La technologie de production est souvent mod´elis´ee en admettant que le producteur cherche `a atteindre des objectifs ´economiques : r´eduction des coˆuts de production et maximisation du profit. Sous ces hypoth`eses, les entreprises sont ´evalu´ees via le calcul de l’efficacit´e ´economique. Cette efficacit´e traduit la capacit´e de l’entit´e ´evalu´ee `a uti- liser les meilleures combinaisons d’inputs possibles dans son processus de production en tenant compte des prix qui leur sont attach´es. Lorsque l’information sur les prix est difficile `a obtenir ou n’est pas disponible (secteur public par exemple), l’effort d’analyse peut ˆetre port´e `a la dimension technique de l’efficacit´e : l’efficacit´e technique2 .
Cette efficacit´e appel´ee aussi efficacit´e au sens de Debreu-Farrell ou encore efficacit´e au sens de Farrell [1957], en orientation input, est d´efinie pour une observation (x, y) par rapport `a une technologie de production quelconque Ψ par :
θ(x, y) = min{θ : (θx, y) ∈ Ψ} (2.12)
2. Notons que l’efficacit´e ´economique implique l’efficacit´e technique mais que l’inverse n’est pas vraie.
2.3. L’efficacit´e technique 55
Le coefficient d’efficacit´e technique θ(x, y) est une mesure radiale indiquant la pro- portion maximale dans laquelle le vecteur d’input peut diminuer tout en permettant de produire le mˆeme vecteur de produit y. Remarquons que pour (x, y) ∈ Ψ ⇐⇒ θ(x, y)≤ 1. Aussi, lorsque θ(x, y) = 1, la combinaison (x, y) est situ´ee sur la fronti`ere d’efficacit´e. Dans ce cas de figure, la combinaison est efficace au sens de Farrell [1957]. Cette mesure de l’efficacit´e technique au sens de Farrell [1957] fournit donc une nou- velle caract´erisation de l’ensemble des possibilit´es de production et de sa fronti`ere. En effet, la technologie est caract´eris´ee par :
Ψ =n(x, y)∈ Rm+n + : θ(x, y)≤ 1 o , (2.13) et sa fronti`ere par : ∂Ψ =n(x, y)∈ Rm+n+ : θ(x, y) = 1o (2.14) Ces coefficients d’efficacit´e peuvent satisfaire eux aussi un certain nombre de propri´et´es lorsque l’ensemble des besoins en facteur de production satisfait les axiomes L1-L5. Ces propri´et´es sont les suivantes :
E1. θ(x, y) est non croissante en x : ∀ x, x′ ∈ L(y), x ≤ x′ ⇒ θ(x, y) ≥ θ(x′, y) E2. θ(x, y) est homog`ene de degr´e -1 en x : ∀ x ∈ L(y), θ(τx, y) = τ−1θ(x, y), τ >0
E3. θ(x, y) est continue en (x, y)∈ Ψ
E4. θ(x, y) est invariante aux unit´es dans lesquelles sont mesur´ees les inputs et les produits.
E5. Si l’ensemble des possibilit´es de production Ψ est convexe alors θ(x, y) est aussi convexe.
Les deux premi`eres propri´et´es d´ecoulent des travaux de F¨are et Lovell [1978] et de Ziechang [1984]. La propri´et´e de continuit´e a ´et´e d´emontr´ee par Russell [1990] d’une part et d’autre part par Dmitruk et Koshevoy [1991]. Cette continuit´e s’appuie sur des hypoth`eses assez fortes. En effet, elle n’est v´erifi´ee que pour des mesures r´ealis´ees avec
l’hypoth`ese de faible disposition des facteurs de production. L’invariance du coefficient d’efficacit´e technique est elle l’oeuvre de Russell [1988]. Elle signifie que la valeur des coefficients d’efficacit´es est ind´ependante des unit´es dans lesquelles les inputs et les outputs sont mesur´ees. La derni`ere propri´et´e d´ecoule de la convexit´e de l’ensemble des possibilit´es de production Ψ.
