Bruit

Le bruit est dˆu au comptage des atomes. C’est un bruit intrins`eque `a la mesure, pr´esent mˆeme pour un d´etecteur id´eal du simple fait que le flux d’atomes est lui-mˆeme

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 G(2) r/l_T

Fig. 2.15 – Allure attendue pour la fonction d’auto-corr´elation non-normalis´ee G(2) (pour un nuage thermique). C’est la somme de deux gaussiennes.

al´eatoire. Pour autant, il n’est pas ind´ependant du d´etecteur. D’abord, la d´etectivit´e rentre en ligne de compte. Cependant, si l’on se place du point de vue du compteur, cela ne change presque rien : si le flux d’atomes est poissonnien et que la d´etectivit´e est rigoureusement constante (ind´ependante du flux notamment), le flux d’atomes d´etect´e est lui aussi poissonnien. On peut donc absorber la d´etectivit´e dans la red´efinition du flux. Par contre, le d´etecteur intervient de fa¸con cruciale via sa r´esolution. On peut s’en persuader en faisant le raisonnement simple suivant. Supposons N particules arrivant de fa¸con homog`ene sur n d´etecteurs. Il y a N/n particules par d´etecteur. Si je compte le nombre de particules, ou que j’ai un signal proportionnel `a ce nombre de particules, je dois sommer les signaux des diff´erents d´etecteurs, et j’ai donc N/n ∗ n = N particules, ind´ependamment du nombre n de d´etecteurs. Mais si mon signal est proportionnel au carr´e du nombre de particules, alors je dois faire (N/n)2 ∗ n = N2_{/n : plus j’ai de}

d´etecteurs, moins j’ai de signal `a la fin. La non-lin´earit´e du signal vis-`a-vis du nombre N de particules fait apparaˆıtre la caract´eristique n du d´etecteur dans le r´esultat de la mesure. Or, les corr´elations sont pr´ecis´ement un signal en N2 : on a donc int´erˆet, du point de vue du bruit, `a avoir peu de d´etecteurs, c’est-`a-dire un pixel aussi ´etendu que possible. Ceci est bien sˆur contradictoire avec l’exigence que l’on a concernant l’amplitude du signal : avoir la meilleure r´esolution possible, que l’on d´etaillera au paragraphe 2.3.1.2. On comparera les deux au paragraphe 2.3.1.3.

Nous allons calculer le bruit sur notre mesure en prenant en compte l’´echantillon- nage du d´etecteur ainsi que l’´echantillonnage final qui consiste `a afficher la fonction de corr´elation sous forme d’un histogramme f (τ ). Le syst`eme de d´etection consiste en effet en un enregistrement de tous les temps d’arriv´ee, pour chaque pixel. On calcule ensuite toutes les diff´erences de temps τ en deux arriv´ees de particule, puis on les range dans le canal correspondant de l’histogramme. La forme f de l’histogramme sera celle de la courbe trac´ee sur la figure 2.15. τ , le temps entre deux d´etections de particules, joue le rˆole de la variable r/λT sur cette figure.

Mesure

d’atomes tombe sur le d´etecteur. Le flux est d´etermin´e par la forme initiale du nuage d’atomes dans le pi`ege puis sa chute. Le d´etecteur a une probabilit´e η de d´etecter une particule incidente (un atome). Il code la position horizontale et le temps d’arriv´ee en ´

echantillonnant avec un pas temporel p, qui pour la position se traduit par une taille de pixel a. On s’int´eresse ensuite aux corr´elations qui surviennent dans un seul pixel au cours du temps. Si on a d´etect´e Ndatomes dans ce pixel au cours du temps, lors d’une

seule et mˆeme mesure, on obtient Nd(Nd− 1)/2 points pour la fonction de corr´elation,

qui sont autant de points `a ranger dans l’histogramme final f (τ ). Cet histogramme a des canaux tous de mˆeme extension temporelle b.

Notations

On note encore :

– ∆ la taille caract´eristique de l’extension du nuage d’atomes : ∆t, ∆⊥ et ∆// selon

les diff´erentes directions19,

– σ la taille caract´eristique de la coh´erence : σt, σ⊥et σ// selon les diff´erentes direc-

tions,

– Nc le nombre total de points `a placer sur la courbe de la fonction de corr´elation,

– N = ηNat le nombre total de coups sur le d´etecteur (η est l’efficacit´e).

