4.3 Classification et construction
4.3.3 Choisir des conditions aux limites p´eriodiques appropri´ees
Maintenant que nous avons esquiss´e une classification des diff´erentes conditions aux limites possibles dans le plan hyperbolique, ainsi qu’un moyen de doter tout polygone fondamental m´etrique d’un appariement ad´equat, il est n´ecessaire de d´etailler
com-4.3 Classification et construction 83
Figure4.17 – Graphe d´ecor´e correspondant `a la « famille » o`u le nombre de sommets du graphe v est impair. Ce graphe d´ecrit l’appariement des polygones fondamentaux correspondant aux colonnes impaires possibles du tableau4.1.
ment choisir des conditions aux limites p´eriodiques adapt´ees `a un probl`eme physique donn´e. Ces derni`eres doivent alors r´epondre `a des contraintes impos´ees par diff´erentes caract´eristiques du syst`eme physique envisag´e : la sym´etrie de la cellule peut jouer un rˆole important dans certains cas comme, par exemple, l’´etude de phases ordonn´ees. La surface de cette mˆeme cellule permet ´egalement d’ajuster la densit´e du syst`eme ou bien de mener une ´etude en taille finie `a densit´e constante, comme cela peut ˆetre utile pr`es d’un point critique.
Comme nous allons le voir, le choix de conditions aux limites p´eriodiques diff`ere selon que l’on envisage un syst`eme sur r´eseau ou non. C’est pourquoi, nous commen-cerons par d´etailler la proc´edure de choix dans le cas g´en´eral, puis nous traiterons le cas d’un syst`eme sur r´eseau o`u des contraintes suppl´ementaires apparaissent.
G´en´eralit´es
Tout d’abord, d’apr`es la relation (4.4), l’aire d’un polygone fondamental est un multiple de 4πκ−2, ce qui l’empˆeche de varier continˆument de z´ero `a l’infini : pour une cour-bure donn´ee, les aires accessibles forment alors un ensemble infini mais d´enombrable. Contrairement au cas Euclidien o`u il suffit d’appliquer une homoth´etie `a un polygone fondamental pour en changer son aire dans n’importe quelle proportion, dans le plan hyperbolique il est n´ecessaire de changer le genre du polygone fondamental. Or, en plus de modifier l’aire du polygone de mani`ere discr`ete, cela implique ´egalement un chan-gement de sym´etrie de la cellule. Il en r´esulte que deux polygones d’aires diff´erentes sont associ´es `a des pavages diff´erents du plan hyperbolique. Un polygone fondamental m´etrique est donc compl`etement caract´eris´e, si l’on fait abstraction de l’appariement de ses arˆetes, par son genre g et son nombre d’arˆetes 2N . Ainsi, `a chaque couple {g,N}
correspond un pavage {p,q} du plan hyperbolique tel que {p,q} = 2N, 2N N − 2g + 1 . (4.11)
Cependant, ce pavage peut ˆetre engendr´e par diff´erents groupes Fuchsiens Γ. Chaque groupe correspondant `a un appariement diff´erent des arˆetes du polygone fondamental. En r´esum´e, le choix de conditions aux limites dans le plan hyperbolique appropri´ees `a un syst`eme physique donn´e passe par le choix :
- de l’aire du polygone fondamental (parmi un ensemble discret `a courbure fix´ee), ce qui impose la valeur de son genre g,
- du nombre d’arˆetes de ce polygone fondamental, ce qui fixe pour un genre g donn´e le pavage du plan hyperbolique associ´e,
- l’appariement des arˆetes de ce polygone fondamental en utilisant le formalisme des graphes introduit pr´ec´edemment, ce qui va alors d´eterminer le groupe Fuchsien Γ sous-jacent.
Ce dernier choix de l’appariement est le plus complexe d’un point de vue formel, mais aussi le plus d´elicat d’un point de vue physique. L’impact physique du choix entre deux appariements possibles pour un mˆeme polygone n’est pas ´evident. En effet, chaque appariement va autoriser certaines sym´etries et en interdire d’autres, mais lesquelles sont pertinentes pour le probl`eme envisag´e ? La mani`ere dont l’appariement influe sur la physique du syst`eme consid´er´e reste, pour nous, un probl`eme ouvert.
Cette proc´edure de choix de conditions aux limites p´eriodiques dans le plan hyper-bolique s’applique `a tous les syst`emes continus, c’est-`a-dire sans r´eseau sous-jacent, et donc aux mod`eles atomiques de liquides comme celui que nous avons ´etudi´e dans ce travail. Un exemple simple est d´etaill´e dans le chapitre suivant via l’´evolution d’une particule libre dans une cellule octogonale du plan hyperbolique. Plus de d´etails sont donn´es dans les chapitres suivants.
