l-coloration k-impropre distincte du réseau triangulaire.

INSTANCE : un sous graphe induitF du réseau triangulaire T et une assignation de poids ω pourF .

QUESTION : existe-t-il unel-coloration k-impropre distincte de (F, ω) ?

Notons qu’il est inutile de considérer des assignations de poids dont l’un des poids est su- périeur àl, puisqu’un tel graphe pondéré sera nécessairement non colorable. D’un point de vue

pratique, ce problème fait sens lorsque les sommets représentent des antennes de transmission : il risque effectivement de se produire des conflits si une antenne tente de propager deux mes- sages différents sur la même fréquence. Nous considérons à nouveau le cas oùl vaut trois. Si k est nul, le problème est clairementN P-complet d’après le théorème 21, et le lecteur peut

également se reporter à [MR00]. Si k est au moins 6, alors comme le réseau triangulaire T

est6-régulier, le problème devient trivial. Nous allons à présent prouver que le problème reste

intractable tant quek est inférieur à 6.

Théorème 22. Pour toutk_{∈ {0, 1, . . . , 5}, le problème de la 3-coloration k-impropre distincte} du réseau triangulaire est_{N P-complet.}

Démonstration. Voyons d’abord l’idée générale que nous allons suivre. Une fois encore, le

problème réduit est celui de la3-coloration (propre) des graphes planaires de degré maximum

quatre. Étant donné un graphe planaire G de degré maximum quatre, nous allons construire

un sous-graphe induit pondéré (F, ω) de T de sorte que G soit 3-colorable si, et seulement

si,(F, ω) est distinctement et k-improprement 3-colorable. Pour chaque sommet v de G, nous

ajoutons une copie Hk

v d’un sous-graphe induit Hk deT . L’une des propriétés du graphe Hk

sera d’avoir quatre points de contacts (qui sont des sommets distingués des autres). Ensuite, pour chaque arête e = uv de G, l’un des points de contact de Hk

u sera relié à l’un des points

de contact de Hk

correspondants sont appelés les sommets terminaux dePk

e. Nous prendrons garde à assurer les

propriétés suivantes pour le graphe obtenu, et le poids correspondant :

– la construction obtenue est un sous-graphe induit du réseau triangulaireT ; en particulier

tous les Pk

e sont sommet-disjoints, et le graphe Hk peut être plongé comme un sous-

graphe induit deT de sorte qu’au moins quatre plongements de Pk_{puissent partir de ses}

points de contact ;

– toute 3-coloration k-impropre distincte de Hk _{attribue un même ensemble de couleurs}

aux points de contacts ; et

– toute 3-coloration k-impropre distincte de Pk _{attribue des ensembles de couleurs diffé-}

rents (non nécessairement disjoints) aux deux sommets terminaux.

Commençons par indiquer le poids des points de contact. En raison de la nature de nos constructions, le cas oùk vaut deux nécessite une définition à part. Tous les points de contact

deH2 _{(et donc les sommets terminaux deP}2_{) ont un poids égal à un. La couleur d’un sommet}

v de G correspondra à la couleur donnée aux points de contact de H2

v. Pour les autres valeurs

de k, les points de contact de Hk _{ont un poids égal à deux, et à la couleur d’un sommet v}

de G correspondra l’ensemble complémentaire pour les points de contact de Hk_{. Ainsi, si le}

sommetv est coloré par la couleur 1, les points de contact du sous-graphe Hk

v seront colorés

par l’ensemble_{{2, 3}. Décrivons à présent les constructions des graphes H}ketPk_.

Chacun des graphesPk_{est composé d’une concaténation de sous-graphesE}k_{, appelés for-}

ceurs et qui forcent leur sommets terminaux à avoir le même ensemble de couleur dans toute 3-coloration k-impropre distincte de Ek_{, ainsi que d’un sous-graphe R}k _{appelé inverseur et}

qui force ses sommets terminaux à recevoir des ensembles de couleurs différents dans toute

3-coloration k-impropre distincte de Rk_{. Généralement, le sous-graphe H}k _{sera une simple}

extension du forceur Ek_{. Voyons désormais précisément, pour chaquek ∈ {1, 2, . . . , 5}, les}

graphesEk_,Hk_etRk_.

