Approche radiometrique du transfert radiatif entre les deux plansplans

3.2.1 Calcul

ab initio

du ux d'energie echange

Dans ce paragraphe, nous allons rappeler le resultat que fournit le calcul habituel dans le cadre phenomenologique de la radiometrie (approche utilisee en transferts thermiques). Ce calcul est fonde sur l'optique geometrique et sur la notion de rayon lumineux.

ε₂ T₂ Milieu 2 z = 0 z = d T₁ ε₁ Milieu 1 z dΩ Vide θ

Fig. 3.2 { Reexions multiples a l'origine du ux d'energie dans l'angle solide d .

Ainsi, considerons la gure (3.2) : le ux elementaire d



1!2 du milieu 1 au milieu 2 dans l'angle solide d = 2



sin



d



est la somme incoherente des reexions multiples:

d2



1!2 =



0 1!(1 +



0 1!



0 2!+



0 1!



0 2!



0 1!



0 2!+


)



0 2!

L

0 !(

T

1)cos



d d

!

(3.2) o u



0 1! et



0

2! sont respectivement les emissivites monochromatiques directionnelles des milieux 1 et 2 de la m^eme mani ere



0

1! et



0

2! sont respectivement les reectivites monochromatiques speculaires des milieux 1 et 2 (en eet, dans notre cas, il n'y a pas de diusion aux interfaces).

L

0

!(

T

1) est la luminance monochromatique du rayonnement d'equilibre (rayonnement de corps noir, cf. Chap. 2) a la temperature

T

1:

L

0

!(

T

1) = ~

!

3

4



3

c

2

1

exp(~

!=k

B

T

1);1 ^(3.3) L'equation (3.2) peut alors se reecrire sous la forme d'une somme d'une serie geometrique :

d2



1!2=



0 1!



0 2! 1;



0 1!



0 2!

L

0 !(

T

1)cos



d d

!

(3.4) En integrant sur le spectre et le demi-espace superieur (integration sur 2



steradians,



variant

3.2. APPROCHE RADIOMETRIQUE 83 entre 0 et

=

2), on trouve l'expression du ux



1!2 rayonne par le milieu 1 et absorbe par le milieu 2:



1!2 =Z 2cos



d Z 1 0 d

! 

0 1!



0 2! 1;



0 1!



0 2!

L

0 !(

T

1) (3.5) Nous pouvons faire le m^eme calcul pour le ux emis par le milieu 2 (dans le demi-espace inferieur) et ainsi trouver le ux net echange par les deux milieux2:

1
2 = Z 2cos



d Z 1 0 d

! 

0 1!



0 2! 1;



0 1!



0 2! 

L

0 !(

T

1);

L

0 !(

T

2)
(3.6) Ainsi, 1
2 = 0 si

T

1 =

T

2 et 1
2

/

T

4 pour des corps gris (



0 1!,



0

2!,



0 1! et



0

2! independant de la pulsation

!

).

3.2.2 Critiques de l'approche radiometrique

Les calculs qui viennent d'^etre developpes s'appuyent sur l'optique geometrique et sur la notion de rayon lumineux. Aussi ne tiennent-ils pas compte la nature ondulatoire de la lumi ere et donc negligent-ils les eets d'interference ou de diraction. Lorsque le rayonnement n'est pas monochromatique (ce qui est le cas du rayonnement thermique), ces eets disparaissent d es que la distance

d

est grande par rapport a la longueur de coherence

l

coh, liee a la largeur spectrale du rayonnement. Le m^eme phenom ene se produit, par exemple, lorsque l'on regarde la gure d'interferences donnee par un interferom etre de Michelson eclaire par une source partiellement coherente. Pour une dierence de chemin optique grande devant

l

coh, le contraste des franges tend vers zero. Cet eet d'interferences peut se voir sur la gure 3.3 avec les oscillations qui se produisent entre 1 et 10

m environ3.

La seconde critique que nous pouvons formuler a l'egard de cette approche est qu'elle ignore totalement le r^ole des ondes evanescentes. En eet, les ondes evanescentes sont des ondes qui ne se propagent pas et qui ne peuvent pas ^etre decrites en considerant des rayons lumineux qui se reechissent a la surface des deux milieux. Pour apprehender physiquement la mani ere dont l'energie peut ^etre transmise par une onde evanescente, revenons a l'experience de la reexion totale. Nous illuminons (cf. Fig.3.4(a)) par exemple, un prisme avec un faisceau laser (onde plane) de longueur d'onde



0de telle sorte que l'angle



incd'incidence a l'interface verre/air soit superieur a l'angle limite



lim = arcsinh

nair (0

)

nverre(0) i

(de l'ordre de 40 a 45 pour du verre ordinaire dans le visible). Alors, une onde evanescente appara^t dans l'air. Cette onde ne transporte aucune energie dans l'air4.

Cependant, si nous approchons comme sur la gure 3.4(b) un second prisme du premier, cette onde peut alors ^etre partiellement reechie et partiellement transmise par la seconde inter-face air/verre (o u il n'y a jamais d'angle limite). De l'energie est donc transmise par l'onde qui n'est evanescente qu'entre les deux prismes. Ce phenom ene, appele la \reexion totale frustree", est l'analogue optique (pour les photons) de l'eet tunnel (pour les electrons). La part d'energie qui est transmise est une fonction exponentielle decroissante de la distance de separation

e

entre les deux prismes. Aussi, le transfert n'est-il important que lorsque

e

 0

2.

Ainsi, l'approche radiometrique ne peut rendre compte de la totalite des phenom enes physiques

2. Nous pouvons noter ici que, les materiaux etant opaques, le resultat aurait ete le m^eme si nous avions pris pourT

1etT

2 des temperatures de surface au lieu de temperatures uniformes dans le volume.

3. Sur la gure!est xe et c'estdqui varie: ceci revient a faire varier!en laissant d xe car le terme qui compte dans la dierence de chemin optique est le produit!d

4. Ceci peut ^etre demontre de maniere rigoureuse en calculant la valeur moyenne du vecteur de Poynting dans le demi-espace inferieur.

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 d (µm) Φ ^1,2 (u.a.)

Fig. 3.3 { Transfert radiatif entre l'or et l'arseniure de gallium (AsGa) a 6

:

2

m et a 300 K en fonction de la distance entre les deux plans.

θ_inc n_verre

n_air Air

(a) Reexion totale

θ_inc n_verre

n_verre

n_air Air

(b) Reexion totale frustree

3.3. APPROCHE ELECTROMAGNETIQUE 85 responsables du transfert radiatif puisqu'elle ne tient pas compte des interferences ni de la contri-bution eventuelle des ondes evanescentes. C'est pourquoi une description plus fondamentale est necessaire pour modeliser le rayonnement thermique, notamment lorsque les deux milieux sont separes par des distances nano ou micrometriques.

Un deuxi eme point de vue peut ^etre utilise pour decrire ces echanges d'energie. Plut^ot que de raisonner dans l'espace reciproque, nous pouvons considerer le champ produit par un element de volume (assimilable a un dipole) situe pr es de l'interface. Lorsque le second milieu s'approche, les termes en 1

=r

2 et 1

=r

3 du champ produit par l'element de volume ne sont plus negligeables. Ce sont ces composantes { de nature electrostatique { qui sont responsables du transfert d'energie en champ proche.

Dans le document Modélisation du rayonnement thermique par une approche électromagnétique. Rôle des ondes de surface dans le transfert d'énergie aux courtes échelles et dans les forces de Casimir (Page 97-100)