Formulation du Forçage Linéaire Anisotrope (ALF)

Le paragraphe précédent a montré que l’analyse des effets statistiques d’un forçage

vo-lumique donnait des informations très utiles et que de ce point de vue, il était important de

considérer à la fois l’effet du forçage sur l’écoulement moyen mais aussi sur les contraintes

de Reynolds. En effet, si la force de rappel est fluctuante, un terme de production

sup-plémentaire P

_ij^f

entre dans le bilan des contraintes résolues. Dans le cadre d’un couplage

RANS/LES zonal, ce terme de production pourrait permettre d’amplifier ou d’amortir les

fluctuations turbulentes en rendant consistants les moments au second ordre résolus dans

le calcul RANS et dans le calcul LES.

On propose ici d’utiliser une force de rappel fluctuante sous la forme générale suivante :

f

_i

=A

_ij

ue

_j

+B

_i

, (7.13)

avec A

_ij

un tenseur d’ordre deux symétrique et B

_i

un vecteur. On peut noter que le

forçage (7.6) considéré au paragraphe précédent est de cette forme (pourA

_ij

=−

1

τf

δ

_ij

et

B

_i

=

_τ¹

f

u

_i^{RAN S}

), de même que le forçage de Laraufieet al.(2011) (pourA

_ij

=r

_LDS

δ

_i2

δ

_j2

).

Le forçage de Spille-Kohoff et Kaltenbach (2001) peut également s’écrire sous la forme

générique (7.13), mais pour A

_ij

= r

_SKK

δ

_i2

δ

_j1

, c’est-à-dire que le tenseur A

_ij

n’est pas

symétrique avec ce forçage. La caractéristique principale de la force générale (7.13) est

qu’elle est linéaire en la vitesse. De ce fait, elle est étroitement liée au terme de forçage

linéaire introduit par Lundgren (2003) pour maintenir une turbulence isotrope à l’équilibre.

Ce point est développé au paragraphe suivant.

Si l’on suppose queA

_ij

etB

_i

sont déterministes, la partie moyenne def

_i

, qui contribue

au bilan de quantité de mouvement moyen, est :

f

_i

=A

ijh

ue

_j

i+B

_i

, (7.14)

et la partie fluctuante def

_i

, non nulle, est :

Par suite, la force (7.13) contribue au bilan des contraintes résoluesu

′

i

u

′

j r

en faisant

appa-raître le terme (équation 7.4) :

P

_ij^f

=A

_ik

u

′

j

u

′

kr

+A

_jk

u

′

i

u

′

k_r

. (7.15)

Si l’on souhaite faire tendre les contraintes résolues vers un niveau « cible » u

^′_i

u

^′_j^†

r

, un

modèle simple pour P

_ij^f

est :

P

_ij^f

= ¹

τ

_r

^(u

^′i

^u

^′j † r

−u

′ i

u

′ j r

), (7.16)

avecτ

_r

un paramètre libre fixant l’intensité du terme de rappel, et qui a la dimension d’un

temps. Les équations (7.15) et (7.16) définissent un système linéaire de six équations (pour

les six composantes distinctes de P

_ij^f

) à six inconnues (les six composantes distinctes de

A

_ij

), qui s’écrit :

A

_ik

u

′ j

u

′ kr

+A

_jk

u

′ i

u

′ kr

= ¹

τ

_r

^(u

^′i

^u

^′j † r

−u

′ i

u

′ j r

). (7.17)

Dans le cadre d’un couplage RANS/LES, on peut faire l’approximation suivante pour les

contraintes résolues cibles :

u

^′_i

u

^′_j^†

r

=u

^′_i

u

^′_j^{RAN S}

− hτ

_ij

i, (7.18)

avec hτ

_ij

i la moyenne statistique du tenseur de sous-maille, qui donne une approximation

de la contribution des échelles de sous-maille aux contraintes de Reynolds. Le système

(7.17) s’écrit alors :

A

_ik

u

′ j

u

′ kr

+A

_jk

u

′ i

u

′ k_r

= ¹

τ

_r

^(u

^′i

^u

^′j RAN S

− hτ

_ij

i −u

′ i

u

′ j r

). (7.19)

Pour construire ce système, les termes u

′

i

u

′

j r

et hτ

_ij

i doivent être estimés, ce qui est fait

en pratique grâce à un filtrage spatial (pour les cas homogènes) et/ou temporel (pour les

cas stationnaires) de l’écoulement. Le système (7.19) est ensuite inversé par une méthode

directe, de manière à déterminer les coefficients A

_ij

du forçage. L’inversion peut se faire

localement, dans chaque cellule de la zone de recouvrement RANS/LES, ce qui demande

peu d’opérations (O(N) avec N le nombre de cellules dans la zone de recouvrement).

1

Il reste à prescrire l’effet moyen du terme de forçage, ce qui achève de le déterminer.

