Soit n un entier naturel non nul Le nombre de choix circulaire de tout graphe de degré moyen maximum strictement inférieur à 2 +

3n−1 est au plus2 + 2 n.

Ces résultats sont prouvés à partir de propriétés structurelles des graphes “critiques” au re- gard du nombre de choix circulaire. Un grapheG est dit t-critique si cch(G) > t et cch(H)_{≤ t}

pour tout sous-graphe propreH _{⊂ G. Le lemme suivant sera utile pour prouver le théorème 36.}

Lemme 29. Soientk un entier naturel non nul, et s ∈ {1, 2}. Notons G un graphe (2k + α)- critique avecα_≥ 4

s+2.

(i) Le degré minimum deG est au moins k + 1.

(ii) Deux sommets deG de degré k + 1 ne sont pas adjacents.

(iii) Un sommet deG de degré k + 2 est adjacent à au plus s sommets de degré k + 1.

Démonstration. Commecch(G) > 2k+α, il existe ε > 0, deux entiers p, q et une (2k+α+ε)-

assignationL tels que G ne soit pas (p, q)-L-colorable. En revanche, tout sous-graphe propre H

deG est (p, q)-L-colorable puisque, par définition de G, cch(H)≤ 2k+α. Soit t := 2k+α+ε.

(i) Supposons quev soit un sommet de degré au plus k. Par minimalité de G, il est pos-

sible de(p, q)-L-colorer G_{− v. Afin d’appliquer le lemme 26(i), il suffit de considé-}

rer la coloration deG− v comme une pré-coloration, et ainsi, le nombre de couleurs

extensibles de v est au moins tq − k(2q − 1) = αq + εq + k ≥ 1. Ainsi, G est (p, q)-L-colorable, une contradiction.

(ii) Supposons quev1 etv2 soient deux sommets adjacents de degrék + 1. Considérons

une(p, q)-L-coloration de G−{v1, v2} comme une pré-coloration. De la même façon

que précédemment, le nombre de couleurs extensibles dev1est au moinstq− k(2q −

1) = αq + k + εq. En appliquant une nouvelle fois le lemme 26(i), il vient que le

nombre de couleurs extensibles dev2est au moinstq− k(2q − 1) − (2q − (αq + k +

εq)) = 2(α− 1)q + 2(k + εq) ≥ 1 car α ≥ 4

s+2 ≥ 1 et k ≥ 1, ce qui contredit la

t-criticalité de G.

(iii) Supposons quev soit un sommet de degré k + 2 avec s + 1 voisins v1, v2, . . . , vs+1

de degrék + 1. Considérons une (p, q)-L-coloration de G− {v1, . . . , vs+1, v}. Selon

l’item (ii), les sommetsv1, v2, . . . , vs+1sont deux-à-deux non adjacents, et il est donc

possible d’appliquer le lemme 26(i) à chacun de ces sommets individuellement. Le nombre de couleurs extensibles de vi, pour touti ∈ {1, 2, . . . , s + 1}, est au moins

tq_{−k(2q−1) = αq+k+εq. En appliquant à nouveau le lemme, le nombre de couleurs}

extensibles dev est au moins tq_{−(k +1−s)(2q −1)−(s+1)(2q −(αq +k +εq)) =} 2(α_{− 2)q + 2(k + εq) + 1 + s(αq − 1 + k + εq) = (α(s + 2) − 4)q + 2(k + εq) +} s(k + εq_{− 1) ≥ 1 puisque α ≥} 4

s+2 etk ≥ 1, ce qui contredit la t-criticalité de G.

¤

Le lemme suivant, qui est une conséquence directe du lemme 27, sera utilisé pour prouver le théorème 37.

Lemme 30. Soient n un entier naturel non nul, et G un graphe (2 + 2

n)-critique. Le degré

5.3. Graphes planaires et graphes de densité bornée 127

Démonstration. Clairement, G n’a pas de sommet de degré au plus un. Si G contient une

poignée d’ordre au moinsn, alors toute pré-coloration de G privé d’une telle poignée s’étend

(grâce au lemme 27) au graphe entier, ce qui contredit la(2 + 2

n)-criticalité de G. ¤

Les démonstrations des théorèmes 36 et 37 utilisent une méthode de déchargement sur les graphest-critiques, afin de borner inférieurement le degré moyen.

