L’effet des interactions

Les interactions modifient les r´esultats des deux parties pr´ec´edentes, sur la fonction d’auto-corr´elation dans le pi`ege et sur l’expansion du nuage. Cependant ces modifica- tions ne remettent pas tout en question. On va donc reprendre le calcul en suivant les deux mˆemes ´etapes : dans le pi`ege, puis l’expansion.

2.2.3.1 Effet sur les corr´elations dans le pi`ege

Dans le calcul de la fonction d’auto-corr´elation dans le pi`ege, les interactions changent le r´esultat de deux fa¸cons. La premi`ere est assez ´evidente : les interactions cr´eent un champ moyen autour de chaque particule. Ceci peut ˆetre absorb´e dans une red´efinition du potentiel chimique, qui devient µ( ~R) ≈ µ−2gan( ~R), avec gala constante de l’interac-

tion, ga= 4π~

2_a

m , a la longueur de diffusion et m la masse d’un atome. Le deuxi`eme point

est plus difficile, nous allons l’expliquer ci-dessous. Il se trouve que le champ apporte une autre contribution non-perturbative, alors que la premi`ere n’a que peu d’influence. Dans le probl`eme `a N particules, l’approche de champ moyen consiste `a isoler le sous-syst`eme d’int´erˆet au milieu de l’ensemble des particules, puis `a traiter le reste des particules comme un tout homog`ene. Cela est justifi´e si l’on n’isole qu’un tout petit sous-syst`eme, de sorte que le reste repr´esente une infinit´e de N-1 particules discr`etes, que l’on peut alors regarder comme un continuum. On ne garde le cˆot´e discret que pour les particules du sous-syst`eme ´etudi´e. Dans le cas d’effets `a un corps, cela signifie isoler une particule seule, et traiter le reste comme r´esultant en un potentiel effectif.

Mais ici nous nous penchons sur des effets `a deux corps. Or, cela change beaucoup de choses. Car on peut toujours r´eduire l’influence des N-2 autres particules `a un poten- tiel effectif. En revanche, il reste l’interaction entre les deux particules ´etudi´ees. C’est pourquoi les interactions ne se ram`enent pas uniquement `a une red´efinition du potentiel chimique : il faut aussi tenir compte du fait que les deux particules interagissent, et en particulier qu’elles ne peuvent se trouver toutes deux au mˆeme instant au mˆeme endroit. La fonction d’auto-corr´elation doit donc s’annuler au centre, ce qui n’est pas dans l’expression que nous avons trouv´ee dans le cas id´eal. Cet effet non-perturbatif est donc une cons´equence de ce qu’on regarde un effet `a plusieurs particules. Il apparaˆıt donc dans le calcul de G(2), mais pas dans celui de G(1).

Le calcul tenant compte de la r´epulsion `a courte distance dans une paire d’atomes a ´

et´e fait dans les r´ef´erences [49] et [50]. Il conclut que la fonction d’auto-corr´elation est multipli´ee par un facteur 1 − 2a/r o`u a est la longueur de diffusion (et 0 si r ≤ a/2). Il est donc possible que le maximum de la fonction d’auto-corr´elation soit sensiblement diff´erent de 2 : dans une simulation num´erique, les auteurs de la r´ef´erence [49] trouvent un maximum d’environ 1, 7 pour une longueur de diffusion a ≈ 0, 007λT `a T = Tc.

Dans notre cas, a ≈ 0, 011λT ce qui est plus d´efavorable. La simulation num´erique

de la r´ef´erence [50] est peu pratique `a interpr´eter. J’admets donc que la formule des r´ef´erences [49] et [50] est valide, comme l’attestent leur simulation, et je l’applique `a notre cas. Moyennant une petite adaptation, l’expression `a utiliser est donc :

g_interactions(2) (~r) =  1 + 2 a ~r 2 +  g(2)_id´eal(~r) − 1  1 − 4 a |~r|  . (2.17)

Le r´esultat est montr´e sur la figure 2.14. La figure compare le r´esultat avec interactions au cas du gaz parfait. `A l’´echelle de la figure a est presque invisible : c’est le point

