La méthode de maillage utilisée par le programme de simulation numérique est une triangulation de Delaunay. Cette triangulation est habituellement utilisée pour les maillages d’éléments et se veut robuste et efficace pour des domaines 3D relativement complexes [132].
La triangulation de Delaunay d’un ensemble 𝒫𝑙 de points du plan est une triangulation 𝐷𝑇(𝒫𝑙) tel qu’aucun point de 𝒫 n’est à l’intérieur du cercle circonscrit d’un des triangles de 𝐷𝑇(𝒫𝑙). Le maillage volumique est alors analogue à cette définition. Aucune sphère de l’espace défini n’est circonscrite à l’intérieur d’un des tétraèdres du maillage volumique.
Il existe aujourd’hui des logiciels de programmation en open-source permettant d’exploiter les triangulations de Delaunay à partir d’une succession d’images binaires en coupe représentant l’objet à mailler dans le volume. Le programme utilisé pour la triangulation est un programme en open-source nommé Iso2Mesh, et développé par Qianqian Fang [133].
Un des avantages du logiciel Iso2Mesh est l’obtention directe du maillage volumique à partir de la succession d’images binarisées. Ces types d’images sont souvent obtenus à partir de scanner ou tomographies à rayons X. Le logiciel permet donc de relier directement les images obtenues au maillage associé, offrant alors un intérêt dans le domaine de la santé. Il permet de manière plus générale d’obtenir des maillages de structures complexes caractérisées par tomographie à rayons X comme des matériaux froissées ou des mousses.
Différents maillage d’électrodes peuvent alors être obtenus par cette méthode. La figure 67 représente le maillage de différents types de géométries d’électrodes.
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[05/09/2020]Figure 67 : Maillage surfacique par triangulation de Delaunay (a) Plaque (b) Grille
Le principe de fonctionnement de la simulation a été abordé dans la sous-section précédente. Sa principale caractéristique la définissant est sa particularité à étudier le problème à travers le maillage de la surface de l’électrode et la création probabiliste de sites actifs. Le décrochage des bulles, influant l’évolution de la surface peut alors prendre une dimension probabiliste étant donné le grand nombre de sites actifs considérés.
La loi de probabilité utilisée est la fonction de répartition d’une loi Normale. Le choix de l’utilisation d’une loi Normale est motivé par le fait que ces lois sont adaptées à la modélisation de phénomènes naturels issus de plusieurs évènements aléatoires.
𝑟~𝒩(𝜇, 𝜎)
La répartition des rayons de décrochages suit alors la densité de probabilité de la loi Normale définie par :
𝑓(𝑟) =
1
𝜎√2𝜋𝑒
−12(𝑥−𝜇𝜎 )2
Cette répartition prend une forme gaussienne centrée sur la valeur moyenne
𝜇
et d’écart-type 𝜎.141
[05/09/2020]Pour une bulle de rayon r, la probabilité de décrochage à chaque incrément de temps est définie par la fonction de répartition de la loi Normale :
𝑃𝑟(𝑟) =
1
2+
1
2(𝑒𝑟𝑓 (
𝑟 − 𝜇
𝜎√2))
La moyenne𝜇
correspond alors au rayon critique moyen des bulles.𝜇 = 𝑟
𝑐O
n peut alors faire varier les paramètres𝜇
et𝜎
de manière à obtenir des résultats de simulation en concordance avec les résultats expérimentaux. La valeur de𝜇
est définie comme étant le rayon critique moyen qui a été mesuré expérimentalement, et sigma est ajusté de manière à obtenir des résultats reproduisant les comportements et la dynamique observée expérimentalement.Le paramètre d’entrée est la densité de courant, les sites actifs sont modélisés par le maillage de l’électrode. La surface totale de l’électrode est calculée au 1er incrément de temps :
𝑆
𝑡𝑜𝑡= ∑ 𝑆
𝑖Avec
𝑆
𝑖 la surface de l’élément i, calculée à partir des coordonnées des nœuds de maillage de l’élément. Les courants locaux𝐼
𝑖 circulant dans chaque élément i sont calculés :𝐼
𝑖= 𝑗 𝑆
𝑖On peut à partir de la connaissance des courants locaux, calculer, le volume d’oxygène formé sur chaque maille qui suit une évolution Faradique.