Démonstration du théorème 36. Supposons que G soit (2k + _s+24 )-critique. Alors, selon le

lemme 29, le degré minimum deG est au moins k + 1, deux sommets de degré k + 1 ne sont

pas adjacents et tout sommet de degrék + 2 est adjacent à au plus s sommets de degré k + 1.

Nous utilisons la procédure de déchargement suivante : la charge initiale de chaque sommet est égale à son degré. Ensuite, tout sommet degré au moins k + 2 donne η := _k+1+s1 à chacun de ses voisins de degrék + 1.

Montrons que la charge finale de tout sommetv est au moins k + 1 + (k + 1)η. Si le degré

dev est k + 1, alors sa charge finale est k + 1 + (k + 1)η puisque tous ses voisins lui ont donné η. Si le degré de v est k + 2, alors sa charge finale est au moins k + 2_{− sη = k + 1 + (k + 1)η}

puisqu’il possède au pluss voisins de degré k + 1. Enfin, si le degré de v est au moins k + 3,

alors sa charge finale est au moinsk + 3_{− (k + 3)η = k + 1 + (k + 2s − 1)η ≥ k + 1 + (k + 1)η}

cars ≥ 1.

Par conséquent, le degré moyen de G, et donc son degré moyen maximum, est au moins k + 1 + (k + 1)η. Ainsi, le degré moyen maximum de tout graphe de nombre de choix circulaire

strictement supérieur à2k + _s+24 est au moinsk + 1 + (k + 1)η, comme souhaité. ¤

Démonstration du théorème 37. Montrons que le degré moyen maximum de tout graphe de

nombre de choix circulaire strictement supérieur à 2 + 2_n est au moins 2 + _3n−12 . Il suffit de le prouver pour les graphes(2 + _n2)-critiques. Soit G un tel graphe. D’après le lemme 30, le

degré minimum deG est au moins deux, et G n’a pas de poignée d’ordre au moins n. Utilisons

à présent la procédure de déchargement suivante. Au départ, la charge de chaque sommet est égale à son degré. Ensuite, chaque sommet u de degré au moins trois donne η := 1

3n−1 à

chaque sommet de degré deux le long des poignées émanant deu. À la fin, la charge de chaque

sommet de degré deux est exactement 2 + 2η = 2 + 2

3n−1. Comme l’ordre de toute poignée

est au plus n− 1, la charge finale de chaque sommet de degré au moins trois est au moins 3_{− 3(n − 1)η = 2 +} 2

3n−1. Par conséquent, le degré moyen deG est au moins 2 + 2

3n−1, comme

désiré. _¤

5.3.4. Bornes supérieures pour les graphes de densité bornée et de maille donnée

L’un de nos objectifs est d’appliquer les résultats de la sous-section précédente aux graphes planaires dans la sous-section 5.3.5 (puisqu’il est possible de borner le degré moyen maximum de tels graphes en fonction de leur maille). Dans cette optique, il est possible d’obtenir des améliorations en tirant partie de la condition sur la maille. Nous établissons les trois théorèmes suivants dans cette sous-section. Les deux premiers améliorent le théorème 36 dans le cas où le graphe considéré est sans triangle (donc de maille au moins quatre) pour le théorème 38, et de maille au moins 6 pour le théorème 39. Le troisième améliore le résultat du théorème 37

lorsque la maille est au moins2n + 2 pour un entier naturel non nul n.

Théorème 38. Soient k un entier naturel non nul, et s _{≤ 2k + 2. Posons r :=} §s−2₂ ¨ et s′ _{:= min{k + 2, s}. Le nombre de choix circulaire de tout graphe sans triangle de degré}

moyen maximum strictement inférieur àk + 1 + _k+1+sk+1−r′ est au plus2k +

4 s+2.

Théorème 39. Soientk un entier naturel non nul et s∈ {2, 3, . . . , k + 2}. Posons r := §s−2 2

¨ . Le nombre de choix circulaire de tout graphe de maille au moins6 et de degré moyen maximum strictement inférieur àk + 1 + k+1−r

k+s−r+ 1 k+3−s

est au plus2k + 4 s+2.

Théorème 40. Fixons un entier naturel non nuln. Le nombre de choix circulaire de tout graphe