Dans les figures qui suivent, un sommet est représenté par un triangle si son poids est égal à un, un disque si son poids vaut deux et un carré si son poids est trois. Les sommets entourés d’un cercle en pointillés sont les points de contact. L’unique3-coloration k-impropre distincte

(aux permutation de couleurs près) de certains forceurs est indiquée, et les exposants indiquent alors l’impropreté du sommet correspondant, respectivement à la couleur correspondante. Pour toute couleurc∈ {1, 2, 3}, la couleur complémentaire {1, 2, 3} \ {c} est notée ¯c.

1 ¯1 1 1 ¯1 ¯1 FIG. 3.23. Le forceurE1_.

Il n’est pas difficile de vérifier que tous les sommets de poids deux deE1 _{sont monochro-}

matiques dans toute 3-coloration k-impropre distincte. En outre, comme H1 _{est une simple}

concaténation de cinq forceursE1, tous les points de contact deH1doivent être monochroma- tiques, et ont impropreté 0 dans H1 _{respectivement à chacune de leurs deux couleurs. Toutes}

les propriétés annoncées sont ainsi respectées, et une12-subdivision du réseau triangulaire T

suffit à assurer le plongement de ces graphes en tant que sous-graphes induits deT .

Une première remarque est que les forceurs E2 _{peuvent être concaténés en ligne droite,}

aussi bien qu’en angles de120 degrés. Le graphe pondéré H2 _{possède une unique3-coloration}

3.2. Complexité 73

FIG. 3.24. Les sous-graphes induitsH1_{(à gauche) etR}1_.

10 ₁2

¯1

FIG. 3.25. Le forceurE2_.

FIG. 3.26. Les sous-graphes induitsH2_{(à gauche) etR}2_.

de poids deux la couleur complémentaire. De plus, les points de contact ont tous impropreté

0 dans H2_{. Comme les forceurs ont une longueur égale à deux et les inverseurs une longueur}

égale à quatre, une 4-subdivision de T suffit pour plonger ces graphes comme sous-graphes

induits deT .

FIG. 3.27. Le forceurE3.

FIG. 3.28. Les sous-graphes induitsH3_{(à gauche) etR}3_.

Toute3-coloration 3-impropre distincte de E3_{attribue un même ensemble de deux couleurs}

aux sommets terminaux, et tous deux ont impropreté nulle respectivement à l’une de leurs deux couleurs, et impropreté un respectivement à l’autre. Dans l’unique 3-coloration 3-impropre

respectivement à l’une de leurs deux couleurs, et impropreté un respectivement à l’autre. Les sommets terminaux de l’inverseur E3 _{ont impropreté un respectivement à l’une de leur deux}

couleurs, et deux respectivement à l’autre. En outre, il est possible de les concaténer en tournant, ce qui permet de créer les graphesP3_.

FIG. 3.29. Le forceurE4_.

FIG. 3.30. Les sous-graphes induitsH4_{(à gauche) etR}4_.

Toute 3-coloration 4-impropre et distincte du forceur E4 _{attribue un même ensemble de}

couleurs aux sommet terminaux, et tous deux ont impropreté un respectivement à une couleur et impropreté deux respectivement à l’autre. Le grapheH4_{est une extension du forceurE}4_{, et}

les sommets de contact doivent recevoir le même ensemble de couleurs. En outre, en supposant que les points de contact soient colorés par la couleur ¯3, il est possible de choisir pour chacun

d’avoir impropreté un respectivement à la couleur1 et impropreté deux respectivement à la cou-

leur2, ou bien l’inverse. Lorsqu’un inverseur R4 _{est concaténé à l’un des points de contact du}

grapheH4_{, le sommet terminal deR}4_{n’appartenant pas àH}4_{sera nécessairement coloré diffé-}

remment du point de contact, sinon le points de contact aurait impropreté cinq respectivement à l’une de ses deux couleurs (et quatre respectivement à l’autre).

FIG. 3.31. Tourner avec des forceurs lorsquek = 5.

3.3. Coloration impropre asymptotique des graphes d’intersection de disques unitaires 75

Toute3-coloration 5-impropre distincte du forceur E5 _{attribue un même ensemble de cou-}

leurs aux sommets terminaux, et tous deux ont impropreté trois respectivement à chacune des deux couleurs. La figure 3.31 montre comment il est possible de tourner en concaténant des forceurs. Les points de contact deH5 _{doivent être monochromatiques, et ont tous impropreté}

trois dansH5 _{respectivement à chacune de leurs deux couleurs. Remarquons qu’en plus d’un}

point de contact et d’un sommet terminal, deux autres sommet (de degré trois) de H5 _{et E}5

doivent être identifiés afin de pouvoir concaténer ces deux graphes. A chaque fois que l’inver- seur est utilisé, son sommet terminal le plus à gauche aura impropreté trois respectivement à ses deux couleurs dans le sous-graphe induit par la suppression des autres sommets de l’inver- seur. C’est pourquoi l’inverseur se comportera bien comme un inverseur, c’est-à-dire que les sommets terminaux seront colorés différemment. Ils auront en outre tous deux impropreté un respectivement à l’une de leurs deux couleurs, et impropreté deux respectivement à l’autre.

