Coloration impropre des graphes d’intersection de disques unitaires
Définition 13. Un (k, l)-clone d’ordre m ≥ 2, noté C m
k,l, est constitué de7m−7 cliques de taille
k+1,CV1, CV2, . . . , CV7m−7, de7m−6 cliques de taille (l−1)(k+1), CC0, CC1, . . . , CC7m−7,
et dem cliques de taille k + 1 notées O0, O1, . . . , Om−1. Pour chaquei∈ {1, 2, . . . , 7m − 7},
tous les sommets de la clique CVi sont reliés à tous les sommets des cliques CCi−1 et CCi.
Pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , m − 1}, tous les sommets de Oi sont relié à tous les sommets de
CC7i. Les cliquesO0, O1, . . . , Om−1 sont appelées cliques-extrémités.
Un(k, l)-clone d’ordre trois est représenté par la figure 3.5.
O1 CC0 O0 CC8 CC9 CC10 CC11 CC12 CC13 CC14 O2 CC1 CC2 CC3 CC4 CC5 CC6 CC7 CV2 CV1 CV3 CV4 CV5 CV6 CV7 CV8 CV9 CV10 CV11 CV12 CV13 CV14 FIG. 3.5. Le(k, l)-clone C3 k,l. Proposition 20. SoitCm k,lun(k, l)-clone d’ordre m. (i) Le grapheCm k,l possède(7m− 6)(l − 1)(k + 1) + (7m − 7)(k + 1) + m(k + 1) = ((7m− 6)l + m − 1)(k + 1) sommets ;
(ii) il estk-improprement l-colorable, mais pas k-improprement (l− 1)-colorable ;
(iii) toutel-coloration k-impropre de Cm
k,l assigne une même couleur à tous les sommets
des cliques-extrémités ; et
(iv) un(k, l)-clone est un graphe d’intersection de disques unitaires.
Nous finissons en définissant le gadget de croisementHk,l : il remplacera les croisements
d’arêtes dans le plongement de G. Cette construction est basée sur celle du graphe de croise-
mentHlde [GSW98], chaque sommet étant remplacé par une clique de taillek + 1, et chaque
arête par des (k, l)-chaînes d’ordre approprié (1 ou 2), de sorte que le graphe obtenu soit un
graphe d’intersection de disques unitaires. Les graphesHletHk,lsont montrés par la figure 3.6.
(a) (b) 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2
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C1 C2 V0 V3 V2 C4 C3 V1FIG. 3.6. Lel-croisement Hlet le(k, l)-croisement Hk,l: (a)Hl, où les cercles représentent
des cliques de taille(l− 2) et (b) un schéma de Hk,l, où chaque(k, l)-chaîne est représentée par
un arc (dirigé depuis la clique-extrémité fixée vers la clique-extrémité forcée de la chaîne) ainsi qu’un entier indiquant son ordre.
Notons que les (k, l)-chaînes sont orientées de sorte à ne pas introduire de clique taille
supérieure à l(k + 1). En particulier, seules les cliques-extrémités forcées des (k, l)-chaînes
peuvent être adjacentes aux cliquesCi de taille(l− 2)(k + 1) de Hk,l. En outre, chaque clique
C de taille k + 1 représentant un sommet de Hlest adjacente à une clique de taille(l−1)(k +1)
d’une(k, l)-chaîne, assurant ainsi que toute l-coloration k-impropre du graphe Hk,l assigne à
tous les sommets deC une seule couleur. Une définition plus concise de Hk,l suit.
Définition 14. Pour tout l ≥ 3, un (k, l)-croisement, noté Hk,l, est le graphe donné par la
figure 3.7. Les cliquesV0, V1, V2 etV3 sont appelées cliques-extrémités.
Proposition 21. SoitHk,lun(k, l)-croisement.
(i) Le grapheHk,l possède(37l− 2)(k + 1) sommets ;
(ii) il estk-improprement l-colorable, mais pas k-improprement (l− 1)-colorable ;
(iii) dans toutel-coloration k-impropre de Hk,l, les sommets deV0∪ V2 sont monochro-
matiques, de même que ceux deV1∪ V3;
(iv) il existe deuxl-colorations k-impropres c1 etc2 deHk,l vérifiantc1(V0) = c1(V2) =
c1(V1) = c1(V3) et c2(V0) = c2(V2)6= c1(V1) = c1(V3) ; et
3.2. Complexité 57 V3 C3 V2 C2 V1 C1 V0 C4 C0
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FIG. 3.7. Le(k, l)-croisement Hk,l.3.2.2.2. Plongement du graphe d’intersection de disques unitaires.
