2.6 Existence de la technologie de transformation r´eglement´ee
2.6.2 La r´eglementation
La r´eglementation de mani`ere simplifi´ee et sans perte de g´en´eralit´e est un ensemble de contraintes sur l’utilisation des facteurs de production et de la production d’out- puts. Ces contraintes caract´erisent l’environnement de la plupart des firmes (inputs quasi-fixes, incitatifs, r´eglementations, etc.) et d´ependent d’un ensemble de param`etres. Averch et Johnson [1962] ont pos´e les bases d’une m´ethode solide permettant l’´etude du comportement d’une firme soumise `a des contraintes r´eglementaires sur le taux de rendement du capital. Nous nous inspirons dans ce qui suit les travaux de Ouellette et Vigeant [2001] pour mod´eliser la r´eglementation. Cette r´eglementation va s’appliquer `a la firme via les facteurs de production (on ne peut pas par exemple d´epasser un cer- tain niveau d’utilisation de certains facteurs) et/ou via les produits (la firme peut se voir imposer ou s’imposer une limite dans la production de certains produits ; `a titre
2.6. Existence de la technologie de transformation r´eglement´ee 89
d’exemple on a le cas des outputs non d´esirables qui peuvent contraindre la produc- tion des outputs d´esirables). L’ensemble des possibilit´es de production, par exemple, respectant ces contraintes s’´ecrit de la mani`ere suivante :
RO :Rm+ −→ 2R
n
+ (2.73)
Ainsi pour x∈ Rm
+, nous avons RO(x) ⊆ Rn+. Cet ensemble est directement d´ependant
des param`etres de la r´eglementation. D´efinissons ces param`etres rendant compte de la r´eglementation comme ´etant φ. Nous aurons alors formellement l’ensemble suivant : ∀
x∈ Rm
+, R0(x | φ) ⊆ Rn+. Notons que φ peut contenir les prix des inputs, des outputs
et les param`etres de la r´eglementation dict´ee par le gouvernement.
De fa¸con ´equivalente, nous pouvons d´efinir l’ensemble des besoins en facteurs de pro- duction respectant ces contraintes de r´eglementation :
RI :Rn+ −→ 2R
m
+ (2.74)
et ∀ y ∈ Rn
+ nous avons RI(y | φ) ⊆ Rm+.
Ces deux correspondances, d´ependantes, de la r´eglementation sont inversement li´ees. En effet, nous avons :
x∈ RI(y| φ) ⇐⇒ y ∈ RO(x | φ) (2.75)
Nous pouvons, par cons´equent, ´etablir une axiomatique compl`ete de la r´eglementation en production et donc d´efinir la fonction de r´eglementation. De mani`ere plus pr´ecise, il existe une axiomatique qui lie les ensembles de la r´eglementation RI(x | φ) et RO(y| φ)
de la mˆeme mani`ere qu’une axiomatique lie L(y) et P (x). Pour la coh´erence de la r´e- glementation, l’ensemble des inputs r´eglement´es RI(x | φ) et l’ensemble des outputs
r´eglement´es RO(y | φ) devraient ˆetre compatibles. Nous avons alors du cˆot´e de l’en-
RI1. RI(0| φ) = Rm+; 0 /∈ RI(y| φ), y > 0
RI2. Si k yl k −→ +∞ lorsque l −→ ∞ alorsT+∞l=1 RI(yl| φ) = ∅
RI3. RI(y | φ) : Rm+ −→ 2R
n
+ est une correspondance ferm´ee
RI4. ∀ y ∈ Rn+, RI(y | φ) ⊆ RI(θy| φ) pour θ ∈ [0, 1]
RI5. ∀ y ∈ Rn+, x∈ RI(y| φ) et pour tout λ ≥ 1 =⇒ λx ∈ RI(y | φ)
Comme pour l’ensemble des besoins en facteurs de production, Ces cinq premi`eres hypoth`eses peuvent ˆetre admises la plupart du temps pour l’ensemble des besoins en facteurs de production respectant les contraintes de r´eglementation. Dans certaines analyses, la faible disposition des inputs et des outputs (RI4 et RI5) sont remplac´ees
par les hypoth`eses de libre disposition RI6 et RI7 suivantes :
RI6. ∀ y1, y2 ∈ Rn+, y1 ≥ y2 =⇒ RI(y1 | φ) ⊆ RI(y2 | φ)
RI7. ∀ y ∈ Rn+, x1 ∈ RI(y| φ) et x2 ≥ x1 =⇒ x2 ∈ RI(y| φ)
Cette libre disposition doit cependant ˆetre questionn´ee car sous l’angle des facteurs de production, elle implique que l’augmentation d’un de ces facteurs ne peut faire baisser le niveau de production. Cet ensemble RI(x| φ) peut ´egalement suivant les situations,
v´erifier l’hypoth`ese de convexit´e suivante :
RI8. RI(y | φ) est convexe ∀ y ∈ Rn+
Cette hypoth`ese de convexit´e doit aussi ˆetre questionn´ee suivant les types de r´eglemen- tation auxquels nous sommes confront´e.
