Coloration k-impropre avec l couleurs, l ≥ 2

dansQ. Le graphe orienté Q_{− u est l’union de s (k, l)-quasi-arborescences Q}i enracinées en

vi,i∈ {1, 2, . . . , s}. En outre, ces quasi-arborescences sont sommet-disjointes, sauf éventuel-

lement sur des feuilles. Soitc une L-coloration des feuilles de Q.

Par l’hypothèse d’induction, il est possible d’étendrec en une L-coloration de chaque Qi

telle queim(vi) ≤ k − 1. Notons que imQ(x) = imQi(x) ≤ k pour tout sommet de Qi qui

n’est pas une feuille, etimQ(x)≤ k pour toute feuille qui n’est pas dans S. L’un au moins des

couleurs deL(u), disons α, est attribuée à au plus k− 1 voisins de u puisque dQ(u)≤ 2k − 1.

Par conséquent, poserc(u) := α fournit la première coloration annoncée dans le lemme.

Pour la seconde, il suffit de remarquer que toute feuillef de S d’impropreté au moins k + 1

peut être recolorée en vertu du lemme 12, puisquedQ(f )− |L(f)| + 2 ≤ dQ(f )− dQ(f ) + k−

1 + 2 = k + 1. Ceci conclut la preuve. ¤

Le résultat précédent n’est plus vrai lorsquek vaut un.

Lemme 15. SoitQ une (1, l)-quasi-arborescence enracinée en u et soit L une assignation de listes pourQ telle que |L(v)| ≥ 2 si v n’est pas une feuille, et |L(v)| ≥ dQ(v) sinon. Notons

S l’ensemble des feuilles de degré interne au moins deux. Soit c une L-coloration des feuilles. L’une au moins des deux assertions suivantes est vraie.

(i) La colorationc s’étend en une L-coloration de Q telle que im(u) = 0 et im(v)_{≤ 1} siv /_{∈ S.}

(ii) La coloration c s’étend en deux L-colorations différentes c1 et c2 de Q telle que

c1(v) = c2(v) si v 6= u et imci(v)≤ 1 si v /∈ S.

En outre, quitte à recolorer des sommets de S, toutes ces L-colorations peuvent être rendues 1-impropres.

Enfin, si_{|L(u)| ≥ 3 alors l’assertion (i) est vraie.}

Démonstration. Par induction sur le nombre de sommets, le résultat étant trivialement vrai si

|V (Q)| = 1.

Le graphe Q_{− u est l’union de deux (1, l)-quasi-arborescences Q}1 etQ2 respectivement

enracinées env1etv2. Elles sont sommet-disjointes sauf éventuellement sur des feuilles. Soitc

uneL-coloration des feuilles de Q. D’après l’hypothèse d’induction, c s’étend à Q1 etQ2. Pour

chaque sommetv de Q− S, imQ(v) = imQi(v)≤ 1.

Si l’un au moins desQi satisfait (ii), ou si|L(u)| ≥ 3, supposons, sans perte de généralité,

{c(v1), c(v2)} 6= L(u) : il est alors possible d’étendre c en une L-coloration de Q satisfaisant

(i).

SiQ1 etQ2 satisfont tous deux (i), alors soit c(v1) = c(v2) et alors choisir c(u) ∈ L(u) \

{c(v1)} fournit une L-coloration de Q satisfaisant (i) ; soit colorer u avec alternativement avec

les deux couleurs de sa liste fournit les deux colorations de (ii).

A présent, il est possible de recolorer avec impropreté zéro chaque feuille f _{∈ S qui a}

impropreté au moins deux dansQ en vertu du lemme 12, puisque dQ(f )− |L(f)| + 2 ≤ 2. Ceci

conclut la preuve. _¤

Ces résultats permettent de mieux appréhender la structure des graphes de déchargement. Le lemme suivant généralise la proposition 14.

Lemme 16. SoitD une graphe de déchargement d’un graphe (k, l)-minimal G.

(i) Le degré externe dansD de tout sommet u avec d(u) _{∈ {l + k, . . . , l + 2k − 1} est} au plusd(u)_{− l + 1. En particulier, D est acyclique.}

(ii) Pour tout sommetu de degré interne un, A+_D(u) est une (k, l)-quasi-arborescence. En particulier, le degré des feuilles dansA+_D(u) est au plus l + k_{− 1.}

Démonstration. (ii) est une conséquence directe de (i). Prouvons (i).