Comme mentionné précédemment, nous utilisons le même plongement pour le graphe donnéG que [GSW98] :
– toutes les arêtes sont constituées de segments verticaux et horizontaux ;
– une distance minimale non nulle est maintenue entre des segments parallèles, des croise- ments et des sommets ; et
– ce plongement se calcule en temps polynomial, de façon systématique.
Toutefois, nous devons modifier le plongement de certains graphes auxiliaires afin d’amé- nager de l’espace pour placer les(k, l)-croisements.
Tout d’abord, chaque sommet v de G est remplacé par un ensemble indépendant M (v)
d’ordred(v), le degré de v. Ensuite, un sommet de M (v) est relié à un sommet de M (w) si, et
seulement si,v et w sont voisins dans G. Les arêtes sont placées de sorte que chaque sommet
du grapheG′ = (V′, E′) obtenu soit de degré maximum un.
Afin de décrire le plongement deG′utilisé, les sommets deG′sont numérotés de1 à|V′|, de
telle sorte que, pour tout sommetv de G, les numéros des sommets de M (v) soient consécutifs.
Notonsn cette numérotation. Les sommets de G′ sont tous placés sur l’axe des abscisses : les
coordonnées du point représentant le sommetv de G′sont(X(v), 0), avec X(v) := 56n(v).
Une arêteuv de G′, avecX(u) < X(v), est représentée par les trois segments suivants :
{(x, y) : x ∈ [X(u), X(v)] et y = X(u) + 8}, et {(x, y) : x = X(v) et y ∈ [0, X(u) + 8]}.
Un exemple est donné par la figure 3.8. Un tel plongement dépend de la numérotationn
choisie, mais est unique pour une numérotation fixée.
M(v1) M(v2) M(v5) 56 8 M(v3) M(v4) 64 FIG. 3.8. Plongement du grapheG′.
Décrivons à présent la construction du graphe ˆG ainsi que d’une réalisation, montrant qu’il
s’agit bien d’un graphe d’intersection de disques unitaires.
Notons que chaque clique des graphes auxiliaires peut être représentée par un seul disque, car tout sommetu appartient à une clique C(u), et si u et v sont adjacents, alors tous les som-
mets deC(u) et de C(v) le sont. Ainsi, en raison de propriétés élémentaires des configurations
de disques dans le plan, il est suffisant de représenter chaque clique par un sommet, appelé
représentant. Donnons à présent une réalisation de ˆG avec des disques de rayon 3.
Avec cette convention, les (k, l)-câbles et (k, l)-chaînes peuvent être représentés similai-
rement aux l-câbles et l-chaînes, respectivement, de [GSW98]. Ces graphes auxiliaires vont
remplacer les segments de droite dans le plongement de G′. Remarquons qu’un (k, l)-câble
d’ordre m peut être plongé de sorte que la distance entre les centres des représentants des
cliques-extrémités soit égale à8m, et que tous les centres soient alignés. Avec une légère mo-
dification (puisqu’elle comporte une clique de plus), une(k, l)-chaîne d’ordre m peut être plon-
gée de sorte que la distance entre les centres des représentants des cliques-extrémités soit8m
(et que tous les centres soient alignés). En outre, les plongements des(k, l)-câbles peuvent être
modifiés de telle sorte que la ligne brisée reliant les centres consécutifs fasse un angle droit (figure 3.9).
x x+ 5x + 8 x+ 12 x + 16 y+ 8
y+ 4
y
3.2. Complexité 59
Nous représentons les(k, l)-clones de façon similaire aux l-clones, sauf que les représen-
tants des cliques-extrémités sont placés sur l’axe des abscisses à distance56 (et non 24), afin
de laisser de la place pour les(k, l)-croisements. Fixons les coordonnées (x, y) du centre du re-
présentant de la clique-extrémitéO0: les coordonnées des centres des représentants des cliques
CCisont(x+8i, y−5), i ∈ {0, 1, . . . , 7m−6}, celles des centres des représentants des cliques
CVisont(x+4i, y−5), i ∈ {1, 2, . . . , 3n−3}, et celles des représentants des cliques-extrémités
Oi sont(x + 56i, y), i∈ {1, 2, . . . , m − 1} (voir figure 3.10).
x x+ 8
y
x+ 56 x+ 4
y − 5
FIG. 3.10. Réalisation d’un(k, l)-clone d’ordre trois.
