L'enseignement secondaire inférieur
2. Enseignement secondaire inférieur - Professeur 1 - Classe 1
1 ) Observation de la leçon
Il s’agit d’une classe de 18 élèves de deuxième secondaire (13 ans). Quatre élèves arriveront en retard durant la séquence suite à une visite médicale. Le sujet de la leçon concerne les transformations du plan. Celles-ci ont été vues en première année, mais cette fois, le professeur va en donner des définitions précises.
L’énoncé de la définition est nouveau. La notation symbolique a été introduite auparavant. [Le professeur a fait rapidement une comparaison entre la géométrie et un jeu dont les pions sont les droites, les points etc. Les règles sont les propriétés].
Or, un jeu, selon l’une des définitions que donne Brousseau (1998, p. 82), est « une activité physique ou mentale, purement gratuite, généralement fondée sur la convention ou la fiction, qui n’a dans la conscience de celui qui s’y livre d’autre fin qu’elle-même, d’autre but que le plaisir qu’elle procure ». Cette définition met l’accent sur l’aspect conventionnel, et sur la gratuité avec laquelle le joueur se livre au jeu. Une autre définition du jeu est celle qui met l’accent sur les règles à observer, ou encore sur les contraintes que celles-ci produisent. Lorsque ce professeur signale aux élèves que la géométrie est un jeu, avec des pions et des règles, il invite ses élèves à effectuer des activités qui n’ont de sens que pour elles-mêmes, et il annonce qu’il faut s’astreindre à respecter des règles, c'est-à-dire les propriétés. Contrairement à d’autres collègues, il ne souligne aucunement l’aspect concret, se rattachant à la réalité immédiate.
[Le professeur explique que les propriétés constatées et mesurées en 1ère vont être prouvées maintenant, qu’elles vont être démontrées. Et un premier outil pour cela, ce sont les transformations du plan.]
1 P - les symétries orthogonales. Que donner au départ ? 2 E - une droite
3 P - onl 'appelle axe. Pour une symétrie centrale ? A'E - un centre
5 P - une translation ? 6 E - des vecteurs [Le professeur corrige :]
IP - un segment orienté. Et pour une rotation ? [Le professeur dessine au tableau et attend des réponses.] [Au tableau]
X
+
O
8 E - wn point.
9 E - cercle ? [L’élève suggère la réponse mais visiblement, il hésite] Le professeur poursuit son idée.
Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année
10 P - de quoi cela va dépendre ? D’un angle! a ! Il faut donc le centre de rotation et l’amplitude de l’angle. Le sens positif de la rotation ? L ’ inverse des aiguilles d’une montre. [Sur un ton enjoué, comme si cela allait de soi.]
[Le professeur pose les questions et répond lui-même après de courts instants de silence.]
Le professeur se rend probablement compte que les élèves ont généralement plus de difficultés à comprendre et retenir ce que sont les rotations qu’ils n’en avaient avec les autres transformations, probablement parce qu’elle nécessite une construction au compas (d’où la réflexion de l’élève : « un cercle ») pour chaque point, et qu’il faut introduire les angles orientés auxquels les élèves n’ont pas été familiarisés jusqu’alors. 11 P - Pour la symétrie, on a deux possibilités selon que le point appartient ou non à l’axe. [Il dessine au tableau et en se retournant vers la classe, il attend qu’un élève lui dicte la construction qu’il faut effectuer:]
[Au tableau]
+
X
y
12 E - on mesure la même distance de Xà a avec une perpendiculaire.
[Le professeur ignore la réponse fournie par l’élève et pose la question correctement.] 13 P - comment trouver l’image de Xpar la symétrie d’axe a ?
[Il effectue la construction au tableau.
Ce faisant, le professeur explique la construction : comment on obtient X’, rappelle la notion de perpendicularité, et explique que la distance est la même entre X et a, et entre a et X’:]
[Au tableau]
permettre une réorganisation mentale de ce qu’ils savent. Or, les élèves ont appris l’année précédente, ou même durant leur école primaire, comment construire ces transformations. Il suppose peut-être que tout ceci est acquis et toujours bien maîtrisé. 14P - la symétrie se note s a.
L'image va de la gauche vers la droite, et celle de la droite va vers la gauche. Les points qui appartiennent à l'axe restent identiques.
