Contraintes et déformations

2.8.1.3 Contraintes et déformations

Même si les directions de contraintes axiales sont déviées des directions de déformations dans le béton c’est une simplification raisonnable de supposer que les axes de déformation principaux de déformation et les axes de contraintes principaux coïncident.

Pour les contraintes au niveau des aciers, le matériau suit un comportement élastique linéaire (loi de Hooke) et vérifie :

𝑓_𝑠𝑥 = 𝐸_𝑠 𝜖_𝑥≤ 𝑓_𝑦 (2.8-11)

𝑓_𝑠𝑦 = 𝐸_𝑠𝜖_𝑦 ≤ 𝑓_𝑦 (2.8-12)

La contrainte de compression principale dans le béton 𝑓₂ est fonction de la déformation en compression 𝜖₂ et de la traction 𝜖₁.

𝑓₂ = ^𝑓𝑐 ′ 0.8 + 170𝜖₁^{[2 (} 𝜖₂ 𝜖′ 𝑐 ) − (^𝜖2 𝜖_𝑐′) 2 ] ^(2.8-13) Et 𝑓₁ = 0.33 ^√𝑓𝑐 ′ 1 + √500 𝜖₁ (2.8-14)

Figure 2-68 Comparaison des contraintes au niveau d'une fissure : a) moyennes b) locales (Vecchio and Collins 1986)

Pour les bétons normaux, la fissuration a lieu à l’interface entre la pâte de ciment et les granulats. La fissure rugueuse résultante peut transférer le cisaillement à travers l’engrènement des granulats. La relation entre le cisaillement à travers la fissure𝑣_𝑐1, l’ouverture de fissure 𝑤 et la contrainte de compression 𝑓_𝑐1 a été expérimentalement étudiée par bon nombre de chercheurs dont Walvaren (Joost C. Walraven 1981) qui a établi la relation suivante :

𝑣_𝑐𝑖 = 0.18 𝑣_{𝑐𝑖𝑚𝑎𝑥}+ 1.64 𝑓_𝑐1− 0.82 ^𝑓𝑐1 2 𝑣_{𝑐𝑖𝑚𝑎𝑥} (2.8-15) 𝑣_{𝑐𝑖𝑚𝑎𝑥} = 0.18√𝑓𝑐^′ 0.31 +_𝑎^{24 𝑤} 𝑔 + 16 (2.8-16)

f

f

a)

f

v

v

f

f

f

f

f

b)

f

v

f

v

102 Dans les cas de béton à haute performance, l’influence des engrènements de granulats est diminuée, de ce fait, Bentz (Bentz 2000) propose de réduire 𝑎_𝑔 à zéro.

Dans les formules basées sur la MCFT, la contrainte de cisaillement de rupture décroît lorsque la largeur de fissure inclinée augmente. Alors cette contrainte ultime diminue lorsque la déformation de traction dans les aciers longitudinaux augmente, ce qui est appelé l’effet déformation.

La résolution des équations de la MCFT est fastidieuse manuellement. Elle nécessite un programme de calcul tel que Response 2000, développé par Evan Bentz l’Université de Toronto sous la direction de Collins (Bentz 2000). Il s’agit d’un programme d'analyse qui calcule la relation charge-déformation pour des poutres en béton armé uniforme soumis à une charge de cisaillement. Metwally (Metwally 2012) a étudié les résultats expérimentaux issus de plusieurs campagnes sur des 534 poutres armés et les a comparé aux calculs analytiques réalisés à travers Response 2000. Il a conclu que les calculs de ce programme basé sur la MCFT sont pertinents avec un rapport moyen ^{𝑉𝑒𝑥𝑝}

𝑉_{𝑐𝑎𝑙𝑐} = 1.05%.

Afin d’éviter la pénibilité de la MCFT, une simplification a été proposée par Bentz (Bentz, Vecchio, and Collins 2006) qui se base sur certaines approximations, comme négliger la contrainte verticale dans la zone de flexion, limiter les valeurs de déformations et celles de la valeur maximale de résistance au cisaillement. Ceci a permis l’introduction d’un facteur 𝛽 qui dépend de la déformation au niveau des aciers longitudinaux ainsi que de l’espacement des fissures 𝑠_𝑥𝑒. Un des autres avantages de cette variante du MCFT est la simplification de l’angle d’inclinaison des fissures 𝜃 .

Figure 2-69 Comparaison graphique MCFT, SMCFT et résultats expérimentaux

2.8.1.4 Application de la MCFT : l’AASHTO LRFD3

La forme simplifiée de la MCFT (SMCFT) est la base du modèle de calcul de l’ AASHTO LRFD et du code canadien CSA A23.3.

Le code AASHTO LRFD est un modèle américain qui a été développé pour la conception des tabliers de ponts, sa première édition a été publiée en 1994 pour étudier les spécimens en béton armé avec et sans précontrainte.

La résistance au cisaillement est définie comme suit par l’AASHTO LRFD :

𝑉_𝑛 = 𝑉_𝑐+ 𝑉_𝑠+ 𝑉_𝑝+ 𝑉_𝑎 (2.8-17)

Elle dépend de la résistance du béton 𝑉_𝑐, des armatures de cisaillement 𝑉_𝑠, d’une éventuelle précontrainte 𝑉_𝑝et d’un effort normal 𝑉_𝑎.

𝑉_𝑐 est fonction du facteur 𝛽 qui a été défini précédemment comme étant responsable du transfert de la traction et du cisaillement à travers le béton fissuré.

