Appariements et marches ferm´ees sur les graphes

Afin de totalement d´eterminer les conditions aux limites p´eriodiques, il faut connaˆıtre l’appariement des cˆot´es du polygone fondamental. Nous venons de voir que cet appa-riement est reli´e au graphe plong´e dans l’espace quotient et plus particuli`erement `a la marche ferm´ee que l’on effectuer le long de celui-ci. Plus pr´ecis´ement, pour un graphe, il suffit d’exhiber une marche ferm´ee sur celui-ci afin d’en d´eduire un appariement pour le polygone fondamental. A l’inverse, si l’appariement est connu, on peut remonter `a la marche sur le graphe. Cependant, les conditions n´ecessaires `a l’existence d’une marche ferm´ee sont beaucoup plus simples et intuitives que celles pour l’appariement qui font appel aux g´en´erateurs du groupe Fuchsien associ´e (voir ´equation (4.6)). C’est pour-quoi, par la suite, nous allons nous concentrer sur les graphes et leurs marches afin d’en d´eduire les appariements possibles au niveau du polygone fondamental.

Faire le tour du polygone fondamental en suivant sa fronti`ere est ´equivalent `a mar-cher le long du graphe de l’espace quotient en choisissant l’arˆete adjacente `a chaque

(a) (b)

Figure 4.3 – Contraintes sur les marches ferm´ees : (a) chaque arˆete doit ˆetre suivie exactement une fois dans chaque direction ; (b) deux pas cons´ecutifs de la marche ne peuvent pas passer sur la mˆeme arˆete.

sommet rencontr´e, chaque arˆete du graphe poss´edant deux « faces » correspondant cha-cune `a une arˆete du polygone fondamental. Pour que cette ´equivalence soit rigoureuse, il faut respecter les contraintes suivantes :

- la marche passe par une arˆete du graphe exactement une fois dans chaque direc-tion, chaque passage correspondant `a une « face » de l’arˆete (voir figure 4.3a), - quand une arˆete `a ´et´e parcourue dans un sens, la marche ne peut pas revenir

imm´ediatement sur ses pas, c’est-`a-dire sur la mˆeme arˆete mais dans la direction oppos´ee (voir figure 4.3b).

Ces r`egles permettent d’´enum´erer tous les graphes et toutes les marches ferm´ees asso-ci´ees pour un polygone donn´e. Ceci a ´et´e effectu´e dans le cas particulier des polygones fondamentaux `a 18 cˆot´es et de genre 2 [120]. Cependant, ce n’est pas le caract`ere ex-haustif d’une ´enum´eration qui nous int´eresse, mais plutˆot la mani`ere de construire de telles marches et leur classification. C’est pourquoi nous allons par la suite nous attacher `a la description de diff´erentes « familles » de marches poss´edant des caract´eristiques communes.

Pour des raisons de commodit´e, les graphes seront repr´esent´es dans le plan Euclidien au lieu de l’espace quotient de genre g, si bien qu’il est n´ecessaire de trouver un moyen pour les repr´esenter fid`element, c’est-`a-dire qu’il faut trouver un moyen de repr´esenter la mani`ere de les parcourir. En effet, dans l’espace quotient, les r`egles pour suivre la marche ferm´ee sont naturelles : il suffit de suivre les arˆetes et `a chaque sommet rencontr´e, emprunter l’arˆete adjacente (au sens du polygone, c’est-`a-dire l’arˆete du polygone cons´ecutive). Or dans le plan Euclidien, il faut fixer les r`egles de la marche ferm´ee pour passer d’une arˆete `a l’autre : quelle est l’arˆete adjacente (au sens du polygone) ? Pour cela, nous parlerons d´esormais de « graphe » uniquement pour la repr´esentation dans le plan Euclidien du « vrai graphe » sans les r`egles n´ecessaires pour construire les marches ferm´ees. Ainsi, pour chaque graphe, diff´erentes marches ferm´ees peuvent exister. Cependant, plusieurs marches peuvent conduire au mˆeme appariement, par exemple dans le cas du 18-gone de genre 2 [120], 5 graphes et 13 marches diff´erentes ont ´et´e trouv´es, mais ces derni`eres conduisent `a seulement 8 appariements distincts pour le polygone fondamental.

