beff vmax
2.8 Modèles de calcul de la résistance au cisaillement
2.8.4 La norme Européenne [CEN. Eurocode 2, 2005]
La norme Européenne [CEN. Eurocode 2, 2005] est un modèle de calcul analytique empirique. Les formules conçues se basent sur les résultats expérimentaux de König et Fisher (König and Fischer 1995) et Regan (P. Regan 1999). L’Eurocode distingue entre le cas ces dalles et le cas de poutres. La formule de l’Eurocode se traduit comme suit pour les dalles en cisaillement sans armatures d’effort tranchant en prenant en considération la redistribution transversale :
𝑉𝑅𝑑,𝑐_𝐸𝐶2= 𝑀𝑎𝑥 {[𝐶𝑅𝑑,𝑐∙ 𝑘 ∙ √100 ∙ 𝜌𝑙∙ 𝑓𝑐𝑘 3 + 𝑘1∙ 𝜎𝑐𝑝] ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓∙ 𝑑 = 𝑉𝑅𝑑,𝑐1 [𝜈𝑚𝑖𝑛+ 𝑘1∙ 𝜎𝑐𝑝] ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓∙ 𝑑 = 𝑉𝑅𝑑,𝑐2 (2.8-37) Avec 𝐶𝑟𝑑, 𝑐 =0.18 𝛾𝑐 𝑘 = min { 2 1 + √200 𝑑 𝜎𝑐𝑝= min { 𝑁𝐸𝐷 𝐴𝑐 0.2 𝑓𝑐𝑑 (2.8-38) 𝜈min (𝐸𝐶2)= 0.034𝑘3/2√𝑓𝑐𝑘 (2.8-39)
L’équation (2.8-37) est basée sur les facteurs admis comme étant les plus influents comme le taux d’armatures longitudinales, la résistance en compression du béton, et la hauteur utile d.
A noter que pour le calcul des poutres et dalles sans redistribution transversale, l’équation (2.8-37) est utilisée. Néanmoins, le terme 𝜈min (𝐸𝐶2) est largement réduit :
𝜈minpoutre (𝐸𝐶2) = 0.00308 𝑘3/2√𝑓𝑐𝑘 (2.8-40)
Ce qui suppose que lorsque le taux d’armatures longitudinal est faible dans ce type de structures, la résistance minimale au cisaillement l’est également.
Il est à noter que pour un taux d’armatures longitudinales nul, la résistance au cisaillement s’annule dans cette formule, ceci constitue un défaut à prendre en considération dans l’EC2.
L’EC2 distingue le cas des charges concentrées près des appuis, puisque la résistance au cisaillement est augmentée, par rapport à des éléments dont le rapport 𝑎/𝑑 est plus grand (page 52). Lorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l'élément, à une distance 𝑎𝑣 du bord de l'appui telle que 0.5𝑑 ≤ 𝑎𝑣 ≤ 2𝑑, la contribution de cette charge à l'effort tranchant peut être multipliée par un facteur de réduction 𝛽𝐸𝐶2= 𝑎𝑣
2𝑑 .
L’annexe française FD P 18-717. Eurocode 2, 2013, propose une approche différente pour le calcul de 𝑣𝑚𝑖𝑛 qui permet de prendre en considération la redistribution transversale des efforts dans le cas des dalles. Celle-ci a été développée grâce à des résultats d’une campagne expérimentale menée par Montabroud et Limam en 2005 (Montabroud and Limam 2005). Ces essais ont été réalisé sur des dalles minces (𝑎𝑣
𝑑 = 2), ainsi l’effet du paramètre 𝑎𝑣
𝑑 n’a pas pu être testée.
Cette approche se traduit comme suit :
𝑣min (𝐴𝑁𝐹) = 0.23 √𝑓𝑐𝑘 (2.8-41)
Lorsque l’élément étudié contient des armatures d’effort tranchant, l’Eurocode propose un calcul qui dépend de l’angle d’inclinaison des bielles de compression qui varie entre 21.8° ≤ 𝜃 ≤ 68.2°. En effet, plus l’angle d’inclinaison est faible plus le nombre d’épingles activées est important. Cette approche se base sur l’analogie du treillis de Mörsch composé de bielles inclinées générant un effort de compression et de tirants (Figure 2-75). Il prend en considération également l’éventuelle inclinaison des armatures d’effort tranchant.