Tous les points du plan ont combien d’images ? 15 E- une seule.
16 P - est-ce qu 'il existe un point qui a plus d’une image ? 17 E - non
18 P - et pas d'image ? 19 E - non
20 P - donc une symétrie est une transformation du plan.
Pourquoi transformation ? Parce que tout point a une seule image. Autre exemple, les projections parallèles.
[Au tableau]
Tous les points ont une image et une seule mais tous les points sur une droite parallèle à la direction de projection, ont même image.
[Au tableau]
y
Les segments ont la même longueur (observé)
Ligne 14. Ici, le professeur suggère la figure géométrique et donne en même temps, l’explication de ce qui pourrait poser problème aux élèves.
Ligne 20. A nouveau, il pose les questions et y répond mais en construisant un « dialogue », il précise pourquoi une symétrie est une transformation du plan et ce
Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année
faisant, il indique la structure de la théorie des transformations du plan en géométrie plaine.
Les réponses des élèves sont laconiques (lignes 15, 17,19).
21 P - il y a une définition à étudier : qu’est-ce qu’une symétrie orthogonale ? C’est une transformation du plan pour laquelle l ’axe est la médiatrice du segment qui a pour extrémités un point et son image.
Que pensez-vous de a ? Par rapport à XX’.
À la ligne 21, le professeur énonce la définition précise, excepté qu’elle se rapporte à la figure dessinée au tableau (l’axe n’a pas de nom).
22 E - elle est perpendiculaire 23 P - et ?
24 E - elle passe par le milieu du segment. [Le professeur montre plusieurs exemples.]
25 P - Comment appelle-t-on une droite qui passe par le milieu d’un segment et qui lui est perpendiculaire ?
26 E - une médiatrice !
27 P - définition ! Pas besoin d’utiliser la mémoire, uniquement les méninges !
Un axe est la médiatrice de tous les segments qui ont pour extrémités un point et son image. Il reste à mémoriser cette définition.
Symbole : Sa, Sa(X) se lit ?
L ’image de Xpar la symétrie d’axe a. Sa(X) = X’
Autre exemple : txy (P)=P ’ se lit ?
28 E - / ’image de P par la translation XY est P ’. 29 P- Sa(X) = X’=> a L XX’et...
30 E - primo, a doit passer par le milieu Secundo, \XA\ = \AX’\
31 P - et puis montrer la double flèche dans l ’autre sens : Ok!
Sa(Y)-Y
Combien de points fixes ? 32 E - une infinité
Le rythme de la leçon est soutenu ; pour ce professeur, il s’agit d’une révision, de plus, les élèves ont reçu des feuilles photocopiées où sont inscrites les définitions, et les notations symboliques. Jusqu’à présent, le discours se situe dans la géométrie. 33 P - rappel, pour montrer que l’image d’un triangle est un triangle pareil, on efiectue un pliage sur a.
Deuxième transformation du plan. Symétrie ?
35 P - symép'ie centrale de centre O [Au tableau] SoÇQ =X’ + O
+
x'Comment procéder ? Quelle est la première chose qu 'il faut placer ? 36 El - O
?>1'E2- la distance \XO\
38 P - et onia reporte de l'autre côté pour obtenir X' [le professeur enchaîne sur la réponse de l’élève]
Ligne 33. Cette fois, le discours s’oppose à ce qui a été dit précédemment. Le professeur parle d’un triangle « pareil » (isométrique), et il effectue un « pliage ». En fait, il valide l’existence de la symétrie par une action dans la réalité sensible. Mais tout de suite, il reprend son travail dans le domaine de la géométrie.
[Au tableau]
39 P - autre exemple : Xdevient X’ etX’ devientX Une transformation du plan est un ensemble de couples. Existe-t-il des points fixes ?
40E- O
41 P - O est quoi? 42 E - c 'est le milieu
43 P - la symétrie centrale est une transformation du plan pour laquelle le centre est le milieu du segment qui a pour extrémités un point et son image.
Comparons avec la symétrie orthogonale.
Si on ne se fie qu 'à sa mémoire, on finit par mélanger. Réfléchir : ici le centre est le milieu de tous les segments qui joignent chaque point à leur image.