De la mˆeme mani`ere, pour l’ensemble des productions possibles r´eglement´e, nous avons :
2.6. Existence de la technologie de transformation r´eglement´ee 91
RO2. RO(x| φ) est born´e ∀ x ∈ Rm+
RO3. RI(x | φ) : Rm+ −→ 2R
n
+ est une correspondance ferm´ee
RO4. ∀ x ∈ Rn+, y∈ RO(x | φ) =⇒ θy ∈ RO(x| φ), 0 ≤ θ ≤ 1
RO5. ∀ x ∈ Rm+, RO(x | φ) ⊆ R0(λx| φ), λ ≥ 1 et λ ∈ R
Comme pour l’ensemble des produits, Ces cinq premi`eres hypoth`eses peuvent ˆetre ad- mises la plupart du temps pour l’ensemble des possibilit´es de production respectant les contraintes de r´eglementation. Dans certaines analyses, la faible disposition des inputs et des outputs (RO4 et RO5) sont remplac´ees par leurs libres dispositions RO6 et RO7
suivants :
RO6. ∀ x1, x2 ∈ Rm+, RO(x1 | φ) ⊆ RO(x2 | φ), x1 ≤ x2
RO7. ∀ x ∈ Rm+, y1 ∈ RO(x| φ) =⇒ y2 ∈ RO(x | φ), 0 ≤ y2 ≤ y1
Cette libre disposition doit cependant ˆetre questionn´ee car sous l’angle des facteurs de production, elle implique que l’augmentation d’un de ces facteurs ne peut faire baisser le niveau de production. Cet ensemble peut ´egalement suivant les situations, v´erifier l’hypoth`ese de convexit´e suivante :
RO8. RO(x| φ) est convexe ∀ x ∈ Rm+
Cette hypoth`ese doit ´egalement ˆetre questionn´ee suivant les types de r´eglementation auxquels nous sommes confront´e.
Proposition 2. La correspondance de la r´eglementation output RO(x | φ) satisfait
RO1−RO5 si et seulement si la correspondance de la r´eglementation RI(y | φ) satisfait
D´emonstration. La d´emonstration est identique `a celle de l’´equivalence entre L et P .
De fa¸con similaire `a ce que nous avons fait pour L et P , on peut d´efinir les isoquantes que l’on utilisera pour d´emontrer, en particulier, que la fonction de r´eglementation existe.
