Dierences entre les deux approches
6.3 Force de Casimir pour un m etal
Cette section a essentiellement deux buts: le premier est de montrer ce que vaut la force de Casimir dans des cas realistes et a temperature non nulle" le second est de montrer que nous retrouvons l'essentiel des predictions faites par Lambrecht et Reynaud (2000) et Genet et al. (2000), conrmant ainsi, la validite de notre calcul.
Ici, nous travaillons donc uniquement avec des metaux. Nous etudions successivement le cas de milieux metalliques decrits par un modele plasma (cf. Annexe A) a temperature nulle, de metaux reels a temperature nulle et enn le cas general de metaux reels a temperature non nulle. Nous verrons quelles sont les di erentes deviations a la \loi de Casimir" decrite par l'equation (6.2).
6.3.1 Cas du modele plasma a temperature nulle
Un metal decrit par un modele plasma presente une constante dielectrique du type:
"(!) = 1; ! 2 p ! 2 (6.18) ou ! p = (2c)= p,
p etant la longueur d'onde plasma. Le tableau 6.2 donne des valeurs de p
d'apres Lambrecht et Reynaud (2000).
Metal p (nm) Al 108 Au 138 Cu 138
Tab. 6.2 { Longueurs d'onde plasma pour dierents metaux: Al, Au et Cu.
Avec ce modele, les miroirs ne sont pas parfaits sur tout le spectre, ce qui est une di erence essentielle avec le cas ideal de Casimir. Nous calculons alors la force totale F(d) avec ce modele et nous denissons, a la maniere de Lambrecht et Reynaud (2000), le parametre
F par: F = F F Cas (6.19) Il correspond a un \facteur de reduction" par rapport au cas ideal, representant ce que l'on appelle la correction de conductivite nie.
La gure 6.5 represente ce facteur en fonction de l'epaisseur normalisee d=
p de la cavite. Nous retrouvons le comportement courte distance (d
p) de la force de Casimir avec un facteur de reduction de la forme:
F = (d=
p). A partir de nos calculs, nous avons deduit que 1:198 au lieu de 1:193 prevu par Lambrecht et Reynaud (2000). A la limite des grandes distances, le mo-dele plasma tend vers le cas ideal de Casimir car l'epaisseur de peau dans le metal (proportionnelle a
6.3. FORCE DECASIMIR POURUN METAL 137 10−2 10−1 100 101 102 10−2 10−1 100 d / λp η F plasma L << λp
Fig.6.5 { Facteur de reduction de la force de Casimir a temperature nulle dans le cas d'un metal de type plasma.
6.3.2 Cas d'un metal reel a temperature nulle: correction de conductivite nie
Pour le metal reel, nous avons choisi d'utiliser l'aluminium dont la constante dielectrique a ete tabulee a partir de Palik (1985) entre 1 nm et 100m. Signalons ici que le probleme de la connaissance de la constante dielectrique d'un materiau est un probleme critique pour l'evaluation precise de la force de Casimir. Nous pouvons m^eme dire que c'est le principal facteur limitant du calcul aujourd'hui. C'est pourquoi il est necessaire de prendre le plus grand soin dans la modelisa-tion des proprietes optiques des materiaux si nous voulons calculer des valeurs de references de la force de Casimir, notamment pour les comparer ensuite a des mesures experimentales. Cependant, le but ici n'est pas d'atteindre une precision inferieure au pourcent mais plut^ot d'esquisser des tendances et de valider notre methode de calcul.
Ainsi, nous avons determine le m^eme facteur de reduction
F que precedemment, et nous avons alors reporte nos resultats sur la gure 6.6. La premiere chose a remarquer est que m^eme avec le metal reel, le facteur de reduction tend vers 1 lorsque la distance de separation entre les deux milieux augmentent. Nous observons egalement la reduction de la force de Casimir a courte distance: la force pour des miroirs reels peut ainsi ^etre divisee par 2 pour des distances de separation inferieure a 100nm. A titre de comparaison, nous donnons dans le tableau 6.3 les valeurs que nous avons obtenues par le calcul ainsi que celles calculees par Genet (2002) avec une methode de type Lifshitz.
d (m) Eq. (6.14) Genet (2002) 0.1 0:55 0:55 0.5 0:86 0:85 3.0 0:98 0:96
Tab. 6.3 { Facteurs de reduction de la force de Casimir a temperature nulle dans le cas de l'aluminium : comparaison avec les resultats obtenus par Genet (2002).
10−1 100 101 100 d (µm) η F Mulet Genet (2002)
Fig. 6.6 { Facteur de reduction de la force de Casimir a temperature nulle dans le cas de l'alu-minium (echelle log-log).
Les faibles di erences entre les deux types de calcul peuvent avoir plusieurs origines mais nous pouvons en souligner 2:
1. a grande distance, notre methode numerique converge plus di cilement (par suite notam-ment des oscillations dues aux ondes propagatives) et la precision de nos calculs n'est pas tres bonne"
2. la methode de Lifshitz impose de realiser un pre-traitement de la constante dielectrique (cf. Eq. (6.16)) an de la calculer sur l'axe imaginaire: ce traitement numerique supplemen-taire peut introduire des erreurs systematiques sur le resultat nal.
6.3.3 Cas d'un metal reel a temperature non nulle: correction de conductivite
nie et de temperature
Jusqu'ici, nous nous etions toujours place a temperature nulle si bien que le rayonnement thermique ne jouait aucun r^ole dans la force de Casimir. Ici, nous reprenons le cas precedent de l'aluminium (modelise par une constante dielectrique tabulee a partir de donnees experimentales) mais a temperature non nulle pour observer la correction en temperature. Encore une fois, le but n'est pas de donner des formules asymptotiques pour le facteur de correction12 mais plut^ot de mettre en evidence des comportements physiques.
La gure 6.7 represente le facteur de correction
F dans le cas de l'aluminium pour une temperature de 300 K. Par rapport a la gure precedente, il est interessant de noter l'augmentation de la force de Casimir pour les grandes distances, c'est-a-dire pour des distancesd
T ou T = ~c k B T (6.20)