SoitL une l-assignation pour G. Notons en premier lieu que D ne possède pas de 2-circuit

puisque deux(_{≤ l + k − 1)-sommets ne sont pas adjacents d’après le lemme 13. Remarquons}

de plus qu’afin de créer un circuit dans D, il est nécessaire de créer un sommet u de degré

externe dans D au moins d(u)_{− l + 2. Supposons par l’absurde que D contienne un sommet} u de degré externe au moins d(u)_{− l + 2 et soit D}′ _{le graphe orienté obtenu juste après avoir}

créé le premier tel sommetu. Soit u_{→ v la dernière arête qui a été orienté dans D}′_{. Le som-}

metu possède d(u)_{− l + 2 voisins externes dans D}′ _{(en comptant v) alors que v en possède}

d(v)− l + 1. Divisons l’étude en deux cas selon que l’orientation de l’arête uv crée un circuit

(qui sera nécessairement le premier) ou non.

Premier cas : l’orientation de uv crée un circuit C. Soit w le voisin interne de u dans C. Posons Q1 := A+D′_−wu(v), Q2 := A

+

D′_−uv(u) et Q =: Q1∪ Q2. Notons queQ1 etQ2 sont

des(k, l)-quasi-arborescences qui sont sommet-disjointes, sauf éventuellement sur des feuilles.

En particulier, le degré externe dans D′ _{de tout sommet interne de Q}

1 et de Q2 est au plus

dG(x)− l + 1. Plus précisément, tout sommet interne x 6= w satisfait d+D′(x) = dG(x)− l + 1

alors qued+_Q(w) = dG(w)− l et pour tout sommet interne x d−_D′(x) = 1. Soient F l’ensemble

des feuilles deQ, S l’ensemble des feuilles de degré interne au moins k+1 dans Q et ¯S = F_\S.

Posons ˚Q := Q_{− ¯}S. Par minimalité de G, soit c une L-coloration k-impropre de G′ _{:= G− ˚Q.}

Soitf _{∈ ¯}S : si l’impropreté de f est au moins k_{− d}−_Q(f ) + 1, alors en vertu du lemme 12 f

peut être recoloré avec impropreté0 puisque dG′(f )− |L(f)| + 2 = d_G(f )− d−_Q(f )− l + 2 ≤

l + k− 1 − d−

Q(f )− l + 2 = k − d−Q(f ) + 1. Soit L1 l’assignation de listes suivante pourQ1 :

L1(x) := L(x)\ {α : ∃z ∈ NG−Q1(x), c(z) = α} si x /∈ ¯S, et L1(x) := {c(x)} sinon. Pour

tout sommet internex_{6= w}

|L1(x)| ≥ l − (dG(x)− dQ1(x)) = l− dG(x) + dG(x)− l + 1 + 1 = 2

et puisqued+_{(w) = d}

G(w)− l mais que u n’est pas encore coloré

|L1(w)| ≥ l − (dG(w)− dQ1(w)) + 1 = l− dG(w) + dG(w)− l + 1 + 1 = 2.

Pour la racinev, d−_{(v) = 0 mais u n’est pas coloré donc}

|L1(v)| ≥ l − (dG(v)− dQ1(v)) + 1 = l− dG(v) + dG(v)− l + 1 + 1 = 2,

et pour une feuillef _{∈ S}

|L1(f )| ≥ l − dG(f ) + dQ(f )≥ l − (l + k − 1) + dQ(f ) = dQ(f )− k + 1.

Finalement, sif ∈ ¯S alors|L1(f )| = 1 ≥ max{1, dQ(f )− k + 1}.

Il est ainsi possible d’appliquer les lemmes 14 et 15. À cette fin, commençons parL1-colorer

toutes les feuilles deQ1.

Supposons d’abord k _{≥ 2. D’après le lemme 14, il existe une L}1-coloration c1 de Q1

telle queimc1

Q1(v) ≤ k − 1. Notons que c1 étendc en une L-coloration de G− Q2 telle que

l’impropreté de chaque sommet soit au plusk sauf éventuellement celle de certains sommets

de S. De plus, im_G−Q2(v) ≤ k − 1. Soit à présent L2 l’assignation de listes suivantes pour

Q2. L2(u) := L(u)\ {α : ∃z 6= v ∈ NG−Q2(u), c(z) = α)}, L2(x) := {c(x)} si x est une

feuille et L2(x) := L(x)\ {α : ∃z ∈ NG−Q2(x), c(z) = α} sinon. Notons que |L2(u)| ≥ 2.

