L’auto-corr´ elation apr` es expansion

La mesure de la fonction d’auto-corr´elation que nous proposons a lieu apr`es temps de vol (voir 2.1.3). Or, nous venons de mener le calcul sur un nuage en ´equilibre ther- modynamique dans le pi`ege. Il faut y ajouter l’effet de l’expansion. Celle-ci consiste `a supprimer le pi´egeage en un temps suppos´e infiniment court (quelques microsecondes en r´ealit´e) puis `a laisser ´evoluer librement dans le champ de gravit´e. La propagation des atomes peut ˆetre approch´ee tr`es simplement `a partir d’une analogie avec l’optique, par laquelle nous allons commencer. Vient ensuite un calcul plus explicite. Un article th´eorique `a venir ´etudiera cet aspect plus en d´etail[57].

Dans presque toute cette partie on se placera dans le cas d’un gaz parfait. C’est d’ailleurs ce qui explique grandement la pertinence de l’analogie avec l’optique. Les pho- tons, eux non plus, n’interagissent pas directement entre eux. Des atomes (bosoniques), assez froids pour que leur coh´erence soit sensible, et dont on n´eglige la longueur de dif- fusion, ressemblent donc beaucoup `a des photons. Les atomes sont cependant massifs, mais on verra plus loin que cela n’a pas une grande influence dans ce cas pr´ecis. Les atomes d’h´elium m´etastable ne sont pas non plus un gaz parfait, mais on abordera ceci dans la partie suivante.

2.2.2.1 Analogie avec l’optique

L’analogie avec l’optique consiste ici `a consid´erer le pi`ege comme une source de bosons (ici les atomes) qu’on regarde en champ lointain. Cette source est impulsionnelle car on ´emet un seul paquet d’atomes. On consid`ere ensuite que le pi`ege agit comme le feraient une lentille ou un diaphragme, en posant des contraintes sur la distribution de vitesse. Quand on regarde en champ lointain, c’est cette distribution de vitesse que l’on observe. C’est exprim´e de fa¸con concise en disant que la distribution d’amplitude en champ lointain est reli´ee `a la transform´ee de Fourier de la distribution d’amplitude dans le pi`ege.

Ce raisonnement est valable pour la densit´e des atomes. Pour la fonction d’auto- corr´elation, on dira plutˆot que c’est la transform´ee de Fourier de spectre du puissance de la source. Pour nous, l’id´ee reste la mˆeme : la mesure sur le d´etecteur est sensible aux propri´et´es de la transform´ee de Fourier de la source. Comme on est en champ lointain, la distribution de position initiale n’a plus d’influence, seule compte la distribution en vitesse. Un atome est d´etect´e en ~r = ~r0+ ~v0t ≈ ~v0t. Ceci fait abstraction de la gravit´e,

mais c’est naturel quand on fait l’analogie avec l’optique car les photons ne sont pas massifs. Le vol des atomes est donc libre : `a tout instant ~v = ~v0 = ~p0/m.

g(2)_mesur´e(~r, ~r0) = g(2)_mesur´e(p~0t m ,

~ p00t

m ) .

A un facteur de dilatation pr`es, on mesure donc l’auto-corr´elation en impulsion de la source, et non l’auto-corr´elation en position. Il reste donc `a relier g(2)_{(~p, ~p}0_{) et}

g(2)(~r, ~r0). On peut refaire le calcul du 2.2.1 en raisonnant sur la variable impulsion. Le rˆole du terme cin´etique et du terme de pi´egeage sont ´echang´es. Dans le cas du potentiel harmonique, cela ne change rien. Quitte `a faire un raisonnement « avec les mains », continuons : on peut trouver le r´esultat tr`es simplement. Le pi`ege sur lequel nous raisonnons est harmonique. Une propri´et´e de ce pi`ege est que position et impulsion ont des rˆoles identiques. Les deux sont interchangeables, `a un facteur mω pr`es. Donc la distribution en impulsion est la mˆeme que celle en position `a ce facteur d’´echelle pr`es.

