L'enseignement secondaire inférieur
5. Enseignement secondaire inférieur - Professeur 4 - Classe 4
Les deux classes suivantes sont deux classes parallèles, elles ont le même sujet de leçon et le même professeur. C’est pourquoi, pour ne peis surcharger, nous nous sommes contenté de présenter la deuxième classe avec une conclusion plus courte, sans présenter les quatre tensions.
1) Observation de la leçon
Il s’agit d’ime classe de 23 élèves de deuxième aimée du secondaire (entre 12 et 14 ans)
Le sujet de la leçon concerne les définitions d’axe de symétrie et de centre de symétrie, dans le plan. Les élèves ont déjà pris connaissance de ces objets mathématiques l’année précédente mais la formulation des définitions est nouvelle.
[Pendant que les élèves entrent en classe et s’assoient, le professeur écrit au tableau.]
[Au tableau]
RC l'
1 P - Ce gui est indiqué au tableau est le nom d’une ville. À vous de compléter pour trouver ce nom.
[Et presque en même temps, il pose la question ;]
2 P - Quelles sont les symétries que vous connaissez ?
3 E - la symétrie centrale, la symétrie orthogonale, l ’axe de symétrie. 4 P - quelles sont les particularités des axes et des centres de symétrie ? 5 El - le point est sur l’axe de symétrie
6 E2 - / ’axe est parallèle aux barres 7 P - prenons toute la lettre.
[Le professeur complète le « M » par rapport à l’axe de symétrie.]
[Au tableau]
8 P - Quelle et la particularité de cet axe ? 9 E3 - il forme une figure
À la ligne 1, le professeur propose une tâche qui a trait dans la vie courante. On peut en effet supposer que les élèves de cet âge sont suffisamment familiarisés avec les lettres majuscules. Il souhaite vraisemblablement en faire ressortir les propriétés géométriques que reflètent les symétries de ces objets, symétries qui apparaissent familièrement, pour aboutir à une définition mathématique. On sera donc confronté à deux domaines : la situation de la vie courante, avec une réalité sensible, et un domaine purement mathématique, le plan euclidien. Dans chacun de ces domaines, on utilise la langue naturelle mais en mathématiques, il existe également un idiome, et une formulation plus stéréotypée.
D’emblée, ces deux questions font apparaître la dualité entre les deux domaines: une situation et un contexte à la fois. La seconde question a pour but de faire rappeler aux élèves les prérequis.
À la ligne 6, l’élève formule une phrase qui se veut conforme au discours du professeur, dans la langue naturelle mais en utilisant un certain idiome propre aux mathématiques. Il n’y arrive pas tout à fait et mélange des termes précis géométriquement - l’axe est parallèle- avec quelque chose de plus approximatif - aux barres.
Sans s’adresser particulièrement à cet élève, le professeur recentre l’attention sur le dessin. Puis, (ligne 8), il demande d’imaginer. Entre sa phrase précédente et celle-ci, il y a passage de la situation à l’entrée dans un contexte. Mais c’est implicite. Du coup, (ligne 9), le discours est ambigu : « il forme » est du langage courant et « figure » rappelle l’expression « figure géométrique », un indice d’une représentation symbolique et d’un contexte.
10 P - prenons l’intersection, [sous-entendu ; du dessin et de l’axe de symétrie, le point qui sera commun à la partie de gauche et à celle de droite]
11 E4 - elle est symétrique [enchaîne sur ce que dit E3] 12 P- par rapport à quoi ?
13 El - à un point! 14 E2 - à un axe !
14 Les élèves donnent l’impression de deviner. Une intuition de la symétrie. Ce terme existe dans le langage courant, le dictiormaire (dict. Robert) le définit comme une « Juste proportion, accord des parties d'un bâtiment entre elles et avec l'ensemble, qui concourt à la beauté de l'architecture ». Et aussi, comme la « correspondance exacte en forme, taille et position de parties opposées; distribution régulière de parties, d'objets semblables de part et d'autre d'un axe, autour d'un centre » (le dictionnaire affiche ensuite la transformation géométrique).
Le professeur est parti de dessins et valide ses observations par im discours en géométrie, mais tout reste sur de l’observation. Le professeur ne précise pas le domaine dans lequel il travaille, pas plus qu’il ne souligne le passage du domaine de la réalité sensible (l’image constituée de la lettre majuscule) à la géométrie. Tout reste implicite. Les élèves se rendent probablement compte du passage vers la géométrie, comme en témoignent les silences ci-dessous, mais ils n’y arrivent pas vraiment : 15 P - cette figure a un axe de symétrie.
Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année
[Silence]
16 P - une figure possède un axe de symétrie dans quelles conditions ?
[Silence]
17 P - Toutes les figures ont-elles un axe de symétrie ? 18 El - non
19 77 existe des figures asymétriques
20S’il existe un axe, il faut deux côtés semblables. 21 E2 - identiques
22 E3 - superposables !
Le professeur tient un discours dans le contexte de la géométrie (ligne 17). Mais les élèves n’y sont pas encore complètement. Ainsi, à la ligne 20, El parle de « semblable ». Le terme « semblable » a une signification précise en mathématiques mais les élèves ne la connaissent pas encore. De la sorte, ce terme, tout comme « pareil », fait appel au langage courant; ils devraient dire « isométriques » pour être dans le contexte. Mais même en situation, semblables n’est pas encore assez précis. El produit un discours qui mélange la langue de tous les jours et l’idiome mathématique.
[P recherche les symétriques de différents points de la lettre M au tableau]
23 P - si on veut trouver l’image de M par la symétrie orthogonale dont on a tracé l’axe, qu ’obtient-on ?
24 E - la même chose !
25 P - 7 ’image et 7 ’objet de départ sont identiques. [P a parlé d’objet et non de figure] Comment définit-on un axe ?
26 E - c ’est une droite. 27 P - autre chose ?
28 El - il se situe entre deux parties symétriques
29 E2 - il divise une figure en deux parties superposables.
30 P - 7 ’ image de la figure par la symétrie est la figure elle-même. [Au tableau]
Axes et centres de symétrie d’une figure 31 P - définition
Un axe de symétrie d’une figure est une droite d telle que l’image de cette figure par la symétrie orthogonale d’axe d est la figure elle-même. (On pourrait parler d’invariant.)
Ligne 28. L’élève constate ce qu’il voit sur le dessin. Le mot « symétrique » se réfère peut-être bien chez cet élève, au langage courant.
Ligne 29. Le mot « superposable » est un mot qui n’appartient pas vraiment à l’idiome des mathématiques. On aurait plutôt parlé d’isométriques. Ce qui conduit à se dire que la représentation de l’élève serait plutôt de type iconique.
Ligne 30. Le professeur se situe dans le contexte et utilise les formulations d’usage en géométrie. Puis, il formule la définition (ligne 31). Cette phrase est dépersonnalisée, l’idiome est celui de la géométrie, et le verbe ne traduit pas une action. Le professeur
exprime la définition comme ce serait le cas dans une théorie (à caractère axiomatique).
32 P - Exemple
[Le professeur dessine l’axe de symétrie de la lettre M.]
[Au tableau]
M
Id
Ici, le dessin devient une figure géométrique. Et ceci se confirme par la réflexion suivante.
33 P - le centre de symétrie d’une figure ? 34 E - le milieu, le centre ?... ? [Hésitations]
35 P - c 'est une droite ? 36 E - un point !
37 P - un nom ? 38 E- C
[Le professeur regarde ses élèves et attend la suite.]
Son discours est lacunaire, il n’y a pas de phrase complète, ce qui a pour résultat de forcer les élèves à se concentrer sur les noms précis sans se laisser distraire par toute la structure de surface du langage et à accéder au fond directement et très précisément. 39 E - est un point C tel que l’image de cette figure par la symétrie orthogonale - heu centrale ! - de centre C est la figure elle-même.
[Le professeur acquiesce d’un signe de tête.]
40 P - définition du centre de symétrie :
Un centre de symétrie d’une figure est un point C tel que l’image de cette figure par la symétrie centrale de centre C est la figure elle-même.
Le mot « symétrique » vient de la langue courante. Mais il prend une signification précise en mathématiques. Une symétrie se construit, le professeur ne rappelle jamais cette construction, ou la définition de la symétrie. On peut supposer que la classe la maîtrise. De plus, on remarque qu’il essaie de faire travailler les élèves intuitivement, afin de découvrir ce qu’est un axe de symétrie (une reconnaissance idéale), et de trouver la définition mathématique (cf. début de la leçon).
Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année
[Au tableau]
Une séance d’exercices suit :
[Les élèves possèdent une feuille où sont écrits les énoncés des exercices proposés.] Premier énoncé :