Formulation du forçage pour une turbulence homogène et isotrope . 174

On se place maintenant dans le cas d’une turbulence isotrope, par exemple, si une

turbulence initialement isotrope est forcée vers des moments cibles u

′

i

u

′ j † r

isotropes :

u

^′_i

u

^′_j^† r

=²

3^k

† r

δ

ij

. (7.34)

On peut alors faire l’hypothèse que la turbulence reste statistiquement isotrope à chaque

instant, et donc que les moments résolus u

′

i

u

′ j r

vérifient :

u

′ i

u

′ j r

= ²

3^k

^r

^δ

^ij

^. (7.35)

Cette situation simplifie grandement les calculs puisque dans ce cas on peut donner une

expression entièrement explicite de la force (7.13). En substituant (7.34) et (7.35) dans

(7.17) et en utilisant la symétrieA

_ij

=A

_ji

, on trouve que la production du forçage est :

4

3^k

^r

^A

^ij

⁼

1

τ

_r

₂

3^k

^†r

− ²₃k

_r

δ

_ij

, (7.36)

et donc les coefficients A

_ij

du forçage sont :

A

_ij

= ¹

2τ

_r

_k

† r

k

_r

−1

δ

_ij

.

Puisque l’écoulement est homogène, l’effet moyen du forçage est nul (équation 7.32). On a

alors :

B

_i

=−₂¹_τ

r

_k

† r

k

_r

−1

hue

ii

.

La restriction isotrope (ILF) du terme de forçage linéaire anisotrope s’écrit donc :

f

_i

= ¹

2τ

_r

_k

† r

k

_r

−1

(ue

_i

− hue

ii

). (7.37)

Lien avec le forçage linéaire de Lundgren (2003)

En fait, le terme ILF (7.37) est une écriture aménagée du terme de forçage linéaire

isotrope proposé par Lundgren (2003) pour maintenir une turbulence isotrope à l’équilibre.

7.1Dérivation du Forçage Linéaire Anisotrope 175

L’auteur introduit une force linéaire isotrope Au

^′

dans l’équation de la vitesse fluctuante

u

^′

, en turbulence isotrope (u= 0) :

∂u

^′

∂t ^+u

′

·∇u

^′

=−¹

ρ^∇p

′

+ν∇

²

u

^′

+Au

^′

. (7.38)

Cela implique :

∂k

∂t ⁼−ε+ 2Ak,

et donc, la turbulence est maintenue à l’équilibre

∂k

∂t

= 0 pour :

A= ^ε

3u

′2

rms

. (7.39)

Rappelons qu’un terme de forçage est couramment introduit dans les études numériques

de turbulence homogène isotrope, mais le plus souvent, le forçage est défini dans l’espace

de Fourier et il est localisé sur les bas nombres d’onde (voir la revue de Rosales et

Mene-veau, 2005). Avec le forçage linéaire de Lundgren (2003), l’ensemble des nombres d’onde

est directement affecté par le forçage. La motivation première de ce type de forçage, outre

le fait qu’il peut être utilisé dans des codes de calculs résolvant les équations dans l’espace

physique, est que la production d’énergie turbulente provient elle-même du termeu

^′

·∇u

dans l’équation des fluctuations de vitesse, ce qui correspond à un forçage linéaire des

fluc-tuations, proportionnel au gradient moyen. En ce sens, le forçage linéaire de la turbulence

est similaire au processus « naturel » de production turbulente.

Rosales et Meneveau (2005) ont analysé en détail les propriétés de la turbulence isotrope

forcée linéairement, propriétés dont le paragraphe 7.2.1 donnera un aperçu. Les auteurs

prescrivent directement le coefficientA, ce qui revient à imposer à la turbulence son échelle

de temps intégrale k/ε, et un équilibre statistiquement stationnaire est atteint.

Alternati-vement, ils vérifient que l’on peut forcer la turbulence à un niveau de dissipation cible ε

^†

,

conservé constant au numérateur de (7.39) alors qu’au dénominateur, u

^′_rms

est évalué au

cours du calcul. À l’équilibre,ε

†

correspond au taux moyen d’énergie injectée, ou produite,

par le forçage. Cette approche est donc très proche de celle conduisant au terme ILF (et

plus généralement au terme ALF). Avec (7.37), le coefficientA de l’équation (7.38) est :

A= ¹

2τ

_r

_k

† r

k

_r

−1

. (7.40)

La production du forçage n’est pas explicitement imposée ici, mais ce sont les paramètres

k

_r^†

et τ

_r

qui en déterminent le montant moyen. À l’équilibre, cette production (équation

7.36) est entièrement balancée par la dissipation, et donc :

ε= ¹

τ

_r

^(k

^r†

−k

_r

). (7.41)

En substituant (7.41) dans (7.40), l’expression (7.39) du coefficient A du forçage linéaire

isotrope de Lundgren (2003) est recouvrée.