Comme c’est cette distribution qui d´etermine la fonction d’auto-corr´elation, le tour est jou´e. On doit remplacer ~p par mω~r. Donc

g(2)_mesur´e(~r, ~r0) = g_mesur´(2) _e( ~r0ωt, ~r00ωt)

de sorte qu’on peut consid´erer qu’on mesure bien la fonction d’auto-corr´elation en po- sition, mais prise en un point fictif ~rωt, dilat´e de ωt par rapport au point dans le pi`ege. On peut essayer de retrouver le r´esultat `a travers les lignes de calcul suivantes, similaires aux calculs du 2.2.1 :

g G(2)_{( ~p} 1, ~p2) = Z Z e−ip1·~~~re−i ~ p2·~r 0 ~ G(2)(~r, ~r0)d~rd~r0 g G(2)_{( ~P , ~p) =} Z Z ei~r+~~r 0· ~Pei ~r−~r 0 2~ ·~pG(2)(~r, ~r0)d~rd~r0 g G(2)_{(~p) =} Z g G(2)_{( ~P , ~p)d ~P = ~}3 Z e−i~p·~~rG(2)(~r, −~r)d~r .

Il faut ensuite utiliser G(2)(~r, −~r) = e2βµ λT6  e−2βV (~r)+ e−8π~r2/λT2  = e2βµ λT6  e−βmω2~r2+ e−8π~r2/λT2  . La transform´ee de Fourier donne alors imm´ediatement

g G(2)_{(~p) ∝} e 2βµ λT6  e− π2 βmω2( ~ p h) 2 + e−π8λT 2₍p~ h) 2 .

Avec ~p = 2m~r/t, on conclut donc12

G(2)_mesur´e(~r) = G(2)_source(m~r/t) = e 2βµ λT6  e−2π  ~ r λTωt 2 + e−12βV ( r 2ωt)  ≈ e 2βµ λT6  1 + e−2π  ~ r λTωt 2 .

Dans le cas d’un gaz parfait, notre syst`eme mesure donc bien l’auto-corr´elation en position, mais `a travers une loupe dont le facteur de grossissement est simplement le param`etre du temps de vol λ = ωt. L’imagerie est parfaite, d´etermin´ee par le seul temps de vol. La seule chose `a corriger ´eventuellement est la gravit´e, on le verra plus loin.

Le calcul, tel qu’on vient de le pr´esenter, n’est cependant le mˆeme que le raison- nement que l’on a fait sur l’´equivalence entre les variables position et impulsion dans un pi`ege harmonique. Le premier raisonnement est exact, tant que l’on consid`ere un gaz parfait. Le second fait une supposition non triviale, qui transparaˆıt `a travers les notations retenues13 : on a assimil´e G(2)<sub>impulsion</sub>(~p, ~p0) `a G^(2)_position(~p, ~p0). Cette relation de transform´ee de Fourier n’est pas ´evidente. Elle est exacte pour G(1); on suppose qu’elle l’est pour G(2). Elle correspond aussi `a ce que nous sugg`ere l’analogie avec l’optique que nous avons faite. Cette analogie impliquerait que P (~p, ~p0) et eP (~p, ~p0) sont ´egales14_{. Dans}

ce cas, moyennant l’approximation qu’on n´eglige une fois de plus les termes d’ordre (1/N ) par rapport `a G(2), on retrouve en effet l’´egalit´e voulue. Mais, rigoureusement, je ne l’ai pas montr´e.

12

Notons au passage qu’avec ~p = 2mω~r, on retrouverait l’expression de d´epart, ce qui montre l’asser- tion pr´ec´edente : que ~r et ~p ont le mˆeme rˆole `a un facteur d’´echelle pr`es (mω).

