1. Mesurer le taux d’intérêt
1.1 La notion de valeur actualisée
La valeur actualisée permet de comparer des sommes à différents moments du temps. En effet, 1 € aujourd’hui ne signifie pas la même chose que 1 € dans 2 ans.
Qu’est-ce qui va rendre équivalente une somme à l’instant 1 et une somme à l’instant 2 ?
Exemple d’un prêt simple : Un emprunteur reçoit un montant à un moment donné et il rembourse à l’échéance le principal et un montant d’intérêt. 100 € avec un taux de 10%. Le remboursement dans 1 an sera de 110 €. Autrement dit, 100 € aujourd’hui sont équivalents à 110 € dans 1 an. L’individu est parfaitement indifférent à l’idée de posséder 100 € aujourd’hui ou à ce qu’on s’engage à lui n est le nombre d’années (ou mois, semaines, jours…) i est le taux d’intérêt.
On est dans un monde certain. Supposons que le taux d’intérêt soit i, en T1 1€ vaut 1*(1+i). De la même façon, qu’elle est l’indifférence
1.2 Les 4 principaux instruments de crédit
1 Le prêt simple : On prête X aujourd’hui et on récupère X(1+i) dans n année(s) fixée(s) 2 Le crédit à versement constant : Les versements comprennent le remboursement du
principal et des intérêts. (on achète une maison, chaque mois on verse une mensualité qui comprend une partie du principal et les intérêts).
3 L’obligation classique : on paie annuellement un intérêt et à la fin on règle le principal La date à laquelle on rembourse s’appelle la maturité
Exemple : On emprunte 1000€ sur 10 ans au taux de 10%. Chaque année on rembourse 100€. La dernière année, on rembourse 100+ 10
€ (=montant emprunté + intérêts de la dernière année)
L’obligation a une valeur faciale/d’émission et une valeur nominale. On appelle valeur faciale, le montant de la dette sur laquelle on calcule l’intérêt, le coupon étant le montant payé annuellement.
Si par exemple la valeur faciale est de 1000 euros, elle peut se vendre d’occasion sur le marché secondaire à une valeur nominale différente de la valeur faciale. Lorsque la valeur faciale = valeur nominale, on dit que l’obligation est au pair.
4 L’obligation 0 coupon : C’est la pratique bancaire traditionnelle de l’escompte, c'est-à-dire l’achat de créances avant leur maturité à un prix inférieur à leur valeur faciale.
Exemple : Un détaillant émet une traite d’un montant de 1000€ afin de payer le grossiste. Le grossiste escompte la lettre auprès de sa banque. La banque achète la traite à un montant inférieur (900€). Le grossiste reçoit 900€.Le détaillant paie 1000€ au banquier.
1.3 Le taux actuariel
Le taux actuariel permet de tenir compte du fait que les paiements et les
remboursements interviennent à différents moments du temps. Donc il faut calculer un taux d’intérêt (actuariel) qui égalise la valeur actualisée du flux de paiement futur lié à un instrument financier et sa valeur actuelle. C’est également appelé taux de rendement interne (TRI).
Exemples : Exemple d’un prêt simple
100 €remboursés 110€ dans 1 an, le calcul est évident : 100 = 110 / (1+i) 1+i = 110/100
=> i = 0,1 = 10%
Le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt actuariel sont égaux car la durée n’est que d’un an. 10% est le taux d’intérêt qui va égaliser la valeur actuelle du prêt et le flux actualisé des remboursements. Donc pour un prêt simple le taux nominal et actuariel sont identiques.
Exemple d’un prêt à versement fixe/constant:
1000 € remboursés en 25 ans, chaque remboursement étant égal à 126€.
Pour calculer le taux d’intérêt actuariel on va égaliser :
Le seul taux d’intérêt qui compte est celui qui permet d’égaliser la valeur actuelle et la valeur actualisée.
