La diffusion des atomes de cuivre en profondeur

4.3.6.1 Les résultats DFT

Les diffusions à travers des échanges directs avec des lacunes décrits dans le Chapitre 3 sont les mécanismes d’intérêt ici. De nombreux calculs ont été faits et une loi physique en cours d’implémentation a été adoptée ici afin de généraliser ces comportements et de ne pas alourdir les simulations. Cette loi est inspirée du travail de M. Nastar à l’aide d’un modèle statistique de champ moyen auto-cohérent.

La génération des lacunes

dans leur réseau [162–165]. À de telles concentrations, le traitement explicite des lacunes comme une espèce atomique n’est pas pertinente puisque les performances du code seraient nettement réduites :

- Au niveau de la diffusion des atomes de cuivre qui devront « attendre » qu’une lacune remonte au niveau d’un atome de cuivre.

- Au niveau de la diffusion rapide des lacunes dans le cristal d’aluminium. Un trai-tement explicite des lacunes dans notre programme n’est pas envisageable étant donné la capacité de diffusion des lacunes à diffuser plus rapidement par les espèces de type aluminium face à celle de l’atome de cuivre. La diffusion des lacunes par les atomes d’aluminium est donc perçue comme un mécanisme polluant dans nos simulations.

Nous traitons donc les lacunes comme des espèces implicites et en considérant que cette espèce est une donnée conservative tel un défaut de structure d’équilibre [129, 131]. Les probabilités d’occurrence de diffusion pour ces mécanismes tiennent compte de la concentration en lacunes dans le système et de la probabilité de l’atome de cuivre à diffuser dans la lacune face à la capacité des atomes d’aluminium à diffuser dans celle-ci. Nous avons donc choisi de traiter la diffusion en profondeur des atomes de cuivre en développant une formule permettant de calculer une probabilité de diffusion vers une possible lacune. Cette formule a été développée en s’inspirant des travaux de M. Nastar et al. [129, 131, 166]. Ainsi, une gestion simplifiée de l’événement est pensée, associée à un changement de configuration ne nécessitant qu’une interversion entre un atome d’aluminium et de cuivre.

La formule de diffusion des atomes de cuivre

La formule de la probabilité de diffusion W d’un atome vers une possible lacune telle qu’implémentée s’écrit selon l’approche usuelle de la théorie de l’état de transition [129] :

W = ⌫_↵e⁽ kBT¹ ⇤E^‡)

où ⌫↵est la fréquence d’essai de l’atome diffusant, kBest la constante de Boltzmann, T la température du substrat et E‡ la barrière de migration (en eV). Cette énergie est calculée par la DFT et dépend de la nature de l’atome diffusant (cuivre ou aluminium), du voisinage (nombre de voisins cuivre ou aluminium) mais aussi de la profondeur à la-quelle la diffusion se fait (surface, première sous-couche, deuxième sous-couche, bulk...) et de la direction de la diffusion (comme le cas de l’atome de cuivre qui diffuse vers une zone de Guinier-Preston dans le plan (100)). Cela nécessite beaucoup de cas à étu-dier et de multiples conditions à implémenter. Même si de nombreux calculs DFT ont été réalisés afin d’appréhender le comportement des atomes de cuivre diffusant sous la surface d’aluminium, nous n’avons pas traité tous les cas à l’heure actuelle. Un tableau bilan récapitulatif de toutes les énergies de diffusion implémentées se trouve en fin de

4.3. Les mécanismes DFT implémentés et le package kmc.event ce chapitre. Nous affinerons cette approche dans un futur proche.

Au stade actuel du développement du code, une unique barrière d’activation est implémentée pour la diffusion des atomes d’aluminium définie comme la barrière de diffusion pour passer de la couche n à n 1. Cependant, cette barrière varie tout de même en fonction de la couche dans laquelle est réalisée la diffusion (comme pour le Cu)(voir les Tableaux 4.7 et 4.8).

Figure 4.16 – a) Diffusion des atomes en premiers voisins d’un site avec une probabilité de présence d’une lacune. Les atomes non grisés sont en premiers voisins. Les plans et la ligne pointillée mettent en avant l’orientation (111) du cristal. L’atome de cuivre est en bleu et la lacune en pointillé. Cette approche est inspirée de b) [131] dans laquelle les taux de transition sont calculés jusqu’au cinquième voisin.

À partir de l’équation de probabilité de diffusion, il est possible de définir le temps que mettra un atome de cuivre à diffuser vers une position contenant une lacune [166] :

t = ¹

Ns(Al)Cv(Al) ⇤ P12¹ ↵=1W↵

où Ns(Al) est le nombre d’atomes d’aluminium en premiers voisins de la lacune et Cv(Al) est le taux de lacune dans le cristal (fixé à 1.10 4, d’après les résultats expérimentaux en référence [162–165]). La deuxième partie de la formule contient la somme de toutes les probabilités de diffusion des douze premiers voisins autour de la lacune (voir Figure 4.16). Ainsi, pour calculer la diffusion d’un atome de cuivre d’une position A vers une position B, la probabilité de diffusion de tous les atomes en premiers voisins autour du site B est calculée.

De plus, à l’heure actuelle, nous considérons un taux de lacune uniforme dans le substrat. Les effets de surface sont pourtant non négligeables. Dans le prochain dé-veloppement, un gradient de concentration devra être introduit pour corriger cette première approximation [167, 168].

4.3.6.2 L’implémentation

Lors du calcul des SPM d’un Cu_inserted, le temps de diffusion de cet atome de cuivre vers un site voisin se fait à partir d’une probabilité de migration vers un site ayant une probabilité de présence d’une lacune. Ce temps est lui aussi stocké. La classe permettant d’instancier l’événement de déplacement de l’atome de cuivre vers un atome d’aluminium a été présenté plus haut(classe Event_migrateConfig).

Les conditions de diffusion, en plus des barrières énergétiques sont les suivantes : • Le centre d’îlot défini plus haut est fixé. C’est autour de ce point que l’insertion

des atomes de cuivre se produit.

• Un atome de cuivre ne peut diffuser que si la position finale a au moins un atome de cuivre dans les voisins supérieurs.

• Les mouvements de l’atome de cuivre au sein d’une même diffusion « horizontale » n’est pas encore implémentée.