La mesure de cette efficacit´e technique au sens de Farrell [1957] d´epend donc des carac- t´eristiques de la technologie sous-jacente. Cette efficacit´e, par rapport `a une technologie `a rendements d’´echelle variables s’exprime comme suit :
θvrs(x, y) = min{θ : (θx, y) ∈ Ψ} (2.15)
Si la technologie sous-jacente est un cone i.e. caract´eris´ee par des rendements d’´echelle constants, l’expression de l’efficacit´e technique est la suivante :
θcrs(x, y) = min{θ : (θx, y) ∈ Ψcrs} (2.16)
Le coefficient d’efficacit´e technique peut aussi ˆetre d´efini en orientation output. Le score obtenu est une mesure radiale indiquant la proportion maximale dans laquelle le vecteur d’output peut augmenter en utilisant le mˆeme vecteur de facteur de production. Il est donn´e par :
β(x, y) = max{β : (x, βy) ∈ Ψ} (2.17)
Remarquons que (x, y)∈ Ψ ⇐⇒ β(x, y) ≥ 1. Aussi lorsque β(x, y) = 1, la combinaison (x, y) est situ´ee sur la fronti`ere d’efficacit´e. Ce coefficient d’efficacit´e technique v´erifie des propri´et´es similaires `a celles des efficacit´es orient´es inputs (continuit´e, homog´en´eit´e, etc.).
Ces mesures, orient´ees input et output, des coefficients d’efficacit´e technique peuvent ˆetre li´ees `a des fonctions de distances. Elles peuvent ˆetre aussi orient´ees input ou output. En effet F¨are et Lovell [1978] montrent que ces efficacit´es techniques orient´ees input
2.3. L’efficacit´e technique 57
et output sont respectivement l’inverse des fonctions de distance orient´ees inputs et output de Shephard [1953, 1970]. La fonction de distance orient´ee input est d´efinie par : DI(x, y) = max δ > 0 : (x δ, y) ∈ Ψ = max δ > 0 : x δ ∈ L(y) (2.18)
Les expressions (2.12) et (2.18) permettent d’´etablir la relation suivante :
DI(x, y) =
1
θ(x, y) (2.19)
Cette fonction peut satisfaire les propri´et´es suivantes lorsque l’ensemble des besoins en facteur de production satisfait les axiomes L1-L5. Ces propri´et´es sont les suivantes :
DI1. Elle est non d´ecroissante en x et non croissante en y DI2. Elle est lin´eairement homog`ene en x
DI3. Elle est concave en x et quasi-concave en y lorsque L est convexe DI4. Si x ∈ L(y) alors DI(x, y)≥ 1
DI5. DI(x, y) = 1 si x est sur la fronti`ere de L(y)
La fonction de distance orient´ee input fournit donc une mesure de la distance radiale existante entre la position de la combinaison (x, y) dans l’espace des inputs-outputs et la fronti`ere de l’ensemble de production. Elle est inversement proportionnelle `a l’ef- ficacit´e technique de Farrell [1957] orient´ee input. Elle est donc sup´erieure ou ´egale `a l’unit´e. Lorsqu’elle est unitaire, l’entit´e ´evalu´ee est efficace au sens de Farrell [1957]. Cela voudrait donc dire que l’observation est situ´ee sur la fronti`ere des possibilit´es de production. Cette fonction de distance est illustr´ee par la figure 2.4. Le vecteur des inputs x est une combinaison inefficace. Sa contraction radiale x∗ se trouve sur la fron-
ti`ere et est efficace.
x x∗ x1 x2 b b L(y)
Figure 2.4 – Fonction de distance orient´ee input
par rapport `a des technologies soumises `a diff´erents types de rendements d’´echelle. Pour une technologie `a rendements d’´echelle variables, la fonction de distance est donn´ee par l’expression suivante : DvrsI (x, y) = max δ > 0 : (x δ, y)∈ Ψ (2.20)
Et pour une technologie `a rendements d’´echelle constant, l’expression est la suivante :
DIcrs(x, y) = max
δ > 0 : (x
δ, y)∈ Ψ
crs (2.21)
La fonction de distance peut aussi ˆetre d´efinie en orientation output. Elle est donn´ee par l’expression suivante :
DO(x, y) = min ( ̺ > 0 : (x,y ̺)∈ Ψ ) (2.22)
Comme pour la fonction de distance orient´ee input, la fonction de distance orient´ee output satisfait des propri´et´es similaires `a celles de la fonction de distance orient´ee input. Elle est aussi obtenue en prenant l’inverse du coefficient d’efficacit´e technique orient´ee outputs.