¤

3.3. Coloration impropre asymptotique des graphes d’inter-

section de disques unitaires

Les résultats des sections 3.3 et 3.4 ont été obtenus avec Ross J. Kang et Tobias Mül- ler [KMS05a, KMS06].

Cette section est dédiée à l’extension à la coloration impropre des résultats de McDiarmid et Reed obtenus dans [MR99] pour la coloration propre. Nous nous intéressons toujours à la coloration des graphes d’intersection de disques unitaires : étant donnés un ensemble V non

vide de points du plan et un réel r > 0, un “graphe de proximité”, ou un “graphe d’interfé- rence”, noté G(V, r), est formé en reliant deux sommets si, et seulement si, leur distance est

strictement inférieure à r. Comme mentionné précédemment, un champ d’application de la

coloration des graphes d’intersection de disques unitaires est la création de réseaux de récep- teurs pour les téléphones mobiles : il faut attribuer une fréquence (couleur) à chaque récepteur (point de l’ensembleV ) de sorte à éviter les interférences (voir [Mac78] ou bien [Hal80] où ce

problème est appelé frequency-distance constrained cochannel assignment problem). Si chaque récepteur peut tolérer un certain nombrek d’interférences, comme c’est le cas pour le problème

d’Alcatel, le problème revient à colorer k-improprement le graphe d’interférence obtenu. Re-

marquons que pour de grands réseaux de récepteurs, il est raisonnable de supposer que V est

grand, et que ses points sont “assez bien répartis”, donc que le comportement des paramètres étudiés sera proche de celui décrit ici.

Quand la distance r est faible, des petits changements de r ou de V peuvent induire de

grandes variations sur le nombre de couleurs nécessaires. C’est pourquoi McDiarmid et Reed ont étudié le problème (pour la coloration propre) lorsque V est infini et r → ∞, en espérant

que les résultats asymptotiques obtenus permettront une meilleure compréhension des cas finis, avec des valeurs des paramètres utiles en pratique [MR99]. Nous allons étendre cette étude à la coloration impropre. Les résultats seront d’abord donnés pour un ensembleV quelconque,

puis pour un ensemble V avec une distribution uniforme des points, et enfin pour le réseau

triangulaire et les réseaux en général.

Notons que les résultats obtenus ici pour le plan se généralisent naturellement aux dimen- sions supérieures.

3.3.1. Résultats

Définition 21. SoitV un ensemble dénombrable de points du plan. Pour tout x > 0, notons f (x) le supremum du rapport |V ∩S|_x2 pour tous les carrés ouvertsS de côté x, dont les côtés sont

parallèles aux axes. La densité supérieure de l’ensembleV , notée σ+_{(V ), est inf}

x>0f (x).

Le grapheG(V, r) est le graphe dont l’ensemble de sommets est V , et l’ensemble d’arêtes

est_{{xy : (x, y) ∈ V}2 et_{||x − y|| < r}.}

Théorème 23 (McDiarmid et Reed [MR99]). SoitV un ensemble dénombrable et non vide de

points du plan de densité supérieureσ.

(i) ω(G(V, r))/r2 _{≥ σπ/4 pour tout r > 0.}

(ii) χ(G(V, r))/r2 _{≥ σ}√_{3/2 pour tout r > 0.}

(iii) ∆(G(V, r))/r2 _{→ σπ lorsque r → ∞.}

(iv) ω(G(V, r))/r2 _{→ σπ/4 lorsque r → ∞.}

(v) χ(G(V, r))/r2 _{→ σ}√_{3/2 lorsque r→ ∞.}

Précisons que2√3/π≈ 1.103. Ce théorème se généralise comme suit.

Théorème 24. Soit V un ensemble dénombrable et non vide de points du plan de densité

supérieureσ. Posons γ := σ√3/2.

(i) ck(G(V, r))/r2 ≥ _k+1γ pour toutr > 0.

(ii) (k + 1)ck(G(V, r))/r2 → γ si k = o(r) lorsque r → ∞.

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