Largeur arborescente linéaire des graphes planaires extérieurs
8.2. Contre-exemples 171 β
δ α v1 u1 γ s s1 s2 s3 s4 u2 v2 e4 e3 e1 e2 (a) La croixK. x1= u1 x2= u2 H2 H1 H3 H4 (b) Collage de 4 graphes H1, H2, H3, H4 sur la croix K
FIG. 8.1. Lorsque les arêtes sont identifiées,x1est identifié àu1etx2àu2.
Pouri∈ {1, 2}, notons Liun ordre optimal deHi, i.e. un ordre de sommet-séparationp, et
sans perte de généralité supposonsLi(xi) < Li(yi).
Considérons la croix K de la figure 8.1(a). Pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}, l’arête ei de K est
identifiée avec l’arête xiyi, de sorte que les sommets x1 et x2 soient identifiés avec les som-
mets u1 et u2 respectivement (figure 8.1(b)). Bien qu’il soit possible d’obtenir, à partir des
mêmes graphes Hi, différents graphes par cette construction, nous notons C(H1, H2, H3, H4)
tout graphe obtenu à partir deH1, H2, H3, H4 de cette façon.
D’après la construction, tout grapheC(H1, H2, H3, H4) est un graphe planaire extérieur 2-
connexe. Par exemple, soitG1le graphe planaire extérieur2-connexe composé de trois 4-cycles
de degré un et un 4-cycle de degré trois (figure 8.2). Pour tout entier p ≥ 2, soit Gp le graphe
C(Gp−1, Gp−1, Gp−1, Gp−1), obtenu comme indiqué dans les figures 8.3 et 8.4. La condition sur
les sommetsx1 etx2 est ici respectée en raison de la symétrie des graphesGp. Notons en outre
que le degré maximum deGp est4.
(a)G1etG∗1 (b)G1etG∗∗1
FIG. 8.2. G1, composé d’un4-cycle de degré trois et de trois 4-cycles de degré un, le dual G∗1
et le dual faibleG∗∗
FIG. 8.3. G2,4 copies disjointes de G1collées à une croix griseK, et son dual faible G∗∗2 .
FIG. 8.4. G3,4 copies disjointes de G2collées à une croixK, et son dual faible G∗∗3 .
Dans les trois lemmes suivants, nous prouvons les propriétés annoncées pour la construc- tion. Le 4-cycle central de la croix est noté S, et le sommet correspondant du dual s (voir
figure 8.1(a)).
Lemme 41. Pour touti ∈ {1, 2, 3, 4}, soit Hi un graphe planaire extérieur2-connexe dont le
dualTi a largeur arborescente linéairep≥ 1. La largeur arborescente linéaire du dual faible
8.2. Contre-exemples 173
Pour prouver ce lemme, donnons d’abord une définition et un résultat. Pour tout sommet
v d’un arbre T , une branche de v est tout sous-arbre maximal contenant un voisin de v sans
contenirv.
Théorème 73 (Scheffler [Sch90]). Pour tout entierp≥ 1 et tout arbre T , pw(T ) ≥ p + 1 si, et seulement si, il existe un sommett de T ayant au moins trois branches de largeur arborescente linéaire au moinsp.
Démonstration du lemme 41. Par induction sur p ≥ 1, le résultat étant vrai pour p = 1. Si
la largeur arborescente linéaire de chaque arbre Ti est p, il n’est pas difficile de construire un
ordreL du dual faible deC(H1, H2, H3, H4) de sommet-séparation au plus p + 1 : numérotons
les sommets de T1 selon un ordre optimal de T1, puis numérotons le sommets1, i.e. posons
L(s1) := |V (T1)| + 1. Numérotons ensuite les sommets de T2 selon un ordre optimal L2 tel
que l’unique voisin des2 dansT2 possède la plus grande image parL définie jusqu’à présent
(un tel ordre existe par construction). Le sommets2 est ensuite numéroté, et une numérotation
analogue est effectuée pour les sommets de T3 et s3. Ensuite, le sommet s est numéroté, puis
les sommets deT4 selon un ordre optimalL4, et enfin le sommets4. La sommet-séparation de
l’ordre ainsi obtenu est au plusmax(2, p + 1) = p + 1.
La largeur arborescente linéaire du dual faible de C(H1, H2, H3, H4) est strictement su-
périeure à p d’après le théorème 73 puisque le sommet s possède quatre branches de largeur
arborescente linéairep. ¤
Lemme 42. Pour touti∈ {1, 2, 3, 4}, soit Hiun graphe planaire extérieur de largeur arbores-
cente linéairep≥ 1. Alors
pw(C(H1, H2, H3, H4)) = p + 2.
Démonstration. NotonsH :=C(H1, H2, H3, H4).
Montrons que la largeur arborescente linéaire deH est au moins p + 2 : soit L un
ordre de H, montrons que la sommet-séparation de (H, L) est au moins p + 2. Le
sous-graphe de H induit par la suppression des sommets du 4-cycle S est l’union
disjointe des4 graphes H1, H2, H3 etH4, chacun ayant largeur arborescente linéaire
p. Précisons ici que ces quatre graphes vont jouer un rôle symétrique dans cette partie
de la preuve. Ainsi, supposons que le sommet a tel que L(a) = 1 et le sommet b tel
queL(b) =|V (H)| soient respectivement dans V (H1)∪ V (S) et V (H1)∪ V (H2)∪
V (S). Par hypothèses, il existe i ∈ L(V (H4)) tel qu’il y ait p sommets x de H4
avec L(x) > i, chacun ayant un voisin y dans H4 avec L(y) ≤ i. Comme un entier
similaire existe pour H3, supposons, quitte à inverser les rôles de H3 et H4, qu’il
existe un sommet v ∈ V (H3) tel que L(v) > i. Soit X := ∪3j=1V (Hj)∪ V (S).