4.2 G´en´eralisation au plan hyperbolique 71

1

4

3

6

5

2

Figure 4.4 – Graphe d´ecor´e correspondant aux conditions aux limites p´eriodiques hexagonales dans le plan Euclidien (voir Fig. 4.2a). La marche ferm´ee sur le graphe est indiqu´ee par les fl`eches num´erot´ees. Les noeuds sont d´ecor´es par les rotations ho-raires (disque plein) et anti-horaire (disque vide). On peut noter que ce graphe est la repr´esentation Euclidienne du graphe plong´e dans le tore `a un trou de la figure4.2b.

Afin d’encoder la mani`ere dont doit s’effectuer la marche ferm´ee sur le graphe, il est utile d’introduire le concept de « rotation » pour les sommets du graphe. En effet, il est simple de voir que les seules possibilit´es pour les r`egles de bifurcations entre arˆetes aux sommets sont les rotations dans les deux sens (trigonom´etrique ou non) autour d’un sommet (voir Fig.4.4).

L’ensemble des marches ferm´ees possibles pour un mˆeme graphe s’obtient en com-men¸cant par d´ecorer chaque sommet du graphe par une des deux rotations possibles. Il faut ensuite retenir uniquement les d´ecorations conduisant `a une marche ferm´ee va-lable. Dans certains cas, des r`egles de s´election peuvent ˆetre ´etablies [120]. Une fois une d´ecoration du graphe effectu´ee, on peut remonter `a l’appariement du polygone fonda-mental correspondant en effectuant une marche ferm´ee sur le graphe. Un moyen simple de relier cette marche `a son appariement est de num´eroter chaque arˆete du graphe par la position de celle-ci dans la marche ferm´ee. Chacune des arˆetes comportera ainsi deux num´eros, chacun correspondant `a un passage de la marche dans une des deux direc-tions possibles. Ces deux num´eros repr´esentent ´egalement la position dans le polygone de deux de ses arˆetes appari´ees entre-elles.

On peut d´etailler cette proc´edure sur le cas Euclidien des conditions aux limites p´e-riodiques hexagonales. Dans ce cas, le graphe est pr´esent´e dans la figure4.4, compos´e de deux sommets et trois arˆetes. On peut ais´ement v´erifier que les seules d´ecorations menant `a une marche ferm´ee sont telles que les deux sommets ont des rotations oppo-s´ees. La num´erotation des arˆetes du graphe selon une marche ferm´ee comme montr´e en figure4.4 conduit `a l’appariement suivant :

1 − 4 , 2 − 5 , 3 − 6.

Cette notation se lit de la mani`ere suivante : l’arˆete 1 est appari´ee `a l’arˆete 4, l’arˆete 2 `a l’arˆete 5 et l’arˆete 3 `a l’arˆete 6. Bien que la plus naturelle, cette notation n’est pas

la plus pratique, en particulier pour des polygones dont le nombre de cˆot´es est ´elev´e et pour les appariements complexes. On peut introduire une notation plus visuelle o`u pour chaque arˆete du polygone on note le nombre d’arˆetes la s´eparant (toujours dans la mˆeme direction donn´ee) de celle avec laquelle elle est appari´ee. L’appariement pr´ec´edemment donn´e peut ainsi ˆetre r´e´ecrit :

2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2,

ce qui signifie qu’en parcourant la p´eriph´erie de l’hexagone dans le sens trigonom´etrique, chaque arˆete i est reli´ee `a l’arˆete i + 3, c’est-`a-dire : 1 avec 4, 2 avec 5 et 3 avec 6. A partir de maintenant, cette notation sera la seule et unique `a ˆetre employ´ee.