D´efinition 3. L’isoquante de la r´eglementation input de RI(y | φ) est d´efinie pour
y≥ 0 par : RI(y| φ) := {x | x ∈ RI(y| φ), λ ∈ [0, 1[} et IsoqRI(0) :={0}
D´efinition 4. L’isoquante de la r´eglementation output de RO(x | φ) est d´efini pour
RO(x | φ) 6= {0} par : RO(x | φ) := {y | y ∈ RO(x | φ), θy /∈ RO(x| φ), θ > 1} et pour
RO(x | φ) = {0}, IsoqRO(x | φ) := {0}
La fonction de r´eglementation est d´efinie de la mani`ere suivante :
D´efinition 5. Une fonction h : Rm+n+ −→ R+ satisfaisant les trois conditions sui-
vantes :
(i) RO(y| φ) = {x : h(x, y | φ) ≤ 0} et RI(x | φ) = {y : h(x, y | φ) ≤ 0}
(ii) Pour tout y≥ 0, et RI(y| φ) 6= ∅ nous avons :
IsoqRI(y | φ) = {x : h(x, y | φ) = 0}
(iii) Pour tout x≥ 0, et RO(x | φ) 6= ∅ nous avons :
IsoqRO(x | φ) = {y : h(x, y | φ) = 0}
est appel´ee fonction de la r´eglementation.
L’existence de cette fonction de la r´eglementation d´ecoule directement de la section pr´ec´edente. Axiome 2. B1. IsoqRI(θy| φ) ∩ RI(y | φ) = ∅, θ 6= 1 B2. IsoqRO(λx| φ) ∩ RO(x | φ) = ∅, λ 6= 1 B3. x∈ IsoqRI(y | φ) =⇒ y ∈ IsoqR0(x| φ) B4. y∈ IsoqR0(x | φ) =⇒ x ∈ IsoqRI(y| φ)
2.6. Existence de la technologie de transformation r´eglement´ee 93
Lemme 3. B1 ⇐⇒ B3 et B2 ⇐⇒ B4
D´emonstration. La d´emonstration est identique `a celle du lemme 1.
Lemme 4. h(x, y | φ) existe si et seulement ∀ x ≥ 0, RO(x | φ) 6= {0} et ∀ y ≥ 0,
RI(y| φ) 6= ∅, nous avons la relation suivante : x ∈ IsoqRI(y | φ) ⇐⇒ y ∈ IsoqRO(x|
φ).
D´emonstration. D´emonstration. Elle est identique `a celle du lemme 2.
Proposition 3. ∀ x ≥ 0, y ≥ 0, tel que IsoqRO(x | φ) 6= {0}, et RI(y | φ) 6= ∅, une
condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonction de r´eglementation h(x, y | φ) existe est que : IsoqRO(x | φ) ∩ IsoqRO(λx | φ) = ∅ et IsoqRI(y)∩ IsoqRI(θy) =∅
pour tout scalaire positif λ et θ diff´erents de 1 (θ 6= 1 et λ 6= 1).
D´emonstration. La d´emonstration est identique `a celle de proposition 1.
A partir de l`a, nous nous d´epla¸cons sur ce qui nous int´eresse dans cette section : l’existence d’une structure de transformation r´eglement´ee. Nous essayons de construire rigoureusement un ensemble d´efinissant la r´eglementation, coh´erent, et qui de plus per- mettrait la caract´erisation et v´erifierait l’existence de la fonction de transformation r´eglement´ee. Il y a donc quelques points `a mettre au clair `a ce niveau. En effet, il peut y avoir une multitude de r´eglementations. Par exemple les contraintes rendant compte de la r´eglementation peuvent prendre la forme suivante :
1. Les diff´erents types de pesticides ne sont pas tous assujettis aux mˆemes conditions d’utilisation
2. Toutes les cultures n’ont pas les mˆemes r`egles d’utilisation des pesticides 3. Nous pouvons observer des r´eglementations environnementales particuli`eres
Afin de tenir compte de toutes ces r´eglementations particuli`eres, nous indi¸cons les ensembles de r´eglementation. Cela nous conduit aux ensembles suivants :
RIe(x| φe) et ReO(y | φe), e = 1, ..., r (2.76)
r rend compte des diff´erents types de r´eglementation pr´esentes. Re
I(x | φe) est l’en-
semble des besoins en facteur de production respectant la e− ième contrainte environ- nementale et Re
O(y | φe) est l’ensemble des productions possibles respectant ´egalement
la e− ième contrainte environnementale. L’effet global de la r´eglementation sera donc connu sous : RI(x | φ) = r \ e=1 ReI(x | φe) et RO(y | φ) = r \ e=1 ReO(y| φe) (2.77)
Comme d´efini plus haut, l’ensemble de la r´eglementation est d´efinie `a partir de ces ensembles. Plus pr´ecis´ement, h(x, y | φ) ≤ 0 est d´efinie si RI(x | φ) et RO(x | φ)
satisfont les conditions indiqu´ees plus haut. Il peut donc exister des conditions sur la technologie de r´eglementation agr´eg´ee. Avant de s’attaquer directement `a la fonction de transformation r´eglement´ee, il faut comprendre les propri´et´es de ces deux ensembles. Nous savons que :
RI(x | φ) = r \ e=1 ReI(x | φe) et RO(y | φ) = r \ e=1 ReI(y | φe) (2.78)
L’ensemble des propri´et´es RI1 `a RI5 et RO1 `a RO5 seront pr´eserv´ees par l’intersection.