La figure 3.11 montre une représentation d’un(k, l)-croisement avec des disques de rayon 3. Les centres des représentants des cliques-extrémités sont à distance 24 du centre.
V2 V1 V3 V0 x x+ 24 x − 24 y − 24 y y+ 24 C4 C3 C2 C1
FIG. 3.11. Une réalisation du(k, l)-croisement : un disque en gras représente (l− 1)(k + 1)
copies du même disque, un disque en pointillés représenték + 1 copies du même disque et
chacun des cinq disques restants représente(l− 2)(k + 1) copies du même disque.
La construction finale d’une représentation du graphe ˆG ne présente à présent plus de dif-
centre du représentant deO0 soient(x(v), 0), où x(v) est la plus petite abscisse d’un sommet
deM (v). Les coordonnées des cliques-extrémités sont donc exactement celles des sommets de M (v). Il ne reste plus qu’à remplacer les arêtes : soit uv une arête de G′. Si elle n’en croise
aucune autre, une(k, l)-chaîne d’ordre adéquat est plongée le long des trois segments repré-
sentant l’arête uv, de telle sorte que les représentants des cliques-extrémités remplacent les
sommetsu et v : si X(v) = 8s et X(u) = 8s′, avecs < s′, l’ordrem de la (k, l)-chaîne est
s + 1 + (s′ − s − 2) + 1 + s = s + s′.
Si l’arêteuv croise au moins une autre arête, soit (x, y) les coordonnées d’un croisement.
Les quatre points de coordonnées respectives (x− 24, y), (x + 24, y), (x, y − 24) et (x, y + 24) sont remplacés par les cliques-extrémités d’un (k, l)-croisement. Les segments restants
sont remplacés par des(k, l)-câbles d’ordre adéquat, sauf celui contenant le sommet v, qui est
remplacé par une (k, l)-chaîne. Ceci est rendu possible par le fait que la longueur de chaque
segment est un multiple de8.
3.2.2.3. Démonstration du théorème 19.
Il ne reste qu’à prouver que le grapheG est l-colorable si, et seulement si, le graphe ˆG est k-improprement l-colorable. Pour tout sommet v de G, notons I(v) l’ensemble des sommets
des cliques-extrémités du(k, l)-clone remplaçant le sommet v.
Soit c une l-coloration de G. Chaque sommet de I(v) est coloré c(v), et cette coloration
s’étend en unel-coloration k-impropre du (k, l)-clone selon la proposition 20 (ii) et (iii). Consi-
dérons une arêteuv de G : si les cliques-extrémités correspondantes sont reliées uniquement par
une(k, l)-chaîne, alors la proposition 19 (iv) permet d’étendre la coloration à cette (k, l)-chaîne
puisquec(u) 6= c(v). Sinon, la coloration est étendue à chaque (k, l)-câble en utilisant la pro-
position 18 (iii) (i.e. tous les sommets de chaque clique-extrémité reçoivent la même couleur). Lorsque ceci est fait pour chaque arête, la coloration est étendue à chaque (k, l)-croisement
en utilisant la proposition 21 (iv). Enfin, chaque(k, l)-chaîne restante (joignant nécessairement
un(k, l)-croisement à une clique représentant un sommet de G′) est k-improprement colorée
en utilisant la proposition 19 (iv), puisque ses cliques-extrémités sont colorées différemment (l’une ayant la couleurc(u) et l’autre la couleur c(v) pour deux sommets voisins u et v de G).
Notonsˆc une l-coloration k-impropre de ˆG, et considérons un sommet v de G. Attribuons à v la couleur de n’importe quel sommet appartenant à la clique-extrémité remplaçant v (le seul
cas où les sommets de cette clique peuvent être colorés différemment est lorsque le degré dev
est égal à un, et que la clique-extrémité forcée représente le sommetv). D’après la construction
précédente, et les propositions 18 (iii), 19 (iii), 20 (iii) et 21 (iii), lal-coloration c de G obtenue
est propre.
3.2.3. La2-coloration k-impropre des graphes d’intersection de disques unitaires, k≥ 1
Il n’est pas donné a priori de savoir si le problème de la2-coloration k-impropre restreint