beff vmax
2.8 Modèles de calcul de la résistance au cisaillement
2.8.3 La mécanique des ruptures
Le passage du LOA (II) au LOA (III) introduit le terme 𝑉𝑅𝐷𝑚𝑎𝑥(𝜃𝑚𝑖𝑛) qui fait référence à l’écrasement des bielles de compression suivant un angle d’inclinaison 𝜃𝑚𝑖𝑛 et remplace le terme 𝑘𝑎𝑔 qui prend en compte la taille des granulats.
Lorsque des épingles sont utilisées pour augmenter la résistance au cisaillement, le fib recommande de rajouter le terme suivant à la résistance 𝑉𝑅𝑑,𝐶 du béton :
𝑉𝑅𝑑,𝑠= 𝐴𝑠𝑤
𝑠 𝑧 𝑓𝑦𝑤𝑑(cot 𝜃) (2.8-31)
2.8.3 La mécanique des ruptures
La mécanique des ruptures a été introduite par Griffith en 1924 (A. Griffith 1924), à travers la comparaison des comportements à la rupture de matériaux fragiles comme le verre, les câbles et plaques métalliques. Griffith a remarqué que la contrainte de rupture théorique différait de celle expérimentale à cause d’un phénomène de flambement causé par des rayures, des défauts et des imperfections diverses. Les résultats de sa campagne expérimentale ont permis d’établir un lien de
112 proportionnalité entre la contrainte de rupture et 1
√𝑎
4. La campagne de Griffith a également montré l’effet d’échelle sur la contrainte ultime d’un matériau fragile comme le verre (Alan Arnold Griffith 1921) ce qui a donné naissance à la mécanique de rupture élastique linéaire (Linear Elastic Fracture Mechanics). Ce modèle se base sur plusieurs paramètres que sont le facteur d’intensité de résistance au sommet de la fissure K, le critère de propagation de fissure et les propriétés de fissuration du béton. Une seconde approche de la mécanique de rupture se base quant à elle sur le critère d’énergie qui lie l’extension d’une fissure à l’énergie fournie au matériau.
L’application de la mécanique de la rupture aux spécimens en B.A soumis au cisaillement a été initiée par Reinhardt (Reinhardt 1981) pour prendre en compte l’effet d’échelle sur la résistance au cisaillement. Il a été démontré que l’effet d’échelle impliqué par la mécanique linéaire élastique de rupture est trop important pour le béton et que la rupture brutale des structures en béton sont mieux décrites par des mécaniques de rupture non linéaire, en raison de l’existence d’une zone large de fissuration sur le front de rupture. Par conséquent, l’effet d’échelle est considérablement plus faible.
Dès lors, plusieurs chercheurs ont pris le relais d’analyser le comportement des poutres en B.A en utilisant cette approche dont Kim et White (W. Kim and White 1991), Bazant (Bažant and Yu 2005) Jenq et al (Jenq and Shah 1990) etc… Actuellement, il est accepté que la mécanique des ruptures est considérée comme une méthode rationnelle pour appréhender le comportement des spécimens au cisaillement.
En 1984, Bazant (Bažant Zdeněk P. 1984) a développé la formule d’effet d’échelle en se basant sur la mécanique des ruptures. Ensuite, Bazant et Kim ont étudié l’effet d’échelle sur la résistance au cisaillement des poutres en béton armé, en considérant la contribution de l’effet d’arche et de l’action poutre. Les auteurs expliquent que l’effet d’échelle est causé par la libération d’énergie de déformation dans la zone fissurée durant la propagation de la fissure: plus la structure est large plus l’énergie libérée est importante.