De la même manière que pour le modèle analytique :
𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑂 2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑉𝑜𝑙
𝑚𝐼
𝑖𝑛𝐹
On connait alors le volume de gaz formé sur chaque site actif. Ce qui permet de déduire le rayon de bulle associé à chaque élément i :
142
[05/09/2020]𝑟
𝑖= √
3
4𝜋
𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑂 2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
3On peut maintenant calculer la probabilité de décrochage en tout point de la discrétisation :
𝑃
𝑖(𝑟
𝑖) =
1
2+
1
2(𝑒𝑟𝑓 (
𝑟
𝑖− 𝑟
𝑐𝜎√2
))
Un test de probabilité est alors effectué par la génération de nombres aléatoires que l’on appellera 𝐾𝑖, compris entre 0 et 1 pour chaque élément de maillage. Les bulles se décrochant
de l’électrode sont alors associées aux éléments de maillage remplissant la condition suivante :
𝐾
𝑖< 𝑃
𝑖(𝑟
𝑖)
Les volumes d’oxygènes et les rayons de bulles sont remis à 0 pour les sites actifs ayant validé le test probabiliste de décrochage de la bulle.
On peut maintenant calculer à nouveau la surface active totale de l’électrode pour l’incrément de temps considéré. La surface masquée par une bulle est considérée comme étant proportionnelle au carré du rayon, on peut alors recalculer la surface active des éléments et la surface active totale :
𝑆
𝑖← 𝑆
𝑖− 𝑆
𝑚𝑖𝑆
𝑡𝑜𝑡= ∑ 𝑆
𝑖Et on peut alors évaluer la surtension et le potentiel de l’électrode par la relation de Butler- Volmer :
𝐸 = 𝐸
0+
𝑅𝑇
𝑛𝛼
0𝐹𝑙𝑛 (
𝐼𝑆
0𝐼
0𝑆(𝑡))
𝐸 = 𝐸
0+
𝑅𝑇
𝑛𝛼
0𝐹𝑙𝑛 (
𝑆
0𝑆(𝑡)) +
𝑅𝑇
𝑛𝛼
0𝐹𝑙𝑛 (
𝐼
𝐼
0)
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[05/09/2020]Ce calcul du potentiel termine l’incrément de temps considéré, l’algorithme effectue une boucle et recommence à nouveau les calculs pour le pas de temps suivant, en reprenant le calcul des courants locaux qui sont modifiés par la présence de bulles.
Le caractère bimodal des bulles observé expérimentalement est introduit dans la simulation par la séparation des sites actifs en deux types. Le premier type correspond aux sites actifs donnant naissance aux bulles de la population A, les autres sites produisent des bulles de la population B. La loi de distribution des tailles de bulles correspond donc à une superposition de deux lois normales. Chacune est définie par sa propre valeur moyenne et son propre écart type.
Pour ce faire, une part bien définie des éléments de maillage est considéré comme de type A. Cette part est déterminée à partir des résultats de modélisation analytique. En effet, le rapport des paramètres représentant le nombre de bulles produites par unité de temps 𝛼𝑎
𝛼𝑏+𝛼𝑎 donne la
part de bulles de type A produite par rapport au nombre total de bulles produites.
Le calcul effectué par la suite considère alors deux lois de probabilités, ayant des moyennes (et donc des rayons critiques) et d’écarts-types différents. Les sites actifs d’une population sont associés à la probabilité de décrochage intrinsèque à cette population.
L’écoulement de l’électrolyte modifie la loi de probabilité de décrochage. Les rayons critiques sont diminués et les écarts-types de la loi sont modifiés par l’application du débit.