4.3 Classification et construction
4.3.2 M´ethode de construction
Comme on peut le remarquer dans le tableau4.1, les « familles » d´ecrites pr´ec´edemment ne couvrent qu’une faible partie des conditions aux limites possibles. En effet, pour chaque valeur du genre g possible, les trois « familles » pr´ec´edentes correspondent aux polygone fondamentaux m´etriques avec le moins d’arˆetes possibles : 4g et 2(2g +1). Or, il est possible de construire des conditions aux limites p´eriodiques telles que le polygone fondamental poss`ede jusqu’`a 6(2g − 1) arˆetes. Entre ces deux extrˆemes, une multitude de polygones fondamentaux m´etriques sont possibles : pour un polygone fondamental associ´e au pavage {p,q}, q est un entier devant v´erifier q = 2 (1 + (2g − 1)/v) o`u v est le nombre de sommets du graphe associ´e‡14 (voir Tab.4.1). Ainsi, seules certaines valeurs de v permettent de construire un polygone fondamental m´etrique.
Chacun des polygones possibles d´ecrits ci-dessus poss`ede au moins un (mais souvent plusieurs) graphe associ´e conduisant ainsi `a au moins un appariement possible. Com-ment obtenir pour chacun de ces polygones les apparieCom-ments permettant de construire des conditions aux limites p´eriodiques valables ? Ne connaissant pas de moyens per-mettant de d´eterminer tous les appariements possibles sans ´enum´erer tous les graphes possibles, il est pr´ef´erable d’essayer d’exhiber une ou plusieurs « familles » de graphes permettant de construire un appariement pour chaque polygone fondamental m´etrique possible. Ainsi, en essayant de g´en´eraliser un des graphes obtenus pour le 18-gone avec g = 2 [120], on obtient facilement la « famille » d´etaill´ee en figure 4.15 : le graphe de genre g poss`ede 3(2g − 1) arˆetes pour 2(2g − 1) sommets de coordinence ´egale `a 3. Ce graphe poss`ede une unique marche ferm´ee conduisant ainsi `a un seul appariement.
En s’inspirant de cette derni`ere « famille » de graphes, on peut exhiber un appa-riement pour tous les polygones m´etriques fondamentaux possibles. En effet, pour un
‡14A noter que le cas v = 4 est impossible quelque soit g car q doit alors v´erifier q = g +3
2 et ˆetre entier.
4.3 Classification et construction 79 !3p 4" + 2 !p 4" + 2 !p 4" + 1 !3p 4" + 1 p 2 p 1 p 2+ 1 p 2+ 2 2 (a) (b)
Figure 4.13 –(a) Graphe d´ecor´e de la troisi`eme « famille » de conditions aux limites p´eriodiques dans H2 quelque soit le genre g > 2. Cette « famille » est une g´en´erali-sation du cas Euclidien hexagonal retrouv´e pour g = 1 (voir Fig. 4.4). Le polygone fondamental correspondant est similaire `a celui de la figure4.11b avec p = 2(2g + 1). Ici, ⌊p/4⌋ = g, ⌊3p/4⌋ = 3g + 1, etc. et g est pair. Pour g impair, il suffit d’inter-changer ⌊p/4⌋ et ⌊3p/4⌋. (b) Version du mˆeme graphe avec torsion. Les rotations sont alors identiques pour les deux sommets. Les graphes pr´esent´es en(a)et(b)sont stricte-ment ´equivalents car ils ne sont que deux repr´esentations planaires diff´erentes du mˆeme graphe plong´e dans le tore `a g trous (voir Fig.4.14).
Figure 4.14 – Surface compacte obtenue apr`es avoir accol´e entre-elles les arˆetes ap-pari´ees du polygone fondamental de la figure 4.11b avec p = 2(2g + 1), ici avec g = 3. Le graphe planaire associ´e est repr´esent´e en figure 4.13.