Formule générale 1000 €. P est le prix auquel on doit acheter l’obligation, en fonction du taux d’intérêt
Tableau montrant les différents taux actuariels selon le prix de l’obligation Prix de l’obligation Taux actuariel
1 200 7,13%
1 100 8.48%
1 000 10%
900 11.75%
800 13.81%
Plus la maturité est longue plus les écarts sont grands. Le prix et le taux actuariels varient en sens inverse. Quand le taux d’intérêt croît, les
versements futurs, toujours égaux à 100€ (fixés) sont dépréciés. Plus le taux d’intérêt sera bas et plus le prix de l’obligation sera élevé. Il vari en sens inverse. Plus le taux d’intérêt est élevé, moins on privilégie le futur. Le taux actuariel est supérieur au taux de coupon nominal quand le prix de
l’obligation est inférieur à sa valeur faciale. La valeur faciale c’est le prix auquel on la vend, quand elle est neuve. Lorsque le prix de l’obligation est plus petit que la VF, alors le taux actuariel est plus élevé que le taux d’intérêt nominal tel qu’il a été émis le jour de l’émission. Une obligation est définie par son coupon et sa maturité (ils sont fixés) Si le taux d’intérêt varie, le coupon ne change pas.
Autre cas : les obligations perpétuelles. Une obligation perpétuelle est une obligation de maturité infinie, c'est-à-dire qu’on ne rembourse jamais la valeur faciale mais on verse le coupon jusqu’à la fin des temps (transmission par héritage). Ça n’existe plus car elles ont toutes été rachetées par l’État.
∑
( )
C le coupon n la date de maturité
i le taux d’intérêt
Le prix est fonction décroissante de i.
Dans le cas d’une obligation perpétuelle, la valeur de l’obligation est C / i Exemple d’une obligation 0 coupon : Le calcul est identique à celui du prêt simple. VF = 1000€, Prix d’achat 900€, maturité = 1 an
i = 11.1%
D’une manière générale 2 Le taux d’intérêt apparent
Il s’agit d’une approximation du taux actuariel. Il est très facile à calculer.
Le taux apparent et le taux actuariel varient toujours dans le même sens. Le taux d’intérêt apparent est d’autant plus proche du taux d’intérêt actuariel que les obligations sont éloignées de leurs maturités. Si les obligations ont une maturité supérieure 20 ans, les 2 taux sont quasiment identiques. Plus le prix de l’obligation est proche du pair, c'est-à-dire plus le prix de l’obligation est proche de sa valeur faciale, et plus le taux actuariel et le taux apparent sont proches.
3 La distinction entre le taux d’intérêt et le rendement
Le rendement ou taux de rendement, est le gain total lié à la détention d’un titre pendant une période donnée. Il représente la somme des paiements versés pendant la période de détention du titre et le gain en capital lors de la revente comparé au prix d’achat.
Exemple : Obligation avec VF = 1000€ ; C = 100€, Prix de revente = 1200€
R [ ( )]
Le taux de rendement est différent du taux actuariel (10% le cas échéant). La différence entre les deux est que le rendement est un résultat a postériori (on constate après coup le prix de revente) et le taux actuariel est un résultat a priori (on le connait avant la vente).
Taux de rendement
Le rendement intègre la plus (ou moins) value
est le taux d’intérêt apparent
est le gain en capital (aussi appelé g)
On peut calculer le taux de rendement dans un tableur pour montrer l’incidence de la hausse du taux d’intérêt.
Le prix de revente est le prix auquel on va vendre l’obligation sur le marché aujourd’hui si la maturité est de 30 ans. Sachant que le taux d’intérêt est passé de 10% à 20%. Plus l’échéance est éloignée et plus il y a de perte en capital si on revend l’obligation. On voit qu’un taux d’intérêt initial positif est compatible avec un rendement négatif à l’arrivée, s’il y a eu une augmentation du taux d’intérêt. Ça aurait été l’inverse si le taux d’intérêt avait diminué de 5%.