Équations du forçage linéaire dans l’espace spectral

On donne ici les équations du forçage linéaire dans l’espace spectral. Lorsque la

tur-bulence est homogène, la vitesse s’écrit u

_i

= U

_i⁰

+u

^′_i

avec U

_i⁰

un vecteur constant (dans

l’espace et dans le temps). Le gradient de vitesse moyenne est également constant dans

l’espace, et noté λ

_ij ^def

= ∂u

_i

/∂x

_j

. De même, A

_ij

est homogène et la moyenne f est nulle.

L’équation pour la vitesse fluctuante est donc :

∂u

^′_i

∂t ^+u

^′j

∂u

^′_i

∂x

_j

⁼−¹_ρ∂x^∂p

^′ i

+ν^∂

2

u

^′_i

∂x

²_j

−(λ

_ij

−A

_ij

)u

^′_j

. (7.42)

On voit bien que les coefficients A

_ij

du forçage contribuent au bilan de la même manière

que le gradient moyen λ

_ij

. Physiquement, ces deux tenseurs sont néanmoins bien distincts

puisqu’aucune contrainte d’incompressibilité ne s’applique à A, en particulier il peut être

isotrope.

Notons ub la transformée de Fourier de u

^′

. L’équation de la vitesse fluctuante dans

l’espace spectral est (∗ désigne le complexe conjugué) :

_∂

∂t ^+νκ

2

+U

_j⁰

κ

_j

b

u

_i

+P

_ij

λ

_jl

−A

_jl

b

u

_l

=−iP

_ij

κ

_l

Z

κ+p+q=0

ub

_j^∗

(p)ub

_l^∗

(q)dpdq. (7.43)

Dans cette équation, la pression a été éliminée du bilan – en la substituant par son

expres-sion obtenue en prenant la divergence de l’équation (7.42) – ce qui a pour effet de projeter

les variables non colinéaires à ub sur le plan orthogonal à κ(contrainte de continuité), par

l’opérateur de projectionP

_ij

(équation 2.43). C’est le cas du terme non linéaire au membre

de droite mais aussi des termes de forçage linéaire (par le tenseur gradient λet par le

ten-seurA), au membre de gauche. La dynamique du tenseur spectral des corrélations doubles

c

R

ij

(κ)

^def

= hub

i

(κ)ub

j

(−κ)iest donnée par :

_∂

∂t^+2νκ

2

c

R

ij

(κ)+P

im

λ

ml−

A

_ml

c_R

_jl

_(κ)+P

_jm

_λ

_ml−

_A

_ml

c_R

_il

_{(κ) =}^Z

κ+p+q=0

T

ij

(κ,p,q),

(7.44)

avec T

_ij

(κ,p,q) le terme de transfert triadique dont l’explicitation conduit au membre de

droite de (2.46) (p. 21).

Pour une turbulence isotrope, on aλ

_ij

= 0 etA

_ij

=Aδ

_ij

. En prenant la trace de (7.44)

puis en intégrant sur la sphère de rayonκ=kκk, on déduit l’équation du spectre en module

(équation 2.50) pour une THI forcée linéairement (Rosales et Meneveau, 2005) :

_∂

∂t^{+ 2νκ}

2

−2A

E(κ) =T(κ), (7.45)

avec T(κ) le terme de transfert définit par (2.53). L’effet du forçage est celui d’une

défor-mation isotrope. Tous les nombres d’onde sont forcés, d’autant plus que la densité spectrale

d’énergie turbulente E(κ) est importante.

7.1.5 Formulation du forçage dans un référentiel quelconque

En utilisant les équations (7.13) et (7.21), le forçage linéaire anisotrope s’écrit :

f =A(ue− huei) + ¹

τ

_v

^(u

†

− huei), (7.46)

avec A défini de manière implicite par :

AR

r

+ (AR

_r

)

^T

= ¹

τ

_r

^(R

†

r

−R

_r

). (7.47)

R

_r

est le tenseur des contraintes de Reynolds résolues, R

^†_r

est le tenseur des contraintes

résolues cibles et u

^†

est le vecteur vitesse moyenne cible. Si l’on ne force pas la vitesse

moyenne (équation 7.23), le second terme du membre de droite de (7.46) est nul.