Syst`emes sur r´eseau
Dans le cas de syst`emes sur r´eseau, de nouvelles contraintes apparaissent et la proc´edure de choix d´ecrite plus haut devient alors incompl`ete. En effet, si l’on se r´ef`ere au cas Euclidien, les conditions aux limites compatibles avec un r´eseau donn´e doivent r´epondre `a certains crit`eres : si l’on consid`ere le r´eseau carr´e dont la taille de la maille est a, le groupe discret d’isom´etries engendrant ce pavage poss`ede pour g´en´erateurs les deux translations Ta~xet Ta~y. Il est clair que dans ce cas, tout rectangle de cˆot´es m×a et n×a avec m et n dans ◆∗ ou, si l’on se restreint `a un polygone fondamental r´egulier, tout carr´e de cˆot´e n × a conviendra comme cellule de base pour des conditions aux limites p´eriodiques. Dans un tel cas, les arˆetes oppos´ees du carr´e seront appari´ees afin d’obtenir des conditions aux limites p´eriodiques valables. Le polygone fondamental ainsi obtenu (voir Fig. 4.1) correspond au pavage {4,4} et au groupe discret d’isom´etries engendr´e par les translations Tna~x et Tna~y. Ce groupe est un sous-groupe du groupe associ´e au pavage original (maille de taille a) : les deux groupes sont alors dits compatibles. Dans le cas du plan hyperbolique cette notion de compatibilit´e se g´en´eralise de la
4.3 Classification et construction 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (a) (b) 11 2 3 8 9 14 1 6 7 12 13 4 5 10 1 6 5 10 9 14 13 4 3 8 7 12 11 2 (c)
Figure4.18 – Conditions aux limites p´eriodiques avec g = 3 et 2N = 14 conduisant au pavage {14,7} :(a) polygone fondamental et appariement, (b) espace quotient associ´e et graphe et(c) graphe d´ecor´e et marche ferm´ee.
mani`ere suivante : le groupe Fuchsien associ´e au polygone fondamental correspondant aux conditions aux limites p´eriodiques doit ˆetre un sous-groupe normal‡15 du groupe Fuchsien associ´e au r´eseau [121, 122].
Afin de mieux visualiser la compatibilit´e entre pavage et conditions aux limites p´eriodiques, prenons l’exemple du pavage {3,7}. Le sous-groupe normal compatible avec ce pavage et dont le polygone fondamental associ´e poss`ede le genre et donc l’aire les plus faibles a ´et´e d´ecrit pour la premi`ere fois dans [118] : le polygone fondamental est un 14-gone de genre g = 3 dot´e de l’appariement d´etaill´e en figure4.18a. Le pavage
‡15Un sous-groupe normal Σ d’un groupe Γ est un sous-groupe invariant par conjugaison, c’est-`a-dire tel que pour tout (σ,γ) ∈ Σ×Γ, γσγ−1∈ Σ. Si Γ est ab´elien, alors tous ses sous-groupes sont normaux, ce qui n’est pas le cas des groupes Fuchsiens et rend donc ici la s´election de sous-groupes normaux plus complexe que dans le cas Euclidien.
Figure4.19 – Conditions aux limites p´eriodiques les plus simples pour un r´eseau {3,7} (repr´esent´ees dans le mod`ele du disque de Poincar´e) : la cellule de base est un 14-gone dont les faces sont appari´ees comme indiqu´e en figure 4.18a. Les sommets du r´eseau indiqu´es en noir sont dupliqu´es (voir texte).
engendr´e par ces conditions aux limites p´eriodiques est le pavage {14,7} et l’on peut voir sur la figure4.19que la cellule de base de ce pavage contient 24 sommets du r´eseau {3,7}. Les sommets du r´eseau pr´esents sur les arˆetes ou sommets de la cellule de base (repr´esent´es par des disques noirs sur la figure 4.19) sont dupliqu´es, c’est-`a-dire que plusieurs d’entre eux peuvent repr´esenter le mˆeme sommet du r´eseau, en particulier deux sommets pr´esents sur des arˆetes appari´ees ne constituent qu’un seul et mˆeme sommet.
L’´enum´eration de tous les sous-groupes normaux permet d’envisager d’augmenter le genre et donc l’aire du polygone fondamental. Cette ´enum´eration est esquiss´ee dans la r´ef´erence [123] et d´etaill´ee dans l’annexeB. Dans le cas du r´eseau {3,7}, cela conduit par exemple `a des polygones fondamentaux possibles de genre g = 7,14,118,146, . . .