En 2003, Bazant et Yue ont présenté une nouvelle formule qui prend en compte la résistance au cisaillement de poutres en B.A sans armatures d’effort tranchant :
𝑉𝑐𝑟 = 𝛽 √ 𝑓𝑐 ′ 1 +𝑑𝑑 0 (2.8-32) Avec 𝛽 = 0.457 et 𝑑0 = 37.28 (𝜌 𝑓𝑐′) 2 3 (𝑑 𝑎) 1 3
Figure 2-72 𝐥𝐨𝐠 𝒗𝒄𝒂𝒍𝒄= 𝒇(𝐥𝐨𝐠 𝒗𝒆𝒙𝒑) ∶ Comparaison de 𝐥𝐨𝐠 𝒗𝒄𝒂𝒍𝒄 selon formule de Bazant et Kim (2.8-32) avec 𝐥𝐨𝐠 𝒗𝒆𝒙𝒑 une base de données de 461 poutres en B.A sans armatures d’effort tranchant
La formule de Bazant semble convenir pour prédire la résistance au cisaillement de poutres sans armatures d’effort tranchant (Figure 2-72) puisque le rapport moyen est de 0.952.
Afin d’adapter la formule aux cas des poutres avec épingles, Bazant a ajouté un composant 𝑉𝑠 à la résistance totale au cisaillement. Bien que l’auteur ait admis l’existence d’une influence de la résistance au cisaillement des épingles sur la résistance au cisaillement du béton 𝑉𝑐, celui-ci considère qu’elle peut être négligée et que la résistance ultime au cisaillement est :
114 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣𝑓𝑦𝑣
𝑏𝑠 (sin 𝛼 + cos 𝛼)
(2.8-34)
Avec 𝛼 l’angle entre l’axe horizontal et les épingles.
Bazant ne distingue pas entre les poutres et les dalles subissant du cisaillement à une direction (one-way shear). En revanche il propose une formule différente pour le poinçonnement (Bazant and Cao 1987) bien que la base de données expérimentales ne permet ni d’affirmer ni d’infirmer la validité de cette formule, en raison de la dispersion des résultats. L’auteur souligne que les dalles épaisses sous poinçonnement ont des comportements qui se rapprochent de la mécanique de rupture élastique linéaire.
De ce fait, trouver une formule qui sied au comportement des dalles sous cisaillement est envisageable mais nécessite plus d’investigations.
Gastebled et May (Gastebled and May 2001) se sont basés sur les observations expérimentales de Chana (Chana 1988). Dans ses tests effectués sur des poutres en cisaillement, Chana a remarqué que lorsque le béton se désolidarise des armatures longitudinales, une chute de la rigidité a lieu accompagnée d’une ouverture soudaine et une propagation des fissures de cisaillement diagonales et de ce fait, d’une rupture fragile (Figure 2-73). Cette remarque a permis à Gastebled et May de supposer que seule l’énergie dissipée issue de la dissociation des aciers causée par la propagation de fissures de traction dans le béton au voisinage des armatures longitudinales (Mode I de l’énergie de rupture) est responsable de la résistance au cisaillement.
En déterminant de manière semi-empirique le positionnement de la fissure, l’expression de la résistance au cisaillement de Gastebled et May se traduit comme suit (Gastebled and May 2001):
𝑉𝑐𝑟 = 0.416 √𝑑 (𝑑 𝑎) 1 3 𝜌16 (1 − √𝜌 ) 2 3 √𝐸𝑠 𝐺𝑓 (2.8-35)
Figure 2-73 Déformation d'une armature longitudinale selon Gastebled et May (Gastebled and May 2001)
Cette formule utilise explicitement l’énergie de fissuration qui 𝐺𝑓 qui peut être calculée avec la formule issue de Fib Model Code 2010 (Sigrist et al., n.d.) :
𝐺𝑓 = (𝑓𝑐 10)
0.7 (2.8-36)
Figure 2-74 Comparaison des résultats expérimentaux selon la méthode de Bazant et de Gastebeld et May
Xu (Xu, Zhang, and Reinhardt 2012) a comparé les résultats expérimentaux de poutres soumises au cisaillement aux résultats analytiques issus de la formule de Bazant et de Gastebeld et
f'c (MPa) 1 35 15 1.2 20 EXP 40 1.4 45 25 0.6 Bazant 10 1.6 Vu (MPa) 30 0.8 Gastebeld et May
116 May. Les résultats montrent clairement que l’approche de Bazant de la mécanique de rupture est plus pertinente (Figure 2-74).
Par la suite, Xu a proposé une modification de la formule de Gastebeld et May, mais celle-ci demeure moins pertinente que la formule de Bazant.