2.3. Colorationk-impropre avec l couleurs, l_{≥ 2} 43

deG. L’impropreté de chaque sommet n’appartenant pas à S _{∪ {u, v} est au plus k. De plus} imG(u) ≤ imQ2(u) + 1 ≤ k − 1 + 1 = k puisqu’aucune couleur de L2(u) n’est attribuée

à un voisin de u dans G _{− (Q}2 − v). De la même façon, imG(v) ≤ imG−Q2(v) + 1 ≤ k

puisque la couleur dev a été supprimée de la liste de ses voisins dans Q2− u. Si l’impropreté

de f _{∈ S est au moins k + 1, f est recoloré avec impropreté 0 grâce au lemme 12 puisque} dG(f )− |L(f)| + 2 ≤ l + k − 1 − l + 2 = k + 1. Ceci permet d’obtenir une L-coloration

k-impropre de G.

Supposons à présentk = 1. En vertu du lemme 15, il existe une L1-coloration deG− Q2

telle que l’impropreté de chaque sommet n’appartenant pas à S soit au plus un. De plus, soit

l’impropreté de v est 0 (i), soit l’impropreté de v est un et alors v peut indifféremment être

coloré avec les deux couleurs de sa liste (ii). Notons que siv a un voisin distinct de u qui est en

outre un sommet interne deQ2alors|L1(v)| ≥ 3 et nous pouvons donc supposer que v satisfait

(i). En définissantL2 comme précédemment, le lemme 15 s’applique àQ2 et fournit une L2-

coloration deQ2 et donc uneL-coloration de G telle que u satisfasse (i) ou (ii). L’impropreté

de chaque sommet n’appartenant pas à S_{∪ {u, v} est au plus un. Si v satisfait (i), alors soit} u satisfait aussi (i) soit u satisfait (ii) et dans ce cas nous pouvons supposer que u et v sont

colorés différemment. Dans tous les cas ces deux sommets ont impropreté au plus un dans G.

Siv satisfait (ii), alors l’unique voisin v dans Q2estu. Nous pouvons ainsi supposer que u et v

sont colorés différemment, et donc qu’ils ont impropreté au plus un dansG.

Finalement, toute feuille deS d’impropreté au moins deux peut être recolorée en vertu du

lemme 12, ce qui fournit uneL-coloration 1-impropre de G.

AinsiG est k-improprement l-choisissable, une contradiction.

Second cas : il n’y a pas de circuit dansD′_{. AlorsQ := A}+

D′(u) est une quasi-arborescence.

En outre, le degré externe de tout sommet internev est au plus (et donc exactement) d(v)_−l+1.

Soientv1, . . . , vs les voisins externes deu, posons Qj := A+_D′(vj) pour j ∈ {1, 2, . . . , s}. Les

Qi sont des(k, l)-quasi-arborescences qui sont sommet-disjointes sauf éventuellement sur des

feuilles. Soient F l’ensemble des feuilles de Q, S l’ensemble des feuilles de degré interne au

moins k + 1 dans Q et ¯S := F \ S. Posons ˚Q := Q− ¯S. Soit L une l-assignation pour G.

Par minimalité deG, soit c une L-coloration k-impropre de G′ _{:= G− ˚Q. Soit f une feuille}

de ¯S. Si l’impropreté de f est au moins k _{− d}Q(f ) + 1, il est possible de recolorer f avec

impropreté0 grâce au lemme 12 puisque dG′(f )− |L(f)| + 2 ≤ d_G(f )− d_Q(f )− l + 2 ≤

l + k_{− 1 − d}Q(f )− l + 2 = k − dQ(f ) + 1.

Pour tout sommetv _{∈ Q, soit L}′_{(v) := L(v)\ {α : ∃w ∈ N}

G(v), c(w) = α} si v /∈ ¯S et

L′_{(v) :={c(v)} sinon. Notons que pour tout sommet interne v}

|L′(v)_{| ≥ l − (d}G(v)− dQ(v)) = l− dG(v) + dG(v)− l + 1 + 1 = 2.

Pour une feuillef ∈ S |L′_{(f )| ≥ l − d}

G(f ) + dQ(f ) ≥ l − (l + k − 1) + dQ(f ) = dQ(f )− k + 1.

Supposons d’abordk_{≥ 2, et L}′_{-colorons toutes les feuilles. Le lemme 14 permet d’étendre}

cette coloration en une L′_{-coloration de chaque Q}

i, et, quitte à recolorer des feuilles deS, il

existe uneL-coloration k-impropre de G_{− u telle que im(v}j)≤ k − 1 pour j ∈ {1, 2, . . . , s}.