On se place dans le cadre suivant (l’exposant⋆indique que la grandeur est perçue dans

le référentiel non galiléen R

⋆

) :

(i) le filtre LES est isotrope,

(ii) u

^†

est tel que :

u

^†

=Q

^T

(u

^†

)

^⋆

+Ω∧x

^⋆

7.1Dérivation du Forçage Linéaire Anisotrope 177

(iii) R

^†r

est objectif :

R

^†_r

=Q

^T

(R

^†_r

)

^⋆

Q, (7.49)

(iv) les paramètres τ

_v

etτ

_r

sont des scalaires objectifs :

τ

_v

=τ

_v^⋆

, τ

_r

=τ

_r^⋆

. (7.50)

Avec l’hypothèse (i), on peut facilement vérifier (grâce aux équations 3.6, 3.25, 3.26,

4.83) qu’on a, par changement de référentiel, les propriétés suivantes :

huei=Q

^T

(heu

^⋆

i+Ω∧x

^⋆

), (7.51)

(ue− huei) =Q

^T

(eu

^⋆

− hue

^⋆

i). (7.52)

La vitesse filtrée fluctuante est objective, et par suite, le tenseur des contraintes de Reynolds

résolues est objectif :

R

^⋆_r

=QR

_r

Q

^T

. (7.53)

Les hypothèses (ii) et (iii) ne sont pas très restrictives en pratique. Typiquement, u

^†

peut être la vitesse moyenne, exacte ou filtrée par un filtre spatial isotrope, d’un

écoule-ment quelconque. De même, R

^†_r

peut être défini comme le tenseur de Reynolds, exacte

ou uniquement sa partie résolue issue de l’application d’un filtre isotrope à un écoulement

quelconque. Le modèle (7.18) peut également être utilisé à condition que le modèle pour

les contraintes de sous-maille τ soit objectif (c’est le cas du modèle de Smagorinsky –

paragraphe 4.3.3.1–, utilisé dans ce chapitre).

L’hypothèse (iv) sera quant à elle vérifiée pour l’ensemble des paramètres τ

_v

,τ

_r

utilisés

dans ce chapitre.

D’après (7.48), (7.50) et (7.51), la partie moyenne de f (second terme du membre de

droite de 7.46) est objective.

Examinons maintenant l’objectivité de A, qui est définie implicitement par le système

linéaire (7.47). Si ce système est inversible, il existe une fonctiong telle que :

A=g(R

_r

,R

^†_r

, τ

r

).

CommeR

_r

,R

^†r

etτ

_r

sont objectifs (équations 7.49, 7.50 et 7.53), on a de plus :

A

^⋆

=g R

^⋆_r

,(R

^†_r

)

^⋆

, τ

_r^⋆

. (7.54)

D’autre part, l’objectivité deR

_r

,R

^†_r

etτ

_r

permet de réécrire (7.47) sous la forme :

QAQ

^T

R

^⋆_r

+ (QAQ

^T

R

^⋆_r

)

^T

= ¹

τ

_r

^(R

^†r

⁾

⋆

−R

^⋆_r

,

soit :

QAQ

^T

=g R

^⋆_r

,(R

^†_r

)

^⋆

, τ

_r^⋆

(7.55)

(cela montre que g est une fonction isotrope – sujette au théorème de représentation de

Smith, 1971, en particulier –, car elle vérifieQg(R

_r

,R

^†_r

, τ

r

)Q

^T

=g(QR

_r

Q

^T

,QR

^†_r

Q

^T

, τ

r

)).

En soustrayant (7.54) et (7.55), on montre que le tenseur Aest objectif.

Comme la vitesse résolue fluctuante est également objective (équation 7.52), la partie

fluctuante de f est objective, à l’instar de sa partie moyenne. Le terme de forçage ALF

est donc objectif. Sa formulation est la même dans tous les référentiels sous les hypothèses

(i–iv).

7.2 Validation et paramétrisation du forçage ALF

Dans le document Modélisation des écoulements turbulents en rotation et en présence de transferts thermiques par approche hybride RANS/LES zonale (Page 193-197)