Comme pour les forces de rappel de type (7.7), on peut proposer que le forçage fait tendre

la vitesse moyenne hue

ii

vers une valeur cible u

_i†

:

f

_i

= ¹

τ

_v

^(u

^i†

− hue

ii

), (7.20)

avec τ

_v

l’échelle de temps du forçage de la vitesse moyenne. Dans ce cas, une fois les

coef-ficients A

ij

déterminés, les équations (7.14) et (7.20) permettent de définir explicitement

les coefficients B

_i

:

B

_i

= ¹

τ

_v

^(u

ⁱ

†

− hue

ii

)−A

_ij

hue

ji

. (7.21)

Dans le cadre d’un couplage RANS/LES zonal, on prendra u

_i†

=u

_iRAN S

.

1. Dans notre implémentation, les équations du système (7.17) et les inconnuesA

ij

étaient numérotées

dans l’ordre 11,22,33,12,13,23. L’inversion était réalisée par la méthode LU. Aucun problème de stabilité

numérique n’a été rencontré.

7.1Dérivation du Forçage Linéaire Anisotrope 173

On peut également envisager de ne pas forcer la vitesse moyenne, en la laissant s’ajuster

aux contraintes de Reynolds forcées à leur niveau RANS par (7.19). Dans ce cas, on a :

f

_i

= 0, (7.22)

et donc :

B

_i

=−A

_ij

hue

_j

i. (7.23)

La question du forçage de la vitesse moyenne est développée dans la remarque plus bas. Il

ressort que pour un écoulement homogène, le forçage moyen devrait être nul mais que dans

le cas général, un forçage moyen non nul permet de compenser les erreurs de modélisation

entre les domaine RANS et LES.

Que l’on utilise le modèle (7.20) ou (7.22), cette seconde étape achève de déterminer le

terme de forçage volumique proposé. Les coefficientsA

_ij

etB

_i

du forçage sont implicitement

déterminés par des fonctions simples (équations 7.19 et 7.20 ou 7.22), qui ne dépendent

que de statistiques et non pas de réalisations aléatoires, en accord avec l’hypothèse de

déterminisme (équations 7.14 et 7.15) de ces coefficients.

Le terme de forçage (7.13) est défini comme une fonction linéaire de la vitesse et il est

construit de manière à forcer la vitesse moyenne et l’ensemble des contraintes de

Rey-nolds, quelle que soit l’anisotropie de la turbulence. Il est donc qualifié deForçage Linéaire

Anisotrope dans la suite, ou, de manière plus synthétique, de ALF (Anisotropic Linear

Forcing).

Remarque (Forçage de la vitesse moyenne). On note l’équation de Navier–Stokes sous la

forme symbolique :

N S(u, p) = 0.

Sur une zone de recouvrement RANS/LES avec forçage volumique, les équations modèles sont :

N S(eu,pe) +∇·τ−f = 0 (LES forcée), (7.24)

N S(u, p) +∇·R= 0, (RANS), (7.25)

avecτ le tenseur de sous-maille,f le terme de forçage etRle tenseur de Reynolds. En appliquant

l’opérateur de moyenne de Reynolds à (7.24) et l’opérateur de filtrage à (7.25), on obtient (sous les

hypothèses classiques de commutation de la dérivation avec l’opérateur de moyenne de Reynolds et

avec l’opérateur de filtrage) :

N S(eu,pe) +∇·τ+∇·R

r

−f = 0, (7.26)

N S^(eu,ep) +∇·R^e +∇·τ

m

= 0, (7.27)

avec :

τ =u^⊗u−ue⊗ue (contraintes de sous-maille moyennes), (7.28)

R

r

=eu⊗ue−ue⊗ue (contraintes de Reynolds résolues), (7.29)

e

R=_u^_{⊗u−u^⊗u (contraintes de Reynolds filtrées), (7.30)}

τ

m

=u^⊗u−u^e⊗u^e (contraintes de sous-maille du champ moyen). (7.31)

En définissant l’opérateur de moyenne de Reynolds comme une moyenne d’ensemble (équation 2.12)

et l’opérateur de filtrage comme un produit de convolution (équation 4.62), ces deux opérateurs

commutent. Cela implique notamment N S(ue,pe) = N S^(eu,ep), et donc, en soustrayant (7.26) et

(7.27), on obtient :

f =∇·(R

_r

−R^e) +∇·(τ−τ

m

). (7.32)

D’après leur définition et en raison de la commutation des opérateurs de moyenne et de filtrage,

une application pratique de couplage RANS/LES zonal, R et τ sont modélisés et les contraintes

ne s’annulent pas a priori. C’est donc l’expression (7.32), trop complexe pour être calculée

directe-ment (en particulier le tenseurRe qui demande à connaître explicitement le filtre LES), qu’il faut

modéliser. En raison du terme de rappel des contraintes de Reynolds résolues (équation 7.16), on

peut faire l’approximation :

R

r

+τ=R,

⇒ f =∇·(R−R^e)−∇·τ

m

. (7.33)

L’expression (7.20) modélise principalement le premier terme, qui ne peut pas être calculé

explici-tement lorsque le filtre LES est inconnu. Le second terme pourrait être modélisé par un modèle de

sous-maille appliqué au champ moyen, mais on s’attend à ce que l’influence de ce terme soit très

faible. Il a donc été négligé ici, pour simplifier le modèle.

7.1.4 Formulation du forçage pour une turbulence homogène et isotrope.

Dans le document Modélisation des écoulements turbulents en rotation et en présence de transferts thermiques par approche hybride RANS/LES zonale (Page 190-193)