Fonction de Green du domaine composite

  −Div σ_s(u^f_s) − ρ_sω²u^f_s= f_s dans Ωs t_s(uf s) = 0 sur Γsa γ−u^f_s= 0 sur Γsf

Des résultats du Ÿ5.1.3 on déduit l'équation intégrale de bord :

0 = U^G∗fs+ U^Gts(u^f_s), sur Γsf (5.48) et l'équation intégrale de représentation :

u^f_s= U^G_Ωsf_s+ U^Gt_s(u^f_s), dans Ωs. (5.49)

5.2 Fonction de Green du domaine composite

Les outils présentés dans la section précédente et la formulation par sous-structuration de la section Ÿ4.1 permettent désormais de construire eectivement le champ des déplace-ments dans la structure et le sol sous l'action d'un champ incident ou de forces volumiques imposées dans l'un ou l'autre des sous-domaines. La formulation variationnelle retenue pour la dénition des champs locaux, voir (4.10), permet en outre d'étendre la méthode à des forces ponctuelles dans D0

(Ω_b) ou D0

(Ω_s). Ainsi le problème variationnel global posé sur l'interface Γsf (4.15) peut servir à la construction numérique de la solution fondamentale uGc

du domaine composite sol-structure dans V(Ω0), Ω0= Ωb∪ Ω_s, en l'absence de perturbation dans le sol. Celle-ci peut être en fait identiée à la fonction de Green du domaine composite de référence déni dans la section Ÿ4.2. Dans toute la suite, on postulera l'existence d'une telle fonction. Elle est élastodynamique (voir la dénition (5.15)) dans Ω0/ {ξ}, où ξ est le

point d'application de la force unitaire ponctuelle dans D0

(Ωb)ou D0

(Ωs), et il est donc pos-sible de construire de façon formelle des équations intégrales de frontière et de représentation dans Ω0 utilisant cette solution. Elles vont nous permettrent ensuite de caractériser, sous la forme d'opérateurs intégraux, les opérateurs U0 ou Ui (sans perturbation du sol) introduits en Ÿ2.3 et Ÿ4.2, et ainsi de compléter la résolution numérique du problème stochastique déni au chapitre Ÿ3.

Dans cette section on commence donc par reformuler le problème de sous-structuration de la section Ÿ4.1 adapté au calcul de la fonction de Green du domaine composite de réfé-rence. Une fois celle-ci reconstruite sur l'interface Γsf par cette méthode, on montre qu'il est possible de représenter sa restriction au sous-domaine sol par une équation intégrale faisant intervenir la fonction de Green du demi-espace sol stratié sans perturbation. Cette repré-sentation permet ensuite de construire formellement la solution du problème de transmission initial de l'interaction sol-structure (2.32) sans perturbation du sol, par une équation inté-grale directe ou indirecte. Pour nir, on en déduit également une construction de l'opérateur U₀ sous forme d'opérateurs intégraux similaires à ceux utilisés dans la section Ÿ5.1.

Les notations utilisées dans cette section sont résumées sur laFIG.5.4 ci-dessous et sont compatibles avec celles introduites par ailleurs sur lesFIG.4.1 et 5.3. Le domaine composite de référence est donc ici Ω0 = Ωb∪ Ω_s dans lequel est plongée la surface non fermée Γsf. La surface libre de Ω0 est notée Γa= Γsa∪ Γ_ba avec par construction Γsa= Γ_saⁱ /s, où l'on rappelle que s = ∂Ω_sf ∩ Γ_saⁱ (voir la FIG. 5.3). La frontière du domaine de référence à l'inni est quant à elle Γs∞. Γba Γsa Γ_sf Ω Ω b s Γ_{s 8} Γ_a Γs

Fig. 5.4  Domaine composite sol-structure de référence non perturbé, notations. 5.2.1 Construction par sous-structuration

L'approche par sous-structuration du Ÿ4.1 permet donc de construire la fonction de Green du domaine composite sol-structure. Rappelons qu'elle conduit au problème variationnel (4.15) posé uniquement en terme de champs dénis sur Γsf : trouver Φ ∈ V(Γsf) tel que :