118 Figure 2-75 Schéma explicatif du principe de treillis de Mörsch avec 𝟒𝟓 < 𝜶 < 𝟗𝟎 l’angle d’inclinaison
des armatures d’effort tranchant, et 𝟐𝟏. 𝟖 < 𝜽 < 𝟔𝟖. 𝟐 l’angle d’inclinaison des bielles de compression
𝑉𝑅𝑑,𝑠= 𝐴𝑠𝑤
𝑠 𝑧 𝑓𝑦𝑤𝑑(cot 𝛼 + cot 𝜃) sin 𝛼 (2.8-42) La résistance au cisaillement des épingles dépend donc de leur section totale 𝐴𝑠𝑤, de l’espacement 𝑠, de la hauteur z ( en général 𝑧 ≅ 0.9𝑑), de l’angle d’inclinaison des épingles 𝛼 et de l’angle d’inclinaison des bielles de compression 𝜃.
L’angle 𝜃 est pris initialement égal à 45°. Durant le chargement l’angle des bielles de compression a tendance à diminuer selon les résultats d’essais de Walraven (J. C. Walraven and Al-Zubi 1995). L’auteur explique qu’au début de la charge de cisaillement les poutres ne sont pas fissurées de manière à ce que la direction de la contrainte principale soit de 45° (ligne 1). Ensuite, à la formation de fissures de cisaillement inclinées, la direction de la contrainte principale diminue (ligne 2), de ce fait un nouvel équilibre s’installe avec des épingles qui reprennent les efforts dans leur phase élastique( ligne 3) . Lorsque les renforcements au cisaillement commencent à plastifier, la rotation des bielles permet l’activation d’un nombre plus important d’épingles, en parallèle avec la contrainte de compression du béton. La plastification des armatures d’effort tranchant ou l’écrasement des bielles entraîne la ruine de l’élément (ligne 4).
De ce fait, pour éviter une rupture par écrasement des bielles de compression, les auteurs de l’EC2 exigent de vérifier que la charge appliquée soit inférieure à :
𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝑏𝑤 𝑧 𝜈1𝑓𝑐𝑑cot 𝜃 + cot 𝛼 1 + cot2𝜃
Avec 𝜈1 et 𝑓𝑐𝑑 qui dépendent uniquement de la résistance caractéristique du béton en compression 𝑓𝑐𝑘.
Figure 2-76 Schéma de rotation des bielles de compression mesurées dans la section de poutres avec
armatures d’effort tranchant (J. C. Walraven and Al-Zubi 1995)
Le choix de l’espacement des armatures d’effort tranchant et leur disposition est également encadré par l’EC2. Le code européen préconise un calcul de l’espacement maximal des épingles, qui dépassé, devrait fortement réduire l’influence de armatures sur la résistance au cisaillement comme cela a été démontré précédemment.
L’EC2 conseille également l’utilisation d’un taux minimal d’armatures d’effort tranchant même lorsque la résistance au cisaillement du béton semble être suffisante pour reprendre les sollicitations en cisaillement.
Un taux maximal est d’ailleurs également prôné pour des questions de mise en œuvre qui incluent par exemple le coulage du béton. Il est également destiné à ce que la résistance d’une structure dépasse largement la charge à laquelle la fissure diagonale se produit. C’est pour cela qu’il dépend essentiellement de la résistance caractéristique du béton et la limite d’élasticité des épingles: 𝜌𝑤 = √𝑓𝑐𝑘 𝑓𝑦𝑘 (2.8-44) 𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑠𝑏𝑤sin 𝛼 (2.8-45)
120 D’autres codes plus anciens, comme les British Standards (1989) (Standard 1985) et le code indien (1965) (Indian Standards Institution 1965) ne considèrent que la limite d’élasticité des épingles. Cependant, des modèles de codes plus récents, comme l’ACI 318-14 (ACI Committee 318 2014), l’AASHTO LRFD (AASHTO LRFD Bridge Design Specifications 2008), et le code canadien CSA (Canadian Standards Association 2004) préconisent comme l’Eurocode 2 l’ajout de la résistance en compression du béton. Ceci est bien justifié car selon une étude Roller et Russell en 1990 (Roller 2005) a démontré que le taux minimal d’épingles devait augmenter en fonction de la résistance en compression du béton.
Par ailleurs, une étude menée par Johnson et Ramirez en 1989 (Johnson 2011) et confirmée par Rao et al en 2015 (Rao and Injaganeri 2013) conseille de prendre en compte également le rapport
𝑎
𝑑 et le taux d’armatures longitudinales 𝜌𝑙 puisque la résistance au cisaillement des structures en post-fissuration dépend également de ces paramètres.
Enfin dans le cas de charge à proximité des appuis avec 0.5𝑑 < 𝑎𝑣 < 2𝑑 l’EC2 préconise de multiplier la section d’épingles calculée par un facteur de 0.75𝑎𝑣.