image en dessin géométrique qui doit devenir une figure suscitant les propriétés comme une évidence.

Comme l’écrit Kahane (2002, p. 265), dans son rapport sur l’enseignement des sciences mathématiques, l’éducation des élèves passe par le développement de l’imagination et du raisonnement. Ici, la chose demandée est de lire l’heure indiquée au bas de la vidéo. Mais poser une question sur une image que les élèves devraient observer, revient, dans le cadre d’un cours de mathématiques, à les faire passer d’une unité de rationalité à une autre (comment se fait-il que l’ombre change de longueur ?), de la certitude à la croyance, donc à un raisonnement logique qui s’effectue sur des énoncés - c'est-à-dire des phrases - en les mettant en relations de sens. Ceci rejoint ce que nous avons montré dans le dexixième chapitre, des mathématiques présentées comme des théories scientifiques ne peuvent se développer qu’à partir du langage. Dans cette leçon, on constate qu’à aucim moment, les élèves ne sont questionnés ou sollicités à s’exprimer dans ce sens. Une théorie, même si elle ne se limite pas à cela, peut servir d’instrument pour interpréter la réalité sensible. Or, le professeur semble vouloir montrer, qu’il existe, dans les mathématiques, des règles qui peuvent s’utiliser dans la réalité sensible. À la question sur ce que représentent les compétences à ses yeux, il répond qu’une compétence « c 'est savoir se débrouiller dans la vie de tous les jours » mais ceci de manière limitée parce qu’il dit aussi que les Socles de compétences sont « des bases comme savoir tenir son équerre, dessiner des parallèles, etc. » autrement dit, les compétences transversales seraient plutôt des savoir faire. Et à la question de savoir ce qu’il pensait de l’idée que « L'apprentissage des mathématiques au début du secondaire doit servir à poser un regard critique sur la vie de tous les jours. », il répond par l’affirmative et explique que dans son cours de remédiation, il leur apprend à lire des graphiques en signalant que « la façon dont on le lit va apporter des points de vue différents ». Autrement dit, le cours de mathématiques proprement dit n’est pas destiné à faire parler les élèves, ceci se retrouvant plutôt dans le cours de remédiation. Lorsque nous lui avons posé la question : « Quelle est l'utilité d’une définition ? », il a répondu :

C'est savoir expliquer avec ses mots, c'est savoir expliquer ce qu'on a compris, c'est savoir transmettre un message. C'est vraiment cela. Rien dans ses propos n’indique qu’ime définition pourrait conduire à produire quelque chose de plus stmcturé. À la question : quand une définition est formulée, doivent-ils la reformuler de manière formelle ou peuvent-ils la reproduire avec leurs mots ? , il répond :

Avec leurs mots, ils peuvent utiliser un langage parallèle, mais cela doit rester précis. C’est le seul moment où il parle de précision, sans dire par rapport à quoi.

L’exercice serait d’ordre langagier, faisant allusion à une représentation indiciaire. Et lorsque nous avons demandé. Quelle est l'utilité d'apprendre une définition ? , le professeur ne répond pas exactement à la question (il parle de son cours de méthode de travail où il corrige les interrogations avec les élèves, etc.).

En fait, cette leçon conduit surtout à pouvoir appliquer. Voici ce que le professeur propose comme exercices :

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

« En deuxième, je n'exige pas de démonstration. Les types d'exercices que je fais sont: faire le lien entre l'angle formé par les rayons du soleil et le sol et la taille de l'ombre d'un objet, construire l'image d'un point/segment/droite/triangle par une projection parallèle parallèlement à une telle droite sur une autre droite, constater dans quel cas l'objet garde ses dimensions (voir que contrairement aux isométries, les projections parallèles déforment souvent les figures), diviser un segment de taille quelconque en x parties égales, trouver la taille d'un objet connaissant son ombre si on sait qu'au même moment et au même endroit un objet de X cm a une taille de y cm (on fait le lien avec les proportions en parlant du coefficient), trouver des mesures manquantes sur une construction formée de parallèles et de sécantes (introduction au théorème de Thalès). » Précisons que le lien entre l’angle formé par les rayons du soleil et le sol, et la taille de l'ombre d'un objet, est un exercice qui se base sur de l’observation. Les élèves ne font pas encore de trigonométrie. Pour ce professeur, les mathématiques enseignées serment essentiellement des règles, et peut-être pas encore vraiment un instrument plus complet destiné à interpréter la réalité sensible.

7) Représentations des élèves

À quoi sert ton cours de mathématiques ?

Avant la leçon, les élèves ont répondu, par écrit, à la question : à quoi sert ton cours de mathématiques ?

68% des élèves pensent que le cours de mathématiques est surtout un outil de calcul. Par exemple : calculer, résoudre ime équation, calculer le périmètre d’une figure, cela peut nous aider pour les soldes.

63% se disent qu’il sera utile pour leur métier lorsqu’ils seront adultes (si on veut être vendeur, comptable, ingénieur, architecte, garagiste).

37% estiment que cela sera utile dans la vie courante. Trois élèves signalent autre chose :

« A apprendre à avoir de la logique, à apprendre de la géométrie pour ceux qui veulent devenir architecte ou informaticien, ..., à apprendre à utiliser les instruments de géométrie ». Et de citer ; pour résoudre un problème.

« Mon cours de mathématiques sert à évoluer ».

« A apprendre la vie, d’une autre perspective de vie » (les exemples fournis sont ; trouver des inconnues, calculer plus vite)

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 109-114)