Corr´elations structurales statiques

La mesure de l’extension de l’ordre hexagonal/hexatique passe par l’´etude de la fonction de corr´elation G6(r) pr´esent´ee dans la partie 3.1.2. Cette fonction de corr´elation a ´et´e calcul´ee pour trois syst`emes (ρ ≃ 0,85) de frustration κσ = 0,2, κσ = 0,1 et κσ = 0,05. Dans tous les cas, les temp´eratures minimales atteintes sont sup´erieures `a celles atteintes pour la simple d´etermination du temps de relaxation ταdu syst`eme (voir figure6.12). Comme ´evoqu´e pr´ec´edemment, le calcul des corr´elations s’effectue en effet sur un syst`eme deux fois plus grand et la d´etermination du param`etre orientationnel fait appel `a des triangulations de Delaunay, ce qui, au final, alourdit consid´erablement le calcul n´ecessaire pour obtenir la fonction G6(r).

‡3On sait par exemple que dans le plan Euclidien, la viscosit´e est directement li´ee `a la densit´e de dislocations [91].

7.2 Longueurs caract´eristiques 139 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

!r

G

(r)/G

T➘

Figure 7.2 – Fonction de corr´elation G6(r) normalis´ee par Gmax

6 pour un syst`eme tel que ρ ≃ 0,85 et κσ = 0,2. Les temp´eratures s’´echelonnent entre T/T∗ = 4,55 et T /T∗ = 0,52. On peut remarquer que l’extension de l’ordre hexagonal/hexatique augmente l´eg`erement pour saturer vers κ−1 (les courbes des temp´eratures les plus basses sont quasiment superpos´ees).

T➘

!r

G

(r)/G

Figure 7.3 – Fonction de corr´elation G₆(r) normalis´ee par Gmax

6 pour un syst`eme tel que ρ ≃ 0,85 et κσ = 0,1. Les temp´eratures s’´echelonnent entre T/T∗ = 4,35 et T /T∗ = 0,45. On peut remarquer que l’extension de l’ordre hexagonal/hexatique augmente fortement et une modulation apparaˆıt pour les temp´eratures les plus basses.

T➘

!r

G

(r)/G

Figure 7.4 – Fonction de corr´elation G₆(r) normalis´ee par Gmax

6 pour un syst`eme tel que ρ ≃ 0,85 et κσ = 0,05. Les temp´eratures s’´echelonnent entre T/T∗ = 4,01 et T /T∗ = 0,98. On peut remarquer que l’extension de l’ordre hexagonal/hexatique augmente tr`es fortement lorsque l’on abaisse la temp´erature et une modulation apparaˆıt pour les temp´eratures les plus basses. La saturation de l’extension de cet ordre n’est pas observ´ee dans la gamme de temp´eratures ´etudi´ee.

7.2 Longueurs caract´eristiques 141 0.5 1.0 1.5 2.0 2 4 6 8 10 12 14

T

/T

ξ

/σ

Figure 7.5 – Evolution de la longueur de corr´elation statique ξ6 en fonction de la temp´erature et de la frustration. On peut noter une saturation aux basses temp´eratures (pour les deux frustrations les plus fortes pour lesquelles nous avons les donn´ees) et une croissance d’autant plus rapide que la frustration est faible.

Les figures7.2, 7.3et7.4 pr´esentent l’´evolution de G₆(r) lorsque la temp´erature di-minue pour les trois frustrations indiqu´ees pr´ec´edemment. On y remarque tout d’abord que l’ordre hexagonal/hexatique est `a courte port´ee dans la phase liquide et que son extension croˆıt lorsque la temp´erature diminue jusqu’`a saturer vers une distance de l’ordre de κ−1 aux temp´eratures les plus basses. Ainsi, en unit´es σ, la port´ee maximale est de l’ordre de la longueur de frustration 1/(κσ) qui grandit quand la frustration baisse.

Pour les frustrations les plus faibles, une modulation apparaˆıt dans la d´ecroissance de la fonction de corr´elation aux temp´eratures les plus basses. Nous interpr´etons cette modulation comme r´esultant de l’organisation du liquide en domaines d’ordre hexago-nal/hexatique s´epar´es par des r´egions de d´efauts. L’apparition d’une telle modulation est `a rapprocher de celle observ´ee dans les syst`emes de spins `a frustration coulombienne o`u des phases lamellaires peuvent apparaˆıtre et induisent alors de telles modulations dans les fonctions de corr´elation [69, 70].

Afin de quantifier l’extension de l’ordre hexagonal, nous avons extrait des fonctions de corr´elation G6(r) pr´ec´edentes une longueur caract´eristique ξ6. Lorsqu’une modula-tion de G6(r) est pr´esente, la longueur ξ6 est prise ´egale `a la distance correspondant au maximum du premier pic de la modulation‡4, tandis que dans le cas contraire ξ6 est d´etermin´ee par la longueur caract´eristique de la d´ecroissance exponentielle.

L’´evolution de ξ₆en fonction de la temp´erature et de la frustration est pr´esent´ee dans la figure7.5. Pour les deux frustrations les plus fortes, on trouve bien que ξ6sature `a une

‡4car les autres pics ´eventuels ne sont pas visibles pour les distances sur lesquelles la fonction de corr´elation est calcul´ee. Cette distance donne la taille caract´eristique des domaines hexatiques.

distance κ−1aux plus basses temp´eratures. Cette saturation est impos´ee par la courbure de l’espace qui, introduisant une densit´e irr´eductible de d´efauts topologiques, empˆeche l’extension `a grande distance de l’ordre hexagonal/hexatique. Pour la frustration la plus faible, l’extension de l’ordre hexagonal n’a pas encore satur´e `a la temp´erature la plus basse ; on remarque cependant que moins le syst`eme est frustr´e, plus ξ6 grandit rapidement et plus la temp´erature de saturation est basse. On peut ´egalement noter qu’`a haute temp´erature ξ₆ est identique pour toutes les valeurs de la frustration, ce qui est coh´erent avec un ordre liquide `a courte port´ee et donc ind´ependant de la frustration car la courbure de l’espace n’intervient alors pas.

En r´esum´e, les r´esultats pr´esent´es dans cette partie confirment l’existence dans ce syst`eme d’une longueur de corr´elation statique augmentant lorsque la temp´erature di-minue. La rapidit´e de la croissance de cette longueur d´epend de la frustration, qui gouverne ´egalement la temp´erature et la distance auxquelles la longueur sature. Cette saturation, intimement li´ee `a la frustration, est un aspect important de la ph´enom´eno-logie du pr´esent mod`ele.