13

On note G(2)_impulsion(~p, ~p0) l’auto-corr´elation en ~p et ~p0, etG^(2)_position(~p, ~p0) la transform´ee de Fourier de l’auto-corr´elation en ~r et ~r0

14_{voir le 2.2.1.1 pour la notation P . P (~p, ~p}0

) est la probabilit´e de mesurer ~p et ~p0. eP (~p, ~p0) est la transform´ee de Fourier de la probabilit´e de mesurer ~r et ~r0

2.2.2.2 Calcul de la dilatation

Nous pouvons donner au calcul pr´ec´edent une base plus solide en examinant l’expan- sion du nuage. Cela donne un calcul plus rigoureux (et plus juste) du facteur d’´echelle λ. Grˆace aux r´ef´erences [32] et [33], on connaˆıt l’´evolution de Ψ(~r, t) dans certains cas. On va utiliser la r´ef´erence [33] pour exposer le calcul. La r´ef´erence [32], qui ´etudie de fa¸con plus g´en´erale les changements d’´echelle, nous servira `a ´etudier dans quels cas le calcul peut s’appliquer. Le calcul d´ecrit ci-dessous est fait dans le cas d’un condensat dans l’approximation de Thomas-Fermi. Nous n’avons pas encore parl´e d’interactions jusqu’`a pr´esent. Nous verrons au 2.2.3 ce qu’elles changent pour les corr´elations dans le pi`ege. Pour l’expansion, nous allons tout de suite nous placer dans le cas d’un gaz avec interactions.

L’id´ee du calcul dans la r´ef´erence [33] est de consid´erer que l’essentiel de l’´evolution est identique `a celle d’un gaz classique. Si on fait abstraction de la gravit´e, l’expansion du nuage se ram`ene donc `a une dilatation. La r´ef´erence [33] valide cette hypoth`ese, et en d´eduit la formule qui donne le facteur de dilatation dans chaque direction, dans le cas d’un pi`ege de grand rapport d’anisotropie, pour un condensat dans l’approximation de Thomas-Fermi. On discutera des interactions au 2.2.3. L’hypoth`ese sur le rapport d’anisotropie qui est faite dans l’article (grand rapport d’anisotropie) est valable pour notre configuration, car notre rapport d’anisotropie est d’environ 25, ce qui est grand. La r´ef´erence [32] donne le facteur d’´echelle dans d’autres cas (gaz bi-dimensionnel, gaz parfait).

Concernant le changement d’´echelle, on peut faire le raisonnement suivant : `a une dimension on doit changer x en x/λx, donc `a trois dimensions on change ~r = (x, y, z)

en (x/λx, y/λy, z/λz). De plus la fonction d’onde est normalis´ee `a 1/

√

V o`u V est un volume. Donc on trouve :

Φ(~r, t) = eiα(~r,t) 1 pλxλyλz Φ( x λx , y λy , z λz , 0) . (2.11)

L’article en d´eduit ensuite (c’est l`a qu’on suppose avoir un condensat), apr`es injection dans l’´equation de Gross-Pitaevskii,

λx,y(τ ) = p 1 + τ2 _(2.12) λz(τ ) = 1 + ε2 h τ arctan(τ ) − lnp1 + τ2i_{+ O(ε}4_{) (2.13)}

avec ε l’inverse du rapport d’anisotropie initial, consid´er´e comme un infiniment petit par rapport auquel on d´eveloppe `a l’ordre 2, et avec τ un temps r´eduit `a l’´echelle de variation rapide : τ = ωz(0)t. z est donc l’axe long du condensat, c’est l’axe du champ

magn´etique de biais.

La difficult´e est d’obtenir ces formules d’´evolution du facteur d’´echelle. On n’en a pas d’expression analytique dans tous les cas [32]. Une fois connues, ces expressions permettent trivialement de d´eterminer la densit´e et les corr´elations cherch´ees, dans la mesure o`u on les connaˆıt `a l’instant initial, ce qui est notre cas. La phase globale α(~r, t) d´epend du point de calcul, mais elle se simplifie dans le cas d’une expression du type h ˆΨ†(~r, t) ˆΨ(~r, t)i . Il reste h ˆΨ†(~r, t) ˆΨ(~r, t)i =_λ 1 xλyλz h ˆΨ †_{(~r/~λ, 0) ˆΨ(~r/~λ, 0)i} h ˆΨ†(~r, t) ˆΨ†(~r0, t) ˆΨ(~r0, t) ˆΨ(~r, t)i =_(λ 1 xλyλz)2 h ˆΨ †_{(~r/~λ, 0) ˆΨ}†_(~r0_{/~λ, 0) ˆΨ(~r}0_{/~λ, 0) ˆΨ(~r/~λ, 0)i}