Les variations du taux d’intérêt courant sont sans effet sur le taux auquel on a acheté l’obligation. Une augmentation du taux d’intérêt se traduit par une baisse du prix qui génère une perte en capital si la maturité est supérieure à la durée de détention. Plus l’échéance est éloignée et plus la variation de prix est forte, et plus la maturité est longue plus une hausse du taux d’intérêt diminue le rendement. Au contraire si le taux d’intérêt diminue, on peut vendre l’obligation à un prix plus élevé donc on a un gain. Pour bien comprendre, il faut savoir que le coupon ne change pas (il a été défini avant, et ne peut changer), la fluctuation du taux d’intérêt influe seulement sur la valeur faciale (le prix de l’obligation). La valeur faciale est ce que l’on va toucher le jour de l’échéance quand l’action est arrivée à maturité.
On voit qu’un taux d’intérêt positif est compatible avec un rendement négatif et on voit que l’impact des variations u taux d’intérêt est d’autant plus élevé que la maturité est longue.
3.1 Maturité et volatilité du prix des obligations : le risque de taux d’intérêt
/ !\ Différence entre risque de défaut et risque de taux d’intérêt. Le risque de défaut est lorsqu’une personne ne rembourse pas l’obligation (par exemple, une entreprise qui a fait faillite). Le risque de taux d’intérêt provient de la volatilité du cours des obligations, qui est d’autant plus importante que la maturité est longue. Le risque de taux d’intérêt
est très fort pour les titres long terme et très faible pour les titres court terme avec, pour les titres court terme, un risque de réinvestissement si le taux d’intérêt diminue. Si le taux d’intérêt varie, le prix d’occasion des obligations varie en sens inverse du taux d’intérêt. Donc le cours des obligations à long terme varie en sens inverse du taux d’intérêt, ce qui entraine un risque de perte en capital pour le détenteur des obligations.
Ce risque traduit le fait qu’on n’est pas sûr de la valeur de revente de l’obligation au moment où on l’achète.
3.2 Taux équivalent et taux proportionnel
Il s’agit de taux calculés sur une fraction d’année. Le taux proportionnel est calculé lorsqu’il n’y a pas de capitalisation des intérêts au long de l’année. La capitalisation est lorsque les intérêts rapportent eux-mêmes des intérêts.
Tproportionnel = j le nombre de jours
i le taux d’intérêt
Le taux équivalent suppose qu’on capitalise les intérêts au jour le jour Téquivalent=( )
4. La distinction entre le taux d’intérêt réel et le taux d’intérêt nominal
4.1 Les taux d’intérêt réels
Ces taux apparaissent quand on tient compte de l’inflation.
S’il y a de l’inflation, forcément le taux d’intérêt réel est différent du taux d’intérêt nominal, et tout dépend donc du taux d’inflation anticipé. Le taux d’intérêt réel est la différence entre le taux d’intérêt réel et le taux d’inflation anticipé. Il peut être négatif.
Dans ce cas-là, il y a une incitation à emprunter puisque les remboursements seront plus faibles en valeur réelle que le prêt si on le place.
( ) ( )( ) ( ) Or, ( ) étant très faible, on le néglige. Donc peut écrire :
C’est le taux d’intérêt réel qui guide les décisions d’investissement des entreprises. Les agents économiques ne sont pas victime d’illusion monétaire.
4.2 Le taux d’intérêt net d’impôts
Le gain anticipé par le prêteur est le taux d’intérêt réel net d’impôt.
Supposons que le taux d’imposition est de 30 %, et le taux d’intérêt nominal de 10%
Le taux d’intérêt réel ( ) ( ) Si on prend en compte l’inflation, on aura
( )
C’est à partir de ce taux que se font les choix, notamment de déduire les impôts des bénéfices sur la charge de l’emprunt.