Estimation param´etriques de fronti`ere de production

Les ´etudes portant sur l’estimation d´eterministe de la fonction de production ont pour base les travaux de Aigner et Chu [1968] poursuivies par Afriat [1972]. Aigner et Chu [1968] utilisent une forme log-lin´eaire3 _{(Cobb-Douglas) pour mod´eliser la technologie}

de production.

Le point de d´epart de l’estimation de fronti`eres de production param´etriques comme non param´etriques est un ´echantillon d’unit´es de d´ecisions (firmes, observations, etc.) produisant un output y `a l’aide d’un vecteur d’inputs x. La DMU d produit donc yd avec des facteurs de production xd (d = 1, ..., D). La technologie mod´elisant les

meilleures pratiques d´epend de param`etres inconnus β associ´es aux inputs et est donn´ee 3. La lin´earit´e dans les param`etres est la seule condition n´ecessaire dans ce type d’estimation.

2.4. Estimation de l’efficacit´e technique 69

par :

yd= f (xd; β) (2.36)

Cette technologie donne la quantit´e maximale d’output pouvant ˆetre obtenue d’un niveau donn´e d’inputs. En pratique, la production de beaucoup de firmes du secteur ´evalu´e peut se trouver en dessous de la fronti`ere de production. La d´eviation d’un output observ´e de cette fronti`ere de production est une cons´equence de l’inefficacit´e technique dans le mod`ele d’Aigner et Chu [1968]. L’´equation pr´ec´edente peut-ˆetre r´e´ecrite de la mani`ere suivante en tenant compte de cet ´etat de fait pour toutes les firmes du secteur :

yd= f (xd; β)τd (2.37)

τd correspond `a l’efficacit´e technique et est consid´er´e comme une perturbation qui

est situ´ee dans l’intervalle 0 et 1. En supposant que cette fronti`ere de production est log-lin´eaire (Cobb-Douglas ou translog) et en prenant le logarithme de l’expression pr´ec´edente, l’´equation suivante est obtenue :

Yd = Xdβ+ td avec td= ln(τd) (2.38)

Ou encore :

Yd = Xdβ− ud (2.39)

Avec β = (β0, ..., βm)⊤, Yd = ln(yd), ud = −ln(τd) et Xd - dans le cas d’une Cobb-

Douglas - est un vecteur constitu´e de 1 et des xd transform´es en logarithme Xd =

(1, ln(x1d), ln(x2d), ..., ln(xmd)). ud repr´esente le terme d’inefficacit´e et comme 0 6

τd 6 1, cette variable est non-n´egative. Dans la suite cette analyse, nous consid´e-

rons Y = (Y1, Y2, ..., YD) et u = (u1, u2, ..., uD).

Cette sp´ecification force l’expression Xdβ `a ˆetre une fronti`ere de production en impo-

sant le fait que tous les r´esidus td (´ecarts `a cette fronti`ere) soient inf´erieurs ou ´egaux

`a 0. Cela permet `a toutes les observations de se trouver sur ou en dessous de la fron- ti`ere de production. Les param`etres de ce mod`ele sont calcul´es via des m´ethodes de

programmation lin´eaires et quadratiques.

Le membre de droite de l’´equation (2.39) est donc associ´e `a la fronti`ere des possibilit´es de production. Ce mod`ele est appel´e d´eterministe car la partie stochastique est com- pl`etement contenue dans celle de l’inefficacit´e. Aigner et Chu [1968] ont sugg´er´e deux m´ethodes de calcul des param`etres for¸cant le r´esidu ud `a ˆetre non n´egatif et donc `a

ˆetre associ´e `a de l’inefficacit´e. La premi`ere m´ethode est de calculer ces param`etres par de la programmation lin´eaire : min β D X d=1

ud sous la contrainte Yd− Xdβ ≤ 0 et cela ∀d (2.40)

Et la deuxi`eme m´ethode de calcul des param`etres est de passer par la programmation quadratique : min β D X d=1

u2_d sous la contrainte Yd− Xdβ ≤ 0 et cela ∀d (2.41)