Nous disons qu’un sommetx ∈ X est un sommet-m si L(x) < i et un sommet-M si L(x) > i. En particulier, le sommet a est un sommet-m, et les sommets b et v sont des
sommets-M . Une arête est mauvaise si elle relie un sommet-m à un sommet-M . Une mauvaise paire est une paire de mauvaises arêtes qui sont soit disjointes, soit incident
à un même sommet-m. Soit Q le sous-graphe de H induit par les sommets de X.
L’existence d’une mauvaise paire dansQ entraîne que vs(H, L)≥ vs(H4)+2 = p+2.
Or, le grapheQ est 2-connexe, donc d’après le lemme de l’éventail, il existe dans Q deux chemins P1etP2respectivement dea à b et de a à v, qui sont sommet-disjoints
sauf ena. Comme a est un sommet-m et b et v sont des sommets-M , il existe une
mauvaise arête dans P1 et une mauvaise arête dansP2. Les cheminsP1 et P2 étant
nécessairement une mauvaise paire. Enfin, cette mauvaise paire est bien disjointe de
H4carP1 etP2 le sont.
Montrons que la sommet-séparation deH est au plus p + 2 : nous allons construire
un ordre de H = C(H1, H2, H3, H4) à partir d’ordres optimaux Li de Hi, i ∈
{1, 2, 3, 4}. Commençons par étiqueter tous les sommets de H4 selon l’ordreL4. La
sommet-séparation n’excède jamaisp+2, car les seuls sommets non étiquetés hors de H4qui peuvent avoir des voisins étiquetés sont les sommetsβ et γ. Par construction,
l’ordre optimalL1 deH1 peut être choisi de sorte queL1(x1) < L1(y1). Étiquetons
à présent les sommets de H1 selon l’ordre L1 jusqu’à ce que le sommet x1 soit éti-
queté. Comme précédemment, la sommet-séparation n’excède pasp + 2 lors de cette
phase. Étiquetons alors le sommet β, ce qui ne change pas la sommet-séparation,
puisqueβ possède exactement un voisin non étiqueté, c’est-à-dire α. Finissons d’éti-
queter les sommets de H1 en suivant l’ordre L1. La sommet-séparation ne dépasse
toujours pas p + 2, les seuls sommets non étiquetés ayant des voisins étiquetés étant α et γ. Par construction encore, l’ordre optimal L2deH2peut être choisi de sorte que
L2(x2) < L2(y2). En conséquence, il est possible d’appliquer la même procédure
afin de numéroter les sommets deH2 : les sommets sont numérotés suivant l’ordre
L2 jusqu’à ce quex2soit numéroté. Le sommetα est numéroté, et ensuite seulement
le reste des sommets deH2, toujours selonL2. Enfin, les sommets deH3 sont numé-
rotés en suivant l’ordreL3 (la sommet-séparation ne dépasse pasp + 2, car les seuls
sommets non numérotés hors deH3, avec éventuellement des voisins numérotés sont
δ et γ), puis δ et γ sont numérotés. La sommet-séparation de l’ordre ainsi construit
est au plusp + 2.
¤
Pour prouver le théorème 72, nous utiliserons les graphes suivants. SoitJ3 le graphe de la
figure 8.5(a) : la largeur arborescente linéaire du dual faible deJ3 est égale à deux, et celleJ3
à trois. En outre, comme le montre la figure 8.5(a), il existe un ordre optimal deJ3 tel qu’une
arête incidente à la face externe relie le sommet étiqueté1 et celui étiqueté 12.
Construisons à présent le graphe Jp à partir de Jp−1 pour unp ≥ 4 fixé. Pour cela, nous
supposons qu’il existe un ordre optimalL′ deJ
p−1tel qu’une arêtee = xy incidente à la face
externe vérifieL′(x) = 1 et L′(y) = |V (J
p−1)|. Considérons un cycle d’ordre 7, v1v2. . . v7v1,
ainsi que trois copies disjointes deJp−1, notéesJ1, J2etJ3. L’arêtee de J1 est identifiée avec
l’arêtev2v3du cycle, celle deJ2avec l’arêtev4v5et celle deJ3avecv6v7(voir figure 8.5(b)). À
chaque fois, le sommetx de l’arête e est identifié avec le sommet vi de plus petit indice (donc,
respectivement,v2, v4etv6).
Le lemme suivant prouve que la construction peut-être faite pour toute valeur dep≥ 3, et
que la largeur arborescente linéaire du graphe planaire extérieur2-connexe Jpest égale àp, qui
est aussi la valeur de la largeur arborescente linéaire de son dual géométrique.
Lemme 43. Pour tout entierp≥ 3, la largeur arborescente linéaire du graphe planaire exté- rieur2-connexe Jp est égale à p. De plus, il existe un ordre de Jp de sommet-séparationp tel
qu’une arête incidente à la face externe relie les sommets de plus petit et de plus grand ordre. Enfin, la largeur arborescente linéaire du dual géométrique deJpest aussi égale àp.
Démonstration. La largeur arborescente linéaire du dual géométrique de J3 est trois. Suppo-
sons que celle du dual géométrique deJp−1soitp− 1, pour un certain entier p ≥ 4. Clairement,
8.2. Contre-exemples 175