donc G(1)(~r, t) = 1 λx(t)λy(t)λz(t) G(1)(~r/~λ(t), 0) G(2)(~r, t) =  1 λx(t)λy(t)λz(t) 2 G(2)(~r/~λ(t), 0) et finalement g(2)(~r, t) = g(2)(~r/~λ(t), 0) . (2.14) Dans ces formules, on a not´e ~r/ ~λ(t) = (x/λx(t), y/λy(t), z/λz(t)) pour all´eger les ex-

pressions.

Ce calcul contient deux r´esultats. Le premier est qu’il est possible d’utiliser un changement d’´echelle, c’est-`a-dire qu’il valide l’expression 2.11, ce qui permet ensuite d’en d´eduire le r´esultat 2.14. Le second est la formule donnant la valeur du facteur d’´echelle, c’est-`a-dire les expressions 2.12 et 2.13. Nous avons besoin des deux pour en d´eduire g(2)_{(~r) de fa¸con explicite.}

La r´ef´erence [32] s´epare mieux les deux questions. Il ressort de l’´etude men´ee dans cet article que l’approche par changement d’´echelle est valide dans plusieurs cas (on se place toujours dans le cadre de l’´equation de Gross-Pitaevskii). Lorsque le gaz est bi-dimensionnel ou lorsque qu’il est parfait (sans interaction), l’expansion du gaz peut ˆ

etre trait´ee de cette mani`ere quelle que soit la temp´erature. On trouve alors comme facteur d’´echelle l’expression 2.15.

λ(τ ) =p1 + τ2 _(2.15)

Le r´esultat est obtenu pour un gaz isotrope. Lorsque le gaz est tri-dimensionnel et qu’il y a des interactions, on peut encore utiliser cette approche si l’on se place dans l’approximation de Thomas-Fermi (l’´energie d’interaction domine l’´energie cin´etique). Seulement, le facteur d’´echelle est diff´erent, et son expression est plus difficile `a trouver. La solution n’est pas donn´ee. C’est ce cas qui est abord´e dans la r´ef´erence [33], en supposant le pi`ege tr`es anisotrope. Le r´esultat a ´et´e donn´e plus haut. Il a ´et´e obtenu pour un condensat, le cas du gaz thermique reste en suspens15.

En r´esum´e, en compl´ement de l’expression 2.14, on retiendra l’expression 2.15 pour un gaz parfait isotrope, et les expressions 2.12 et 2.13 pour le condensat pur avec in- teractions. Le calcul des corr´elations que nous avons fait se place dans le cadre du gaz parfait donc, par coh´erence, on devrait utiliser la premi`ere expression pour d´eterminer l’expansion. Cependant, nous savons que nous sommes plutˆot dans le cadre de l’ap- proximation de Thomas-Fermi, et la r´ef´erence [32] justifie que l’approximation est de mieux en mieux v´erifi´ee au cours de l’expansion. Donc pour un condensat on utilisera plutˆot les deux autres expressions. Pour un gaz thermique, nous ne pouvons qu’esp´erer que la formule 2.15 tient toujours, dans chacune des trois directions.

2.2.2.3 Position ou impulsion ?

Les deux approches pr´ec´edentes semblent presque contradictoires. L’analogie avec l’optique proclame qu’on mesure l’auto-corr´elation en impulsion et non en position.

15

Les ´equations (6), (7) et (14) de la r´ef´erence [32] laissent penser que le facteur d’´echelle est le mˆeme pour un gaz thermique. N´eanmoins, il reste `a refaire le calcul dans l’esprit de la r´ef´erence [33] pour s’assurer que c’est bien le cas.

