• Aucun résultat trouvé

Enseignement secondaire inférieur - Professeur 3 - Classe 3

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 56-63)

L'enseignement secondaire inférieur

4. Enseignement secondaire inférieur - Professeur 3 - Classe 3

1 ) Observation de la leçon

Le sujet de la leçon: définitions d’un cercle, d’un rayon, d’un diamètre, d’une corde, d’une tangente.

La leçon dure 50 minutes.

Il s’agit d’une classe de 23 élèves de deuxième secondaire (13 ans).

Les élèves connaissent déjà tout ce qui va être défini dans cette leçon. C’est la formulation qui est le but.

[Lorsque les élèves ont pris leur cahier, le professeur leur demande] : 1 P - tracer tous les points à 2 cm de O.

Ce début de leçon entre en contradiction avec ce que nous a dit ce professeur ; peut-être n’est- ce qu’ime apparence, en effet, on pourrait se demander si, étant donné la présence du chercheur, il se ne se soit pas cru obligé d’entrer directement dans le vif du sujet. Nous verrons ci-dessous que dans l’entretien, il signale qu’il n’entre jamais directement dans le vif du sujet. De toute façon, les élèves se sont montrés très coopératifs et ont participé activement à la leçon.

On travaille dans un plan, avec une distance. C’est sous-entendu, mais cela ne semble pas poser de problème par la suite.

[Au tableau]

2 E - on peut ? On trace un cercle ! 3 P - un? Le ! [En insistant de la voix] 4 E - centre O, et rayon 2 cm

Ligne 2. L’élève a l’air de croire que le professeur demande quelque chose d’impossible. Comment tracer tous les points « séparément » alors qu’il en existe une infinité ! Ou alors, on trace im cercle qui est une courbe continue et quelque part, les points n’apparaissent pas séparés. Mais le professeur appuie et rectifie, les élèves n’ont pas le choix, il s’agit d’un cercle unique et précis (ligne 3) mais cela ne semble pas leur poser de problème (ligne 4)

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

5 P - tous ces points ont une propriété commune. Laquelle ? 6 E - ils sont tous à 2 cm de O, à même distance.

7 P - on parlera de lieu géométrique plus tard, c’est une propriété commune à certains points.

Existe-t-il d’autres lieux géométriques ? Ici, le lieu, c ’est ?

Ligne 7. L’apprentissage d’une définition est pour ce professeur, l’occasion de montrer que des mots de la langue courante se retrouvent en mathématiques avec une autre signification, relative au contexte. D’emblée, il s’occupe du langage. Mais son discours concerne trois registres distincts : « on parlera de lieu géométrique » concerne les différents éléments qu’on peut trouver dans une théorie de géométrie, «c’est une propriété commune... », « Existe-t-il d’autres lieux » ont trait à la géométrie, « Ici, le lieu, c’est ? » cible une définition comme celle que l’on trouve dans un dictionnaire et qui concerne la vie courante. Et le professeur passe de l’un à l’autre implicitement. Son but pourrait être de souligner que la langue naturelle se retrouve dans ime situation, comme dans un contexte ; mais dans ce dernier, il peut y avoir aussi des définitions différentes pour im seul terme. Ces activités langagières fournissent une entrée dans une théorie (cf chapitre 5). Les élèves paraissent n’éprouver aucune difficulté, comme le montrent les lignes suivantes.

8 E - la classe

9 P - un autre exemple ?

10 E - tous les cercles sont des lieux. Un disque aussi !

Les élèves retournent spontanément dans le discours géométrique (ligne 10). [Le professeur a un instant d’hésitation, et puis il enchaîne] ;

11 P - ? A moins de x cm d’un point donné. Eventuellement. [Puis, il dessine une droite au tableau.]

[Au tableau]

12 P - c ’est ? [En montrant le dessin au tableau d’un geste de la main] 13 E- une droite.

[Et l’élève ajoute, comme pour Justifier sa réponse]; Les points sont alignés.

Une droite est une figure géométrique puisqu’elle est dessinée au tableau. Mais, l’élève rentre spontanément dans le contexte géométrique en essayant d’énoncer la particularité de ces points. Évidemment, ime droite est une notion, un terme premier dans une théorie, donc, ce que l’élève énonce, est plutôt tautologique.