Figure 4.15 – Graphe d´ecor´e correspondant `a la « famille » q = 3 (voir colonne de droite du tableau 4.1). Ce graphe de genre g poss`ede 3(2g − 1) arˆetes pour 2(2g − 1) sommets de coordinence ´egale `a 3. Augmenter g d’une unit´e revient simplement `a ajouter deux sommets, la structure du graphe restant inchang´ee. Une seule marche ferm´ee est possible sur ce graphe, ce qui conduit `a un unique appariement pour le polygone fondamental associ´e (d’autres appariement sont tout de mˆeme possibles, mais ne sont pas d´ecrits par le graphe pr´esent´e ici).
4.3 Classification et construction 81
Table 4.1 – El´ements de classification des conditions aux limites p´eriodiques dans le plan hyperbolique (pour un polygone fondamental m´etrique et un espace quotient associ´e compact).
Genre de l’espace quotient g > 2a
Nombre d’arˆetes 2Nmin 2Nmax
de la = =
cellule de base 4g 4g + 2 . . . 6(2g − 1)
Pavage associ´e {4g,4g} {2(2g + 1),2g + 1} Peut ne pas existerb {6(2g − 1),3}
G
raph
e
Nombre d’arˆetes 2g 2g + 1 . . . 3(2g − 1)
Nombre de sommets 1 2 . . . 2(2g − 1)
Coordinence des sommets 4g 2g + 1 Peut ne pas existerb 3
Nombre de graphes possibles >2c >1 Peut ne pas existerb >5d
Marches ferm´ees autoris´ees . . . ?
et d´ecorations + + .. . + . .. P oly gon e fond ame n tal
Nombre d’appariements possibles >2c >1 Peut ne pas existerb >8d
Familles d’appariements . . . ? + + .. . + .. .
aOn retrouve le cas Euclidien en prenant g = 1.
bChaque sommet (du polygone et donc du graphe) a une coordinence ´egale `a q qui doit satisfaire q = 2 (1 + (2g − 1)/v) o`u v est le nombre de sommets du graphe, lui-mˆeme donn´e par la relation d’Euler (voir ´equation (4.8)). Si q n’est pas entier, le polygone fondamental ainsi que le pavage correspondant ne sont alors pas r´eguliers, ce qui n’est pas envisag´e ici car nous nous limitons au cas d’un polygone fondamental m´etrique.
cExcept´e dans le cas Euclidien o`u ce nombre est ´egal `a 1.
(a) Graphe dont le nombre d’arˆetes e est reli´e au nombre de sommets v par e = (2m + 1
2)v avec m ∈ ◆∗
(b) Graphe dont le nombre d’arˆetes e est reli´e au nombre de sommets v par e = (2m + 3
2)v avec m ∈ ◆∗
Figure 4.16 – Graphes d´ecor´es correspondant aux « familles » o`u le nombre de som-mets du graphe v est pair. Ces graphes d´ecrivent les appariements des polygones fon-damentaux correspondant aux colonnes paires possibles du tableau 4.1 (v est en effet l’indice de chaque colonne).
pavage {p,q}, on a la relation suivante pq = v o`u v est le nombre de sommets du graphe associ´e. Or p = 2e, avec e le nombre d’arˆetes du graphe, ce qui donne e = q2v. Dans le pr´ec´edent graphe, on avait e = 32v quelque soit la valeur de g. Ainsi, en trouvant des familles de graphes o`u e = n
2v avec n entier et n > 1, on peut associer un appariement `a chaque polygone m´etrique fondamental possible. De plus, l’´equation (4.8) nous donne des conditions sur n : si v est pair, e doit ˆetre impair, ce qui implique n impair. Au contraire, si v est impair, e doit ˆetre pair et n doit alors ˆetre un multiple de 4.
Trois « familles » de graphes permettent de couvrir tous ces cas. Tout d’abord, pour v pair les deux « familles » de graphes pr´esent´ees en figures 4.16a et 4.16b v´erifient respectivement, quelque soit g, e = (2m +12)v et e = (2m +32)v avec m entier non nul, ce qui correspond bien `a n impair. Pour v impair, la « famille » repr´esent´ee dans la figure 4.17 v´erifie, quelque soit g, e = 2mv avec m entier non nul, ce qui correspond bien `a n multiple de 4.
Ainsi, pour tout polygone m´etrique fondamental, on peut trouver un appariement `a partir de ces graphes.