Quel est le symbole ? La notion de milieu en symbole a déjà été vue. Quelles sont les deux conditions ?
Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année
44 E- OeJOT’
45 P - ok ou XOX’ sont alignés. Deuxième condition ? 46 E - \OX\ = \OX’\
47 P - rien de nouveau, le milieu d’un segment, on l’a déjà vu ! EtsiX=0?
48 E - X’=X
49 P - on comprend et on étudie, symétrie orthogonale et centrale : échangent un point et son image
3è transformation : les translations
Ligne 43. Le professeur parle de la notation symbolique. Mais en réalité, il exige une formule ; « Quelles sont les deux conditions ?... ».
Ligne 49. Jusqu’à présent, le discours du professeur s’est limité presque exclusivement à de la géométrie, excepté pour valider l’existence de la symétrie, et sa remarque (ligne 43). Les élèves donnent l’impression de suivre correctement le professeur. Leurs réponses se situent dans la géométrie. Mais les dialogues entre professeur et élèves sont laconiques. Pas un mot de trop (excepté à la ligne 43 : « si on ne se fie... »)
[Au tableau]
50 P - comment fait-on ?
51 E - on reprend la distance AB, on trace une parallèle 52 P - explication ?
53 E - on prend la distance AB, on reporte sur la droite d 54 P - deux couples AB et XX’ de la translation.
Iab(X) = X’ ssi ? Quelles sont les conditions ?
55 E - d(XX’) = d(AB)
56 P - oui mais en deuxième position. 51’E-XX’//AB
58 P - et le sens ? XX’ et AB ont même sens ! Ne pas confondre direction et sens.
Ligne 56. Les élèves ont retenu les conditions pour pouvoir construire une translation et ils les fournissent, peu importe l’ordre. Or cet ordre est repris par le professeur qui
vise donc la construction de la figure géométrique associée à la translation, et non la définition.
[Au tableau]
[Le professeur dessine et en même temps il donne son explication]
59 P - Par exemple, on est en panne sur l’autoroute, direction E25, on appelle Touring Secours qui vient en sens opposé. Il ne peut faire demi-tour. Il doit atteindre la sortie suivante pour faire demi-tour et venir nous rejoindre.
On a un ensemble de droites parallèles. Le sens est important, exemple Touring secours... L'image de A?
Ligne 59. Du contexte géométrique, le professeur passe à la réalité sensible, puis revient très vite à la géométrie. Les élèves doivent se situer dans le contexte mais implicitement faire appel à vm autre type de représentation pour aider à fixer une nouvelle représentation, celle de la définition de la translation en géométrie.
60 E- =B!
61 P - et l’image de B ? 62 E - =A!
63 P - d’où B’, B” etc.
Tous les points se déplacent, pas de demi-tour. Combien de points fixes ?
64E - 2! 4!
65 P - il n’y en n ’a pas. Sauf? Un vecteur particulier. 66 E - 5 ’il n 'existe pas de distance.
67 P - oui, le vecteur nul.
Explication : si le vecteur est nul, tous les points sont fixes. Par exemple, je vide mon tiroir, toutes les craies se déplacent...
On a la définition (écrite dans des photocopies que possèdent les élèves) : Une translation est une transformation du plan pour laquelle les points se déplacent en même temps dans la même direction, suivant le même sens et la même longueur.
Ligne 62. Soit l’élève n’a pas compris, soit le cours va trop vite et l’élève est encore dans les symétries centrales. Mais le professeur ne l’entend pas ou fait mine de ne pas l’entendre.
Ligne 64. Ici, certains élèves « décrochent », ils répondent presque au hasard.
Ligne 66. La remarque de l’élève montre qu’il travaille dans la réalité sensible. En géométrie, on dira que la distance est nulle, mais elle existe au même titre qu’une distance non nulle.
Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année
Les élèves ont reçu des feuilles photocopiées écrites par le professeur sur les différentes transformations du plan. Ces feuilles comportent pour chaque transformation, la construction de l’image d’un point avec, en guise d’explication, une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir construire, la définition en formule et en phrase, une indication sur les notations symboliques, des remarques, la construction d’une figure à laquelle s’ajoutent certaines constatations qui sont en fait des propriétés énoncées ensuite en phrases. Il n’y a pas de démonstration.