Theoreme de Fluctuation-Dissipation
B.2 Localite de la constante dielectrique
Rappelons tout d'abord que la constante dielectrique est introduite en electromagnetisme lorsque que nous etudions les relations constitutives des milieux materiels. En e et, un probleme general d'electromagnetisme fait intervenir 6 inconnues:
E
(champ electrique),D
(induction elec-trique ),P
(polarisation),H
(champ magnetique),B
(induction magnetique),M
(aimantation). Les equations de Maxwell sont au nombre de 4, si bien qu'il est necessaire d'introduire 2 equations supplementaires reliantE
,D
etP
d'une part etH
,B
etM
, d'autre part. Ces equations addition-nelles sont appelees relations constitutives. Pour un milieu dielectrique, la relation constitutive lie la valeur de la polarisation a la valeur du champ electrique.Considerons, par exemple, qu'en un point
r
et qu'a un instantt
, le champ electrique soit egal aE
(rt
). Ce champ peut se reecrire sous la forme suivante:E
(rt
) = Z d3k
(2)3 Z d!
2E
~(k!
) expi
(k
r
;!t
)] (B.6) ou ~E
(k!
) est la transformee de Fourier spatio-temporelle du champ:~
E
(k!
) =Z
d3
r
Zd
tE
~(rt
) exp;i
(k
r
;!t
)] (B.7) Cette transformee de Fourier existe au moins dans le cadre des fonctions generalisees. Ce champ cree une polarisationP
(rt
) a laquelle est associee sa transformee de Fourier ~P
(k!
). La relation qu'il existe entre les deux transformees de Fourier est une relation constitutive qui s'ecrit dans le cas le plus general5 sous la forme:~
P
(k!
) ="
0"
(k!
);1] ~E
(k!
) (B.8)ou
"
(k!
) est la constante dielectrique du milieu pour un vecteur d'ondek
et une frequence!
. A ce stade, faisons deux remarques:1. pour un milieu non lineaire, la constante dielectrique depend egalement de
E
,E
2, etc 2. pour un milieu non isotrope, la constante dielectrique s'ecrit sous la forme d'un tenseur"="
], avec=xyz
.Supposons maintenant que nous puissions ecrire cette constante dielectrique sous la forme d'une somme de deux fonctions:
"
(k!
) ="
(!
) + %"
(k
) (B.9)ou
"
(!
) ne depend que de la frequence!
et %"
(k
) que du vecteur d'ondek
. Physiquement, ces deux fonctions peuvent s'interpreter respectivement comme la limite \faible vecteur d'onde" et comme la limite \basse frequence" de la constante dielectrique. Avec cette hypothese, nous avons :~
P
(k!
) ="
0"
(!
);1] ~E
(k!
) +"
0%"
(k
)~E
(k!
) (B.10)B.2. LOCALITE DELACONSTANTEDIELECTRIQUE 169 Si nous e ectuons une transformee de Fourier inverse en espace sur l'equation precedente, nous obtenons alors: ~
P
(r!
) ="
0"
(!
);1] ~E
(r!
) | {z } ~P
L(r!
) +"
0 Z d3r
0%"
(r
;r
0)~E
(r
0!
) | {z } ~P
NL(r!
) (B.11) Le terme ~P
L(r!
) correspond a une polarisation locale: la polarisation au pointr
ne depend que du champ en ce m^eme point. Ce terme correspond a la relation constitutive locale que nous avons l'habitude d'ecrire avec une constante dielectrique"
(!
) locale. Le terme ~P
NL(r!
) correspond a une polarisation non locale : la polarisation en un point depend du champ dans tout l'espace. Ce terme est un terme supplementaire a la polarisation locale usuelle.Cependant, les e ets non locaux sont negligeables dans la plupart des cas. Il peut ^etre ne-cessaire d'en tenir compte lorsque l'on traite des interactions electron-reseau et electron-impurete dans un solide ou de l'ecrantage electronique pour les interactions electron-electron dans un gaz d'electrons libres. Dans ce dernier cas, un modele (modele de Thomas-Fermi) donne pour la cor-rection non locale a la constante dielectrique:
%
"
(k
) = 1 +k
2 sk
2 (B.12)ou 1
=k
s correspond a une longueur d'ecrantage. Dans le cas du cuivre, celle-ci correspond a une longueur d'environ 55 pm. Aussi, si nous travaillons avec des grandeurs caracteristiques beaucoup plus grande que cette longueur, les e ets non locaux sont negligeables et nous pouvons considerer la constante dielectrique comme une grandeur locale.171
Annexe C
Tenseur de Green de l'espace libre
C.1 Formalisme de Green
C.1.1 Position du probleme
On se place dans un milieu lineaire, homogene et isotrope, de constante dielectrique
"
(!
) (la dependance en!
ne sera, par la suite, plus explicitee mais il faut garder a l'esprit que les calculs suivants sont developpes en regime monochromatique). Le milieu est egalement suppose ^etre non-magnetique (=0 = 410;7 (SI), 0 etant la permeabilite magnetique du vide). Un des problemes courants que nous avons a traiter est de calculer le rayonnement (i.e. le champ electromagnetique) d'un dip^ole ou d'un element de courant, d'un point source r0 vers un point d'observationr (cf. Fig. C.1).
r’
j(r’)
ε(ω)
E(r)
r
Fig.C.1 { Rayonnement d'un element de courant dans un milieu lineaire, homogene, isotrope et non magnetique de constante dielectrique
"
(!
).C.1.2 Introduction du tenseur de Green
Considerons une distribution de courantsj(r) repartie dans l'espace cette distribution peut ^etre continue ou discrete1. Notons que j est homogene a une densite volumique de courant en A.m;2 (SI). Ces courants \sources" rayonnent un champ electriqueE(r) au pointr(et egalement
1. Dans ce cas-la, on peut ecrire:j(r) =P i
un champ magnetique). En combinant les equations de Maxwell dans le milieu, nous pouvons en deduire la relation entre l'element de courant et le champ:
rot r rot r E(r);
k
2 0"
E(r) = (i!
0)j(r) (C.1) ouk
20 =
!
2=c
2,c
etant la vitesse de la lumiere dans le vide. Maintenant, notons $G
E
0 le tenseur { dit tenseur de Green2 { solution de l'equation suivante:
rot r rot r $ G E 0 (r
r 0);k
2 0"
$ G E 0 (rr 0) =$ I (r;r 0) (C.2) ou $I est le tenseur unite et
la distribution de Dirac (notons que est ici homogene a l'inverse d'un volume, c'est-a-dire en m;3). $G
E
0 doit egalement verier les conditions de rayonnement a l'inni: onde sortante et decroissance. Nous pouvons alors determiner le champ electrique rayonne au pointrpar l'element de courant situe en r
0 par la relation: E(r) =$ G E 0 (r
r 0 ) (i!
0)j(r 0 ) (C.3) Pour une distribution volumique de courants, une integration sur le volumeV
des sources est necessaire : E(r) = (i!
0) Z V $ G E 0 (rr 0 )j(r 0 ) d3 r 0 d3 r 0 = dx
0 dy
0 dz
0 (C.4) Ainsi, il existe une relation de linearite (le milieu etant lineaire) entre les sources (l'excitation) et les champs (la reponse). De plus, le milieu etant homogene et isotrope, le tenseur de Green ne depend que der;r0 (et m^eme que dejr;r 0
j).