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 2. 0 1.5 1.0 0.5 0.0 g(2)_(r) r/l_T sans interaction

avec coeur dur

Fig. 2.14 – Rˆole des interactions sur l’auto-corr´elation. La valeur de a (en unit´es de λT) est celle calcul´ee pour de l’h´elium `a T = 1 µK. On constate que l’effet est ´enorme,

et s’´etend au-del`a de a.

d’intersection de la courbe « cœur dur » avec l’axe des abscisses. On constate que les deux courbes diff`erent sur une zone tr`es largement plus ´etendue que celle du cœur dur. L’expression 2.17 prend en compte l’effet des interactions dans une paire d’atomes. Il reste `a rajouter l’effet du champ moyen sur cette paire. On l’a dit, cela revient `a faire un simple changement de potentiel chimique (µ(~r) y µ − 2gan( ~R)). Au terme

de cette transformation, le potentiel chimique est devenu local : il d´epend du point de calcul. Ceci doit ˆetre pris en compte dans l’expression de g(2)(~r). La r´ef´erence [49] affirme que cette contribution est n´egligeable. La r´ef´erence [50] prend tout en compte, et le r´esultat semble le mˆeme, pour autant qu’on puisse comparer les deux. Le terme incrimin´e, eβµ( ~R)_{, est d’autant plus important qu’on est au centre du pi`ege. Au centre,}

il vaut eβµ· e−2βgn0_{, avec n}

0la densit´e au centre du pi`ege. Le maximum de l’´ecart relatif

`

a la valeur pour le gaz id´eal (ga= 0) est donc inf´erieur `a 2βgan0. Ceci vaut 4π_aa_ohτ5/2N ,

avec aoh la taille de l’oscillateur harmonique (2, 5 µm dans notre cas), et τ = _k~ω_BT la

temp´erature r´eduite (1, 92.10−2 `a 1 µK). Avec a ≈ 10 nm, on trouve donc 2, 6.10−6N . Comme on se situe dans la gamme des 105 `a 106 atomes, c’est tout juste de l’ordre de grandeur de l’unit´e. Ceci est suffisant pour estimer que la contribution n´egligeable en premi`ere approximation, car on moyenne la position du centre de masse sur le pi`ege. L’effet moyen est donc petit. Encore une fois, la moyenne sur ~R tend `a effacer les effets qui pr´edominent au centre du pi`ege.

En r´esum´e, il y a deux contributions des interactions. L’une r´esulte des collisions au sein d’une paire d’atomes, joue sur ~r et nous int´eresse donc. Elle est surtout sensible aux courtes distances. L’autre est l’effet du champ moyen sur la paire d’atomes, joue sur ~R et s’att´enue dans le moyennage.

2.2.3.2 Effet sur l’expansion du nuage

Sur une mesure des corr´elations, l’effet des interactions en lien avec l’expansion peut a priori ˆetre double. Les interactions peuvent `a la fois modifier les corr´elations dans le nuage, et modifier la fa¸con dont le nuage explose (ce qui a d´ej`a ´et´e partiellement pris en compte dans le facteur d’´echelle). Cela va encore nous ramener `a une distinction entre

ce qui joue sur ~R ou ~r. Cette fois, c’est la contribution sur ~R qui est majeure.

L’hypoth`ese de base de notre mod`ele de l’expansion du nuage est que le pi`ege se coupe instantan´ement. On suppose ´egalement que du fait de l’explosion rapide du nuage, la densit´e aussi chute instantan´ement. De ce fait, il n’y a plus de collisions entre atomes sitˆot le pi`ege coup´e. Pendant l’expansion, il n’y a donc plus d’effet de cœur dur. On s´epare entre ce qui se passe dans le pi`ege, `a l’´equilibre thermodynamique, qui fixe les corr´elations, et l’expansion du nuage qui n’est qu’une propagation vers le d´etecteur, modifi´ee par les interactions.

Cette propagation vers le d´etecteur est cependant importante. Car on veut mesu- rer la longueur de corr´elation. Donc on veut savoir exactement comment le nuage se propage pour en quelque sorte connaˆıtre le facteur de grossissement (de la longueur de corr´elation) et donc mesurer la bonne valeur. Or les interactions peuvent influencer l’expansion. On peut penser `a un effet de lentille dˆu `a la r´epulsion entre particules.