Je trouve que ce n 'est pas très précis. Quels sont les mots de vocabulaire que l ’on a utilisés ? Un cercle, [il s’arrête un bref instant] et quoi d’autre ?

15 E- un rayon!

16 P - oui. Définition ? [En regardant ses élèves d’un air interrogateur]

17 E - c 'est un segment qui part du centre du cercle jusqu ’à un point donné du cercle. 18 P - ok

Un rayon est un segment... [Le professeur reprend la phrase de l’élève et poursuit]: Les extrémités d’un rayon: l ’une appartient au centre et l’autre au cercle. n existe une infinité de rayons.

Quel est le rayon ici ? 19 E- 2cm

20 P - il existe un fiou. Le rayon est soit le segment ou les segments, soit la mesure. Il y a ambiguïté.

Le mot rayon désigne soit le segment dont les extrémités appartiennent, l’une au cercle et l ’autre au centre.

Exemple :

[Le professeur indique la figure au tableau] : un indice pour faciliter la compréhension. [Au tableau]

[OA], [OB] etc.

+ +

. ^ A

O + +

20 P - le terme rayon désigne 2 choses : Soit le segment

Soit la mesure d’un de ces segments. [Un silence, puis il enchaîne]:

Le rayon... et quoi encore ?

Le professeur ne se lance pas dans de longs discours. Ses phrases sont brèves et tout ce qui est énoncé est nécessaire pour atteindre son but et seulement son but (ligne 18). Il conserve toujours le même objectif, montrer que plusieurs définitions peuvent exister pour un même mot, même en mathématiques.

21 E - un diamètre

22 P - définition ? [D’un ton interrogateur]

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

24 P - alors AOB est un diamètre ? 25 E - non.

[L’élève reprend sa phrase].

Un diamètre est un segment de droite qui part de deux points donnés sur le cercle et qui passe par le centre.

26 P - c’est l’ensemble des segments qui passent par le centre et dont les extrémités appartiennent au cercle. Tout comme pour le rayon, le diamètre admet deux définitions. 1) c 'est un segment

2) c ’est la mesure de ce segment.

Et de plus, une troisième définition : toutes les droites qui passent par le centre ! (Comme on l ’a vu en lè). Donc il va falloir préciser !

27 E - peut-on dire « deux points donnés du cercle » ou doit-on dire « qui appartiennent au cercle » ?

Ligne 27. Cet élève a le souci de se montrer précis, et il semble se rendre compte, en posant cette question, qu’il existe en mathématiques certains idiomes dont il convient de respecter l’usage.

[En continuant son idée, le professeur répond en même temps à la question]. 28 P - trois définitions.

Primo un diamètre est n ’importe quel segment de droite dont les extrémités appartiennent au cercle et qui comprennent le centre.

29 E - ne pourrait-on pas mettre [COD] ?

30 P - attention, 3 lettres donnent un triangle ou un angle. Il vaut mieux se limiter à deux lettres.

Deuxièmement, toute droite qui comprend le centre du cercle. Et ?

[Le professeur se tourne vers la classe et attend une réponse]. 31 E - le nombre du segment

32 P - la mesure du segment [corrige-t-il]

Le professeur insiste surtout sur le fait qu’à travers la manière de s’exprimer, on perçoit des choses différentes. Même en mathématiques, il existe des imprécisions (ligne 20).

[Après un silence, le professeur écrit au tableau et dit en même temps.] [Au tableau]

33 E - c’est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle et qui ne passe pas par le centre.

34 P - une corde est un segment dont les extrémités appartiennent au cercle. [Le professeur insiste sur les articles indéfinis.]

35 P - Et le diamètre ?

36 E - c 'est une corde qui passe par le centre.

37 P - d’où, si je demande une corde, éviter de dessiner un diamètre pour utiliser le cas général.

38 E - CD est diplomatique !

La classe s’entend bien avec son professeur, tout en gardant une certaine discipline, et certains élèves se permettent une plaisanterie qui elle aussi, passe d’un contexte (géométrie) à une situation !

[Le professeur continue sa figure.] [Au tableau]

A

[Les élèves ont reçu des feuilles photocopiées.]

39 P - quelle et la particularité des points A, B, C, D, E... ? 40 E - ils sont à égale distance de O

41 P - ils sont équidistants de O

[Les élèves lisent la définition du cercle sur leurs feuilles et le professeur lit à voix haute.]