On obtient donc via ces deux mod`eles une estimation de l’efficacit´e technique. Cette approche peut ˆetre appliqu´ee avec des formes fonctionnelles autres que la fonction Cobb-Douglas. Souvent cette m´ethode d´erive des coefficients d’efficacit´e techniques as- sez faibles. Pour ´eviter cette sensibilit´e aux valeurs extrˆemes, Timmer explore et expose l’id´ee avanc´ee par Aigner et Chu [1968] d’examiner l’effet de la suppression des observa- tions efficientes jusqu’`a ce que la suppression n’impacte pas le r´esultat des estimations.

Etant donn´e qu’aucune hypoth`ese n’est faite sur le terme de perturbation et/ou sur les variables explicatives, les propri´et´es statistiques des param`etres estim´es ne peuvent pas ˆetre d´etermin´ees.

Schmidt [1976] pointe du doigt cette lacune de la mod´elisation Aigner et Chu [1968] et tente de la d´epasser en faisant des hypoth`eses (les variables explicatives sont ind´e- pendantes du terme d’erreur, le terme d’erreur est constitu´e d’erreurs ind´ependantes provenant de lois usuelles : distribution exponentielle en ce qui concerne le programme

2.4. Estimation de l’efficacit´e technique 71

lin´eaire, distribution semi-normale pour le programme quadratique) sur la distribution du terme d’erreur. Il montre que l’estimateur d’Aigner et Chu [1968] est sous certaines hypoth`eses un estimateur du maximum de vraisemblance. Cependant, mˆeme sous ces conditions, les propri´et´es statistiques de l’estimateur restent incertaines. Ces propri´e- t´es ont ´et´e par la suite d´emontr´ees par Ouellette et al. [2013]. Dans le mˆeme optique, Afriat [1972] montre qu’en supposant que les erreurs suivent une distribution Gamma, le mod`ele d’Aigner et Chu [1968] peut-ˆetre estim´e par la m´ethode du maximum de vraisemblance.

2.4.2.2 Estimation param´etriques de fronti`ere de production stochastique

L’analyse des technologies de production via les fronti`eres stochastiques a ´et´e intro- duite ind´ependamment par Aigner et al. [1977] et Meeusen et Van den Broeck [1977]. Ces travaux impliquaient la sp´ecification d’une forme fonctionnelle pour mod´eliser la technologie de production et ´etaient motiv´ees par l’id´ee que toute la d´eviation d’une observation par rapport `a une fronti`ere de production ne doit pas ˆetre associ´ee `a de l’inefficacit´e. Ainsi le terme d’erreur dans ces analyses est lui mˆeme constitu´e de deux ´el´ements. Le premier prend en consid´eration l’effet al´eatoire et le deuxi`eme int`egre l’inefficacit´e technique. Les d´eviations par rapport `a la fronti`ere de production sont donc associ´ees `a des erreurs de mesures et/ou `a de l’inefficacit´e. En conservant la mˆeme structure d’analyse que dans la section pr´ec´edente (´echantillon de D unit´es de d´ecisions produisant un output y `a l’aide d’un vecteur d’inputs x), le processus de production est ´ecrit de la mani`ere suivante :

yd= f (xd; β)τdǫd (2.42)

Avec 0 6 τd 6 1 une mesure de l’efficacit´e de la firme d. τd = 1 indique que la firme

´evalu´ee d est efficace. ǫd est le terme d’erreur associ´e `a la firme d.

En supposant comme pour le mod`ele Aigner et Chu [1968] que cette fronti`ere de produc- tion est log-lin´eaire (Cobb-Douglas ou translog) et apr`es quelques r´earrangements (pas-

sage par le logarithme pour une Cobb-Douglas, Xd = (1, ln(x1d), ln(x2d), ..., ln(xmd)),

etc.) le mod`ele pr´ec´edant peut ˆetre r´e´ecrit de la mani`ere suivante :

Yd= Xdβ− ud+ vd (2.43)

Cette expression est identique dans la construction `a l’´equation (2.39) `a l’exception du terme d’erreur vd (v = (v1, v2, ..., vD)) qui tient compte des erreurs de mesure.