104 L’AASHTO présente une intéressante option qui le diffère de la plupart des modèles analytiques :

Lorsque le spécimen ne contient pas la quantité minimale d’armatures d’effort tranchant, 𝛽 vaut : 𝛽 = ^0.4 1 + 750 𝜖_𝑠 ^∗ 1300 1000 + 𝑠_𝑥𝑒 (2.8-18)

En revanche, lorsque le spécimen étudié en contient, le terme en rouge dans l’équation (2.8-18) disparaît. 𝑠_𝑥𝑒 est le paramètre d’espacement des fissures. Ce paramètre est généralement supérieur à 300 mm (espacement observé lorsque le taux minimal d’armatures d’effort tranchant est appliqué). De ce fait, le facteur 𝛽 est réduit. Ainsi, le code AASHTO prend en considération l’influence des épingles sur la résistance du béton au cisaillement.

𝑠_𝑥𝑒 = 𝑠_𝑥 ³⁵ 𝑎_𝑔 + 16

(2.8-19)

Avec 𝑠_𝑥 représente le minimum entre la hauteur utile 𝑑 et l’espacement maximal entre les couches horizontales des armatures longitudinales.

Et

𝜖_𝑠 =|𝑀_𝑢| + 0.5 𝑁_𝑢+ |𝑉_𝑢| 2𝐸_𝑠𝐴_𝑠

(2.8-20)

L’effort normal, si appliqué est inclus dans la déformation des aciers longitudinaux (2.8-20).

D’où

Pour ce qui est de la résistance au cisaillement des épingles, sa valeur est similaire pour tous les modèles de calcul pour les poutres à savoir :

𝑉_𝑠 = 𝐴_𝑣^{𝑓𝑦𝑣𝑑cot 𝜃} 𝑠

(2.8-22)

La résistance au cisaillement conférée par les épingles dépend analytiquement de la section des armatures d’effort tranchant, de la hauteur utile, de leur limite d’élasticité et de leur espacement.

L’AASHTO introduit l’angle 𝜃 qui représente d’inclinaison des bielles de compression tel que :

𝜃 = 29 + 3500 𝜖_𝑠 (2.8-23)

L’angle 𝜃 varie entre 22° et 41° pour les cas des poutres et dalles avec épingles, comme Hawkins l’a développé dans ses tables (Neil M. Hawkins et al. 2005). Par conséquent, l’angle de 45° admis par Tureyen et Frosch (Tureyen and Frosch 2003) et utilisé par la plupart des modèles codes ( ACI 318-14, EC2, Fib Model Code 2010…) est élevé et réduit la contribution des armatures d’effort tranchant.

Le code AASHTO ne fait pas de différence entre les cas de poutres ou dalles contrairement à d’autres modèles. L’utilisateur peut cependant, remplacer la largeur 𝑏_𝑤 par la largeur 𝑏_𝑒𝑓𝑓 plus adéquate aux cas de dalles sous charge localisée.

L’influence des armatures d’effort tranchant ne prend pas en compte l’espacement

transversal. Comme proposé par Serna-Ros (Serna-Ros et al. 2002), le rapport ^𝑑

𝑠 ou ^𝑑𝑙

𝑠𝑤𝑙 peut être remplacé par √_𝑠^{𝑑𝑡𝑑𝑙}

𝑤𝑡 𝑠𝑤𝐿.

Pour vérifier la pertinence du code AASHTO LRFD, une large base de données expérimentale de poutres avec (718) et de poutres sans (160) épingles a été étudiée par Kuchma et al (Kuchma et al. 2008). Tous les spécimens étudiés ont connu une rupture en cisaillement sans effet d’arche prédominant. Les auteurs ont rassemblé les rapports ^𝑉𝑒𝑥𝑝

𝑉_{𝑐𝑜𝑑𝑒} moyens et leurs écarts-types respectifs qui correspondent aux codes AASHTO LRFD (AASHTO LRFD Bridge Design Specifications 2008), ACI 318-02 (Committee 318 and Institute 2002) et CSA A23.3-04 (Canadian Standards Association 2004).

106 Tableau 2-15 Comparaisons des résultats expérimentaux et analytiques (Kuchma et al. 2008) Méthode analytique Poutres sans épingles Poutres avec épingles

Moyenne Ecart-type Moyenne Ecart-type

AASHTO LRFD 1.39 0.266 1.27 0.224

ACI 318-02 1.54 0.418 1.35 0.277

CSA A23.3-04 1.27 0.282 1.19 0.218

L’AASHTO LRFD et le CSA A23.3-04 (modèles basés sur la SMCFT) présentent les résultats les plus appropriés. Ils cernent le comportement des poutres au cisaillement avec la meilleure précision grâce à un écart-type faible en comparaison avec l’ACI 318-02. Cet écart-type se conserve d’ailleurs dans les cas des poutres en B.A avec et sans épingles (Kuchma et al. 2008).

En revanche, tous les modèles analytiques sont plus conservatifs pour les poutres sans épingles. L’explication qui peut être avancée, est que la contribution des armatures d’effort tranchant dans la résistance au cisaillement du béton 𝑉_𝑐 est sous-estimée, de ce fait l’écart entre les valeurs expérimentales et les valeurs analytiques st réduit pour les poutres avec épingles.

2.8.2 La théorie de la fissure de cisaillement critique (Critical Shear Crack Theory)