Il faut utiliser les propri´et´es du pi`ege pour se convaincre qu’on mesure aussi l’auto- corr´elation en position. Le calcul de l’expansion nous dit directement qu’on mesure bien l’auto-corr´elation en position, moyennant un changement d’´echelle de facteur λ. Les deux approches ne sont donc pas ´equivalentes.

Le calcul de l’expansion qu’on vient de mener paraˆıt plus convainquant car la formule finale r´esulte d’un calcul analytique tr`es solide. La premi`ere approche a un d´efaut : l’invocation des propri´et´es du pi`ege pour passer de g(2)(~p, ~p0) `a g(2)(~r, ~r0) semble un « truc » tr`es li´e `a la forme particuli`ere du pi`ege employ´e. Pour autant la seconde approche ne vaut pas mieux que l’approche « avec les mains ». Car la forme du pi`ege est utilis´ee aussi. Elle est simplement cach´ee dans les ´equations qu’on cherche `a rendre invariantes par changement d’´echelle : voir ´equations (1) `a (3) dans la r´ef´erence [32], ou (3) dans la r´ef´erence [33]16.

Le calcul fait selon l’analogie optique, pour tout rapide qu’il soit, est donc plus facilement g´en´eralisable. Si l’on peut se ramener `a l’auto-corr´elation en position, c’est grˆace `a une sorte de miracle qui fait que l’approche par un changement d’´echelle est pertinente. Si d’aventure on voulait inclure d’autres effets, il y a fort `a parier que ce traitement ne serait plus possible et qu’il faudrait alors revenir `a l’auto-corr´elation en impulsion. Cela dit, dans la mesure o`u le calcul prend d´ej`a en compte les interactions, qui sont faibles lors de l’expansion car la densit´e est tr`es vite tr`es faible, il y a toute raison de croire que l’approche par changement d’´echelle contient vraiment l’essentiel de la physique de l’expansion du nuage (pour peu qu’on ne s’int´eresse pas aux fluctuations). On restera donc sur la formule 2.14.

2.2.2.4 L’influence de la gravit´e

Le calcul de la r´ef´erence [33], qui nous permet d’aboutir `a l’expression 2.14, ne tient pas compte de la gravit´e. Or, on s’int´eresse `a des temps de vol long (τ  1). La gravit´e devrait donc intervenir. On quitte ici ce qui est accessible `a l’analogie avec l’optique. La gravit´e est loin d’ˆetre n´egligeable : on voit son effet sur les images d’absorption. Pourtant on la passe en g´en´eral sous silence. Implicitement, on suppose donc que le mouvement global est s´eparable en deux mouvements distincts (sans influence l’un sur l’autre) : la chute et la dilatation. Le r´esultat final est alors 2.14 `a une translation pr`es. On utilise la transformation 2.16, une simple translation.

~r y ~r + 1 2~gt

2 _(2.16)

Cette approche est un peu na¨ıve, car rien ne dit que la gravit´e n’intervient pas de fa¸con non triviale dans le ph´enom`ene d’interf´erence. On pourra se reporter `a la r´ef´erence [57] pour une approche plus rigoureuse. La gravit´e y est incluse d`es le d´ebut du calcul. Le r´esultat final corrobore le r´esultat de l’approche na¨ıve, en le d´emontrant. Il semble toutefois que ce mode de calcul simple (une translation !) ne soit plus valable lorsque l’on quitte le domaine de l’approximation de champ lointain. Dans la zone de champ proche (courts temps de vol), la gravit´e est n´egligeable. Mais dans le r´egime interm´ediaire, la phase accumul´ee par les atomes en chute libre ne se ram`ene plus `a une translation. Heureusement, nous sommes dans une configuration o`u les temps de vol sont tr`es longs. Le param`etre τ vaut plus de 2000 au niveau du d´etecteur. Nous nous contenterons donc ici de la transformation habituelle, la translation 2.16.

16_{Le traitement semble fait en toute g´en´eralit´e pour un potentiel quelconque, mais `a partir de l’´equa-}