L’efficacit´e technique de l’entit´e d, T Ed (T Ed = τd = exp{−ud}), est une variable

al´eatoire et son calcul passe par l’estimation des param`etres du mod`ele des fronti`eres stochastiques. Pour ce faire, les deux termes d’erreurs sont suppos´es ind´ependants l’un de l’autre. Aussi il est suppos´e que ces termes d’erreurs ne sont pas auto-corr´el´es avec les variables explicatives du mod`ele. Les hypoth`eses suivantes sont commun´ement admises : i. E(vd) = 0 : la moyenne de l’erreur est nulle ; ii. E(vd)2 = σv2 : hypoth`ese d’homos-

c´edasticit´e ; iii. E(vdvd′) = 0 ∀ d 6= d′ : hypoth`ese d’ind´ependance ; iv. E(u_d)2 = σ2_u :

hypoth`ese d’homosc´edasticit´e ; v. E(udud′) = 0 ∀ d 6= d′ : hypoth`ese d’ind´ependance

Les variables u et v ont donc des propri´et´es similaires `a l’exception de la nullit´e de la moyenne de l’erreur pour ce qui est de u, vu que ud ≥ 0 comme mentionn´e plus haut.

La m´ethode d’estimation par les moindres carr´es ordinaires (MCO) ne peut pas ˆetre utilis´ee ici. En effet, Coelli et al. [2005] montrent qu’une estimation via les MCO de cette relation peut donner des estimateurs coh´erents en ce qui concerne les param`etres de pente, cependant, l’estimation de la constante est toujours biais´ee. Cela implique que l’estimation par les MCO de la constante est toujours biais´ee. Une solution de sortie pour le calcul de l’efficacit´e technique est de faire des hypoth`eses additionnelles sur les distributions des deux termes d’erreurs (terme al´eatoire et terme d’efficacit´e) et de proc´eder `a une estimation par maximum de vraisemblance. Dans la litt´erature, g´en´eralement, les termes al´eatoires (vd) sont suppos´es ˆetre des variables al´eatoires nor-

males ind´ependamment et identiquement distribu´ees de moyenne nulle et de variance σ2

2.4. Estimation de l’efficacit´e technique 73

de distributions sont propos´ees, de la semi-normale `a la loi gamma.

Dans leur analyse, Aigner et al. [1977] recommandent l’utilisation d’une distribution semi-normale pour l’estimation du mod`ele stochastique : les ud sont des variables

al´eatoires semi-normales ind´ependamment et identiquement distribu´ees. Elles ont une moyenne nulle et une variance ´egale `a σ2

u (ud∼ iidN+(0, σu2)).

Stevenson [1980] ´etend l’estimation pr´ec´edente en proposant une distribution normale tronqu´ee : les ud sont des variables al´eatoires normales tronqu´ees ind´ependamment et

identiquement distribu´ees. La fonction de densit´e de probabilit´e de chaque udest donc

une version tronqu´ee de la densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoire de moyenne µ et de variance σ2

µ (ud ∼ iidN+(µ, σµ2)).

De leur cˆot´e, Meeusen et Van den Broeck [1977] utilisent dans leur analyse une distri- bution exponentielle du terme d’efficacit´e : les ud sont des variables al´eatoires ind´epen-

damment et identiquement distribu´ees suivant une loi Gamma de moyenne nulle et de degr´e de libert´e 0 (ud∼ iidG(θ, 0)).

En fin de compte, Greene [1990] g´en´eralise l’estimation de Meeusen et Van den Broeck [1977] en proposant la distribution suivante pour l’estimation des param`etres du mo- d`ele : les udsont des variables al´eatoires ind´ependamment et identiquement distribu´ees

suivant une loi Gamma de moyenne θ et de degr´e de libert´e m (ud∼ iidG(θ, m)).