Les fonctions exponentielles

Parmi les modèles déterministes, les courbes de lactation modélisées par des fonctions exponentielles ont été largement utilisées. D’un point de vue historique, le premier modèle mathématique décrivant une courbe de lactation chez les vaches laitières, proposé par Brody et al. en 1923 était basé sur une fonction exponentielle. La production attendue E(y) du jour t y était décrite comme :

 t

E c t

y a e (2.2)

où a est le facteur d’échelle permettant d’ajuster la production au niveau de production du début de la lactation et c est associé à la phase descendante de la courbe de lactation, et peut être qualifié d’indicateur de persistance.

La principale limite de ce modèle était la non prise en compte de la partie ascendante de la courbe. Différentes propositions ont été faites pour améliorer cet aspect. La plus marquante est celle proposée par Wood (1967), aussi appelée fonction Gamma incomplète, qui a été l’une des plus communément employées dans les études portant sur la courbe de lactation. La production attendue E(y) du jour t est décrite comme :

 t

E _y _{a t e}b c t (2.3)

où a est le facteur d’échelle permettant d’ajuster la production au niveau de production moyenne en début de la lactation, les paramètres b et c étant associés respectivement à la phase ascendante et descendante de la courbe de lactation. Le succès de ce modèle non linéaire s’explique d’une part parce qu’il prend en compte la phase ascendante de la courbe, et d’autre part parce que les paramètres sont faciles à estimer après linéarisation de l’équation (l n y

 

 

e sont quant à elles à rapprocher de

l’évolution métabolique liée à la production laitière (néoglucogénèse suivie de la diminution de la contribution des réserves corporelles) et de l’activité mammaire (mobilisation progressive des cellules sécrétrices suivie de la décroissance exponentielle de leur nombre). Toutefois, ce modèle présente certaines limites. Par construction, la production du jour du vêlage est contrainte à être nulle. Cobby et Le Du (1978) mentionnent une surestimation de la production en début de lactation et sous-estimation du pic de lactation. Dhanoa (1981) ainsi que Goodall et Sprevak (1984) indiquent des problèmes de corrélations fortes entre estimés des paramètres pour le premier, et entre les résidus pour les seconds. Par ailleurs, les

tentatives d’application de cette équation à la description de l’évolution des taux ont été peu fructueuses, donnant des ajustements médiocres ce qui est toutefois logique car l’évolution est inverse.

Pour dépasser ces limites, de nombreux auteurs ont proposé des améliorations du modèle de Wood afin d’augmenter sa flexibilité (Schaeffer et al., 1977 ; Cobby et Le Du, 1978 ; Dhanoa, 1981 ; Goodall, 1986 ; Grossman et al., 1986 ; Grossman et Koops, 1988 ). Trois types d’améliorations ont été apportés par les modèles dérivés de celui de Wood (Beever, 1991) :

 Une plus grande souplesse dans la modélisation des formes de courbe (Cobby and Le du, 1978 ; Papajcsik and Bodero, 1988).

 Une amélioration des propriétés mathématiques du modèle (diminution de la corrélation entre les paramètres du modèle (Dhanoa, 1981) et de la méthode d’estimation des paramètres (Cobby et Le du, 1978)).

 La création de modèles prédictifs intégrant des séries temporelles.

Avec le souci de disposer de modèles qui s’ajustent à chacune des phases de production (phase ascendante – pic – phase descendante), plusieurs auteurs ont proposé des modèles dits à compartiments ou multiphasiques. Ces modèles sont exprimés sous la forme de sommes de plusieurs fonctions qu’ils espèrent pouvoir interpréter à partir des caractéristiques de production à différentes périodes. Ainsi, ces modèles de type additif présentent l’avantage de ne pas contraindre la production initiale à être nulle (Dematawewa et al., 2007). Inspirés de l’équation de Wood (1967), Cobby et Le Du (1978) ont proposé par exemple, un modèle où la production attendue E(y) du jour t est décrite comme :

 t

E _y   _{a b t a e}c t _(2.4)

Comparativement au modèle de Wood (2.3), le déclin de la production laitière y est modélisé de façon linéaire plutôt que de façon exponentielle (Sherchand et al., 1995). Ce modèle permet notamment un meilleur ajustement aux performances du début de lactation, là où le modèle de Wood (2.3) sous-estimait le pic de lactation (Rowlands et al., 1982).

D’autres modèles à compartiments existent, comme celui de Grossman et Koops (1988). Ce dernier comprend 2 à 3 phases. La production y du jour t est définie par une somme de fonctions logistiques faisant intervenir la fonction tangente hyperbolique. Toutefois, ce type de modèle présente l’inconvénient de multiplier le nombre de paramètres à estimer par le nombre de phases décrivant la courbe de lactation et donc tend à accroître les problèmes d’estimation (Scott et al., 1996). En réponse aux critiques faites à ce modèle sur l’absence de lien avec les connaissances biologiques, Grossman et Koops (2003) ont proposé un nouveau modèle multiphasique (extension et reparamétrisation du modèle de 1988), avec 12 paramètres, qui se rapproche des modèles mécanistes de par l’interprétation biologique possible des paramètres de la courbe. Le modèle est construit autour des 3 phases de la lactation que sont la prolifération, l’apoptose et la gestation. Dematawewa et al. (2007) confirment le très bon ajustement obtenu avec ce modèle, mais nuancent les possibilités d’utilisation d’un tel modèle du fait de problèmes de convergence et de difficultés dans l’interprétation des paramètres obtenus.

Wilmink (1987) a proposé une fonction linéaire avec 3 (ou 4) paramètres dérivée du modèle de Cobby et Le Du (1978) pour décrire la courbe de lactation. La production attendue au jour t : E(y) est décrite comme :

 t

E c t

y   a b t d e (2.5)

Selon l’auteur, le paramètre a est associé au niveau de production, b à la phase décroissante de la production et d à l’augmentation de la production au cours de la phase ascendante. Ce modèle offre une flexibilité accrue par rapport au modèle de Cobby et Le Du (1978) en distinguant le coefficient associé au niveau de production initial de celui de la phase ascendante. Le coefficient c a été estimé à 0.05. Il correspond à la période du pic de lactation, soit environ 50 jours après la mise bas. Ce dernier coefficient peut ou non faire l’objet d’estimation spécifique, en fonction des résultats d’analyses préliminaires. Ainsi Olori et al. (1999) ont estimé ce coefficient à 0.061, Brotherstone et al. (2000) à 0.100 et 0.068 suivant le fichier de données et Silvestre et al. (2006) à 0.065. Brotherstone et al. (2000) soulignent l’importance de paramètre d dans la capacité du modèle de Wilmink à modéliser la production journalière en début de lactation.