Remarquons que_|L′(u)_{| ≥ |L(u)| − d(u) + d}+_D′(u) = l− d(u) + d(u) − l + 2 ≥ 2. De

plus, u possède d+_{(u) = d(u)− l + 2 ≤ 2k + 1 voisins externes dans D}′_{. Il existe donc une}

couleur deL′_{(u), disons α, qui est attribuée à k voisins externes de u. Donc poser c(u) := α}

Supposons maintenant k = 1 et L′_{-colorons toutes les feuilles. Le lemme 15 permet}

d’étendre cette coloration en uneL′_{-coloration de chaque Q}

i, et quitte à recolorer des feuilles

deS, il existe une L-coloration 1-impropre de G_{− u telle que, pour chaque v}j, soitim(vj) = 0

soitvj peut indifféremment être recoloré avec une autre couleur deL′(vj).

Les mêmes calculs que précédemment montrent l’existence d’une couleur deL′_{(u), disons}

α, attribuée à au plus un voisin de u, disons vi. Posonsc(u) := α. Si vi satisfait la première

condition, nous obtenons uneL-coloration 1-impropre de G. Si visatisfait la seconde condition

nous pouvons supposerc(u)6= c(v) et donc obtenir également une L-coloration 1-impropre de G.

AinsiG est k-improprement l-choisissable, une contradiction.

¤

Démonstration du théorème 15. SoitG un graphe (k, l)-minimal et soit D un graphe de dé-

chargement de G. Au départ, chaque sommet possède une charge w(v) = d(v). Ensuite, la

règle de déchargement suivante est appliquée : chaque sommet donne _l+kk à chacun de ses voisins externes.

Examinons la nouvelle chargew′_{(v) d’un sommet v en fonction de son degré.}

– Sid(v) _{≤ l + k − 1 le degré interne de v est d(v) donc sa nouvelle charge est w}′_{(v) =}

d(v) + d(v)k_l+k ≥ l + lk l+k.

– Sid(v) _{∈ {l + k, . . . , l + k +} k

l} alors le degré externe de v est soit au plus d(v) − l et

donc sa nouvelle charge est au moinsd(v)_{− (d(v) − l) ×} k l+k = ld(v) l+k + lk l+k ≥ l + lk l+k, soit

d(v)−l+1 d’après le lemme 16. Dans ce cas, par définition d’un graphe de déchargement,

le degré interne dev est un donc sa nouvelle charge est w′(v) = d(v)_{− (d(v) − l + 1) ×} k l + k + k l + k = d(v)− (d(v) − l) × k l + k ≥ l + lk l + k.

– Sid(v)_{∈ {l+k+}k_l, . . . , l+2k_{−1}, alors d’après le lemme 16, le degré externe de v est au}

plusd(v)_{−l+1. Donc w}′_{(v)≥ d(v)−(d(v)−l+1)×} k l+k = ld(v) l+k +kl−kl+k ≥ l2_+2kl l+k = l+ kl l+k. – Sid(v)_{≥ l + 2k, alors w}′_{(v)≥ d(v)(1 −} k l+k) = ld(v) l+k ≥ l2_+2kl l+k = l + kl l+k. AinsiMad(G)_≥ 1 |V | X v∈V d(v) = 1 |V | X v∈V w′(v)_{≥ l +} kl l + k. ¤ 2.3.2. Borne supérieure

Dans cette sous-section, nous construisons, pour tout entier l ≥ 2 and tout entier k ≥ 1,

un graphe Gk

l qui n’est pas k-improprement l-colorable. Son degré moyen maximum fournit

ainsi une borne supérieure pour M (k, l). Pour construire Gk

2, prenons k + 1 copies de Hk

(défini dans la sous-section 2.2.1) et identifions leur sommetv. Le graphe Gk

l pourl ≥ 3 est

définie récursivement. En premier lieu, créons le grapheMk

l en prenantk copies de Gkl−1et en

ajoutant un sommet w relié à tous les autres sommets. Il suffit alors de prendre l _{− 1 copies} M1_{, . . . , M}l−1 _{de M}k

l , de relier tous les sommets w1, . . . , wl−1 (de sorte qu’ils induisent un

graphe complet d’ordrel_{− 1), puis d’ajouter k + 2 sommets z}0, z1, . . . , zk+1chacun étant relié

à chaquewipouri∈ {1, . . . , l − 1}. Enfin les arêtes z0zipouri∈ {1, . . . , k + 1} sont ajoutées

2.3. Colorationk-impropre avec l couleurs, l_{≥ 2} 45

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