Autre chose peut encore venir perturber la mesure. Revenons sur l’´equivalence entre impulsion et position dans le pi`ege. Celle-ci est valable dans le cas d’un gaz parfait. Lorsque l’on rajoute les interactions, rien ne dit qu’elle tienne encore. On peut mˆeme ˆ

etre sˆur du contraire : le mod`ele d’interaction utilis´e brise la sym´etrie en particularisant les courtes distances. Donc l’argument utilis´e pour trouver la fonction d’auto-corr´elation vue sur le d´etecteur ne tient plus. Ceci peut avoir un impact certain sur la mesure, ce que nous allons discuter dans la suite.

2.2.3.3 Impact exp´erimental

L’effet des interactions sur la mesure des corr´elations est multiple. Les corr´elations dans le pi`ege sont modifi´ees, et l’effet est tr`es important. La distribution dans le pi`ege est modifi´ee, et nous avons dit que c’est n´egligeable. Les corr´elations peuvent ˆetre modifi´ees lors de l’expansion, et c’est vraisemblablement n´egligeable. Enfin, l’expansion peut se passer de sorte que le lien entre les corr´elations vues sur le d´etecteur et celles dans le pi`ege est modifi´e. Une mesure in situ devrait donc ˆetre sensible au changement. Pour une mesure apr`es temps de vol long comme dans notre cas, la conclusion est plus d´elicate.

L’effet de groupement est donc ´enorm´ement modifi´e. Du fait que le changement est non-perturbatif (un passage `a z´ero !), la modification s’´etend largement au-del`a de la longueur caract´eristique a. C’est encore sensible pour des distances un ordre de grandeur plus ´elev´e que a, ce que l’on constate sur la figure 2.14. Plus la temp´erature augmente, plus le rapport a/λT augmente17, et donc plus la correction est importante. Ceci peut

se comprendre par le fait que la zone de coh´erence diminue, et devient donc de plus en plus proche du volume d’exclusion impos´e par les interactions. Dans notre cas, la correction devrait ˆetre visible lorsqu’on regarde l’auto-corr´elation en position.

Mais ce que nous regardons correspond `a la fonction d’auto-corr´elation en impul- sion, comme nous l’avons d´ej`a discut´e (voir 2.2.2.3). On peut croire que le changement amen´e par les interactions est perturbatif sur l’expansion du nuage. Dans ce cas, il y a encore une transform´ee de Fourier entre l’expression 2.17 et le signal observ´e, ou du moins prendre une transform´ee du Fourier ne doit pas ˆetre trop faux. On suppo- sera donc que G(2) en impulsion est la transform´ee de Fourier de G(2) en position : G(2)_imp(~p, ~p0) = gG(2)pos(~p, ~p0). Dans ce cas, comme la modification due aux interactions mo-

difie les corr´elations aux courtes distances (r < a), en impulsion cela affecte les grandes

17_{Tout est exprim´e en unit´es de λ}

T, et l’expression 2.17 est obtenue en d´eveloppant par rapport `a ce

impulsions (p > h/a). Donc on ne doit pas retrouver de signature visible de cet effet des interactions sur notre signal. En tout cas, s’il y a un effet, il peut venir de l’expan- sion, mais on n’aura pas d’effet non-perturbatif comme celui observ´e en position. On ne s’attend pas `a voir une chute `a z´ero du signal.

Pour d´eterminer l’influence exacte des interactions, faute de calcul applicable `a notre cas, il faut s’en remettre `a l’exp´erience. Celle-ci doit permettre de trancher si l’expansion se fait encore suivant les lois d’´echelle d´etermin´ees plus haut, ce qui devrait conduire `a observer le mˆeme effet que sur la figure 2.1418, ou si au contraire on conserve approximativement la relation de transform´ee de Fourier, ce qui conduit au r´esultat contraire. En conclusion, on verra en se reportant `a la r´ef´erence [55] que l’effet n’a pas ´et´e vu, alors que comme l’atteste la r´ef´erence [56] les interactions ont bien le rˆole qu’on attend sur l’auto-corr´elation en position. On serait donc tent´e de croire `a la deuxi`eme possibilit´e (transform´ee de Fourier), mˆeme si cela reste `a approfondir.