Ces propri´et´es ont ´et´e ´enum´er´ees plus haut.
Proposition 4. Supposons que RIe(y | φe) satisfait RI1 `a RI5 pour e = 1, ..., r alors
RI(y| φ) satisfait RI1 `a RI5.
D´emonstration.
RI1. Si ReI(0 | φe) = Rm+ ∀ e = 1, ..., r alors ∩re=1ReI(0 | φe) = Rm+; Supposons que
pour e = 1, ..., r nous ayons 0 /∈ Re
I(y | φe) pour tout y ≥ 0 alors nous avons :
0 /∈ ∩r
e=1ReI(y| φe) pour tout y≥ 0. Ce qui d´emontre RI1.
RI2. Supposons que lorsquek yl k −→ +∞ lorsque l −→ ∞ on a ∩+∞l=1ReI(yl | φe) =∅
pour e = 1, ..., r. Soit x ∈ Re
I(yl | φe) pour e = 1, ..., r, cela implique que x ∈
∩r
2.6. Existence de la technologie de transformation r´eglement´ee 95
Re
I(yl | φe), d’o`u x /∈ ∩e=1r ReI(yl | φe). Puisque x est arbitraire, il s’ensuit que
lim
L→∞∩ L
l=1∩re=1ReI(yl| φe) =∅. Ce qui d´emontre RI2.
RI3. Puisque RIe(y | φe) : Rm+ −→ 2R
n
+ est une correspondance ferm´ee pour e =
1, ..., r, alors pour y donn´ee, les Re
I(y | φe) contiennent tous les points limites.
Puisque l’intersection d’ensemble ferm´e est un ensemble ferm´e, on a : RI(y | φ)=
∩r
e=1ReI(y | φe), pour e = 1, ..., r est un ensemble ferm´e. Puisque ceci tient pour
chaque y (Re
I(y | φe) est une correspondance ferm´ee en y) alors RI(y | φ) est
ferm´e. Ce qui d´emontre RI3.
RI4. Supposons que ∀ y ∈ Rn+, RIe(y| φe)⊆ ReI(θy | φe) pour θ∈ [0, 1] et e = 1, ..., r.
Si x∈ Re
I(θy| φe) pour e = 1, ..., r alors x∈ ReI(y| φe) pour e = 1, ..., r. Donc x
∈ RI(θy| φe) =∩re=1 ReI(θy | φe) implique que x∈ RI(y| φe) =∩re=1ReI(y | φe)
et RI(y | φ) ⊆ RI(θy| φ). Ce qui d´emontre RI4.
RI5. Supposons que ∀ y ∈ Rn+ on ait x ∈ ReI(y | φe) pour e = 1, ..., r. Clairement, il
s’ensuit que x ∈ ∩r
e=1ReI(y | φe). Puisque par RI5 λx ∈ ReI(y | φe), e = 1, ..., r
alors, λx∈ ∩r
e=1ReI(y | φe), e = 1, ..., r. Ce qui d´emontre RI5.
Proposition 5. Supposons que Re
O(x | φe) satisfait RO1 `a RO5 pour e = 1, ..., r alors
RO(x | φ) satisfait RO1 `a RO5.
D´emonstration. La proc´edure de d´emonstration est identique `a la pr´ec´edente.