42 P - le cercle de centre O est le lieu des points équidistants d’un point fixe appelé centre... [Puis, le professeur enchaîne avec une nouvelle définition]

43 P - Dernière définition

Notion de tangente. Voici un cercle.

[Il dessine au tableau et pose en même temps la question] ;

44 P - En biologie, avez-vous entendu parler de coupe tangentielle ? 45 E - oui !

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

46 P - Par exemple, couper la plus fine pellicule possible d’une pomme ?

Le professeur suggère une image pour faire saisir ou rappeler ce qu’est une tangente.

47 P - Quelle est la définition d’une tangente ?

48 El - c ’est une droite qui passe à l ’extrémité extérieure du cercle. 49 E2 - C ’est une droite qui passe par le cercle.

50 E3 - C’est une droite perpendiculaire au rayon.

Les élèves sont dans la géométrie, dans son contexte, avec son idiome. Mais, ils commettent quelques erreurs de formulation.

[Au tableau]

51 P - c ’est une droite qui va toucher le cercle en un seul point.

[Et à cet effet, il rappelle la pelure d’une pomme, puis après un bref silence, il continue.]

52 P - Une droite tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon qui comprend ce point. C’est une position particulière d’une droite et d’un cercle.

Y a-t-il d’autres positions possibles ?

On a vu une droite perpendiculaire en un point.

53 El - une droite qui coupe en deux points (en parlant du cercle mais en ne le citant pas). 54 P - c ’est une sécante.

55 E2 - c ’est une corde ! 56 P - ici, oui.

Le terme « toucher » (ligne 51) est propre à une situation et non pas au contexte géométrique. En disant cela, il essaie que les élèves se représentent plus facilement la tangente par une représentation iconique, puis il enchaîne avec une propriété caractéristique de la tangente, dans le contexte de la géométrie (ligne 52).

Une autre (sous-entendu « position »)?

57 E - une droite qui comprend tous les points, intérieure.

Le professeur ne relève pas l’erreur, ou plutôt il la comprend comme un lapsus. [Et il corrige];

58 P - extérieure !

Sécante : deux points d’intersection Tangente : un point d’intersection.

59 E - deux cercles aussi [sous-entendu « peuvent être tangents]». 60 P - oui, deux cercles tangents.

Le professeur vient de rappeler, ou faire rappeler, les différentes positions relatives d’une droite et d’un cercle. Le problème de l’existence des objets définis ne se pose pas dans la leçon. Il paraît « aller de soi », les positions possibles s’observent sur un dessin géométrique, du moins à ce moment-ci. Dans un plan, il est toujours possible de tracer des cercles et des segments de droite.

Ligne 58. Le professeur effectue une catégorisation, avec une omission toutefois, c’est qu’une droite et un cercle ne peuvent avoir plus de deux points en commun. Par contre, on remarque que les élèves effectuent spontanément une catégorisation (ligne 55). Ce qui est le début d’une forme de théorisation.

[Ensuite vient une séance d’exercices] Exercices

B

«--- > -•---9r

61 P - Prends 5 unités, ce que tu veux mais toujours la même unité (pas nécessairement en cm)

Dessine un cercle de centre A et de 4 unités de rayon.

Deuxième question :

62 E - on fait un cercle à 6 cm de B 63 P - à 6 cm de B ?

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

65 P - construis un triangle dont les côtés valent ...cm

Les exercices proposés par la suite sont des constructions au compas, qui utilisent la définition d’un cercle et la notion de distance, et qui font prendre conscience de l’utilisation de certaines propriétés que les élèves avaient l’habitude d’utiliser sans s’en rendre compte (notamment que dans un triangle, la mesure d’un côté est toujours strictement inférieure à la somme des deux autres). Les élèves utilisent le compas depuis plusieurs années pour construire des triangles, des droites particulières, mais sans justifications rigoureuses.

1. Choisis les points A et B tels que |AB| =5. Construis l'ensemble des points

situés à 4 cm de

A.

Construis l'ensemble des points situés à 6 cm de B

2. Construis un triangle dont les côtés mesurent 4,5 cm, 6 cm et 8 cm.

3. Construis un triangle isocèle dont deux côtés 8 cm et dont le troisième

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 56-63)