Nombre d’atomes dans un pixel

Le nombre total d’atomes dans le pi`ege est Nat. S’il n’y a pas de pertes le temps de la

chute, c’est donc aussi le nombre total d’atomes qui tombent sur le d´etecteur. La densit´e surfacique des atomes sur le d´etecteur est e

− r2 2∆2

(√2π∆)2 `a un instant donn´e

20_{. La forme selon}

l’axe vertical - le temps - ne nous int´eressera que plus loin : on ne veut pour l’instant que le nombre de coups sur chaque pixel. Cette forme pour la densit´e surfacique s’obtient en supposant que sitˆot le pi`ege coup´e les atomes tombent sous l’effet de la gravit´e (axe vertical) et que le nuage explose sous l’effet de sa distribution de vitesse. C’est le calcul qui a ´et´e fait plus haut (voir 2.2.2). Si la distribution de vitesses n’est pas modifi´ee par la coupure du pi`ege, alors elle est gaussienne d’´ecart-type vT =

q

kBT

m . Dans le

plan horizontal, les atomes sont en vol libre, donc sur chacune des deux directions la distribution est gaussienne de largeur ∆ = vTt0 o`u t0 est le temps de vol. Ceci

suppose que la largeur du temps de vol est petite devant le temps moyen t0. t0 ≈ 308

ms et la largeur du temps de vol vaut environ 30 ms, ce qui repr´esente 10 % de t0 :

l’approximation est possible.

On suppose ensuite que la discr´etisation introduite par les pixels est n´egligeable : a  ∆. Chaque pixel ayant une aire a2_{, il re¸coit donc une proportion} a

∆

2 e− r

2 2∆2

2π du

nombre total d’atomes. Donc en moyenne le nombre de coups dans un pixel localis´e en ~r est Nd= ηNat a ∆ 2 e− r2 2∆2 2π .

On a suppos´e d´etermin´e le nombre d’atomes incidents et η constant, ce qui donne une loi poissonnienne pour Nd, de moyenne ηNre¸cu. Ceci donne aussi un nombre de coups

19_∆

tpour le temps, c’est-`a-dire la direction (verticale) de la chute des atomes, et les deux autres dans

le plan (horizontal) du d´etecteur : ∆⊥pour la direction perpendiculaire `a l’axe du pi`ege, et ∆//dans

l’axe du pi`ege.

20

total N = ηNat.

On a suppos´e ici qu’il n’y a pas de corr´elation dans l’arriv´ee des atomes. Ceci n’est pas contradictoire avec la mesure que nous r´ealisons. En effet, le signal que nous cherchons `a observer est petit en proportion du «fond» : quelques pour-cent. Donc pour l’essentiel les atomes ne sont pas corr´el´es. La corr´elation n’est qu’une correction, que nous supposons perturbative (voir figure 2.15).

Nombre de points amen´es par un pixel

S’il y a Nd coups dans un pixel, on peut former Np = Nd(N₂d−1) paires. En moyenne,

Ndsuivant une loi poissonnienne, on a Np= Nd

2 2 , soit Np= 1 2N 2a ∆ 4 e− r2 ∆2 (2π)2

pour le nombre total de points amen´es `a la courbe par un pixel localis´e en ~r.

Nombre de points total

Il convient de sommer `a pr´esent sur tous les pixels pour obtenir le nombre total de points Nc. Les pixels ´etant infiniment petits, cela revient donc `a faire l’int´egrale sur ~r `a

deux dimensions, en utilisant un ´el´ement infinit´esimal d~_ar. Ceci donne :

Nc= 1 8πN 2a ∆ 2 .

Histogramme de corr´elation

Il faut maintenant ranger tous ces points dans un histogramme de taille de canal b. On reste au mˆeme niveau d’approximation que pr´ec´edemment en supposant que la forme g´en´erale sera celle obtenue pour des atomes non-corr´el´es, c’est-`a-dire le carr´e de la densit´e. En supposant encore que la largeur du temps de vol est petite devant t0,

la densit´e sur l’axe vertical est : ρ(t) = e

− t2 2∆2_t

√

2π∆t. La r´esolution temporelle du d´etecteur

est excellente `a l’´echelle de d´etail o`u l’on se place : elle est de 400 ps alors qu’on ne s’int´eressera pas `a des temps inf´erieurs `a la dizaine de microsecondes. La discr´etisation induite par le d´etecteur est donc n´egligeable : le flux d’atomes par pixel peut ˆetre consid´er´e comme poissonnien, et le flux des coups est lui aussi de la forme ρ(t).

Le profil cherch´e est ρ(t)ρ(t0) int´egr´e sur le temps moyen T = t+t₂0, ce qui donne donc e −  τ 2∆t 2 2√π∆t avec τ = t − t

0_{. L’aire de ce profil a ´et´e normalis´ee `a 1, donc pour obtenir}

l’histogramme f (τ ) il suffit de multiplier par Nc.

f (τ ) = 1 16π3/2N 2a ∆ 2 e−  τ 2∆t 2 ∆t (2.24)

Maintenant que nous avons d´etermin´e la forme de l’histogramme, nous pouvons en d´eduire le bruit de comptage. Nous pouvons passer `a la d´etermination de l’amplitude du signal, compte tenu de la r´esolution du d´etecteur.