κb(Φ, Ψ) + κs(Φ, Ψ) = φb(Ψ) + φs(Ψ) + φ_i(Ψ), ∀Ψ ∈ V(Γsf)

où κbet κssont respectivement les impédances d'interface des sous-domaines sol et structure dénies en (4.13), φb et φs sont respectivement les forces induites par la structure et le sol sur l'interface Γsf dénies en (4.14), et φi est la forme linéaire des forces sismiques induites

sur Γsf, dénie en (4.15). On suppose alors : ui ≡ 0 dans Ωs; fb = δξ_bx.eb dénie dans D0

(Ω_b) et fs= δ_ξsx.e_s dans D0

(Ω_s). Formulation continue

Les forces induites sur l'interface Γsf par les champs locaux dans Ωb et Ωsrespectivement sont donc, d'après les dénitions (4.10) et (4.14) :

φb(Ψ) = u^b(Ψ)(ξ_b).eb

φs(Ψ) = u^s(Ψ)(ξ_s).es

pour tout champ Ψ ∈ V(Γsf). L'équilibre de l'interface Γsf s'écrit :

Problème 5.50 Pour tout ω ∈R, trouver Φ(ξ) ∈ V(Γsf) tel que pour tout Ψ ∈ V(Γsf) : κ_b(Φ, Ψ) +

K^GΦ, Ψ

Γsf = φ_b(Ψ) + φ_s(Ψ).

avec l'Eq.(5.46). En utilisant les résultats de la section Ÿ4.1.3, la fonction de Green du domaine composite de référence est reconstruite grâce à :

     u^Gc|_Ωb déf = u^Gc+ = u^f_b+ u^b(Φ) u^Gc|_Ωs déf_{= u}Gc− = u^f_s+ u^s(Φ) γ u^Gc± = Φ (5.51) où uf b et uf

s sont les champs locaux dans la structure et le sol respectivement, dénis en (4.10). us(Φ) et uf

s sont calculés par équations intégrales dans le sol suivant Ÿ5.1.5. On en déduit le vecteur-contrainte associé sur l'interface Γsf orienté par la normale extérieure au sous-domaine sol par :

t_s(u^Gc−) = t_s(u^f_s) + K^GΦ (5.52) où ts(u^f_s) est solution de l'Eq.(5.48). Par construction ts(u^Gc−) = −tb(u^Gc+). Lorsque la force unitaire est appliquée, par exemple, au sous-domaine structure, soit fs ≡ 0, on a u^f_s= t_s(u^f_s) = 0.

Fonction de Green approchée

La projection de Φ dans un sous-espace de dimension nie de V(Γsf), soit VP(Γsf), est notée ˜Φcomme dans la section Ÿ4.1.5 :

˜ Φ(x) = P X p=1 cp(ξ)Φp(x)

Si la fonction de Green approchée ˜uGc du domaine composite de référence est construite sous la forme (voir l'Eq.(4.18)) :

˜ u^Gc+(ξ, x) = P X p=1 cp(ξ)u^b_o(Φp)(x) + NA X A=1 αA(ξ)ϕ_A^b(x) (5.53) ˜ u^Gc−(ξ, x) = u^f_s(x; ξ) + P X p=1 c_p(ξ)u^s(Φ_p)(x) (5.54)

dans le cas d'une force ponctuelle unitaire appliquée au point ξ de Ω0, alors les coordonnées généralisées à valeurs complexes c(ξ) et α(ξ) sont déterminées par le système, non condensé sur l'interface : " K^ϕϕ_b −ω2M^ϕΦ_b −ω2M^Φϕ_b K^ΦΦ_b + Ks # α c  =Fϕ F^Φ  + 0 Fs  (5.55) où pour p, q ∈ {1, 2 . . . P } et A, B ∈ {1, 2 . . . NA}: [K^ϕϕ_b ]_AB = kb(ϕ_A^b, ϕ_B^b) = ω_A²− ω²+ 2iζAωωA
δ_AB (5.55a) [M^ϕΦ_b ]_Ap= m_b(ϕ_A^b, u^b_o(Φp)) = [M^Φϕ_b ]_pA (5.55b) [Ks]_pq=_K^GΦq, Φp  Γ_sf (5.55c) F_A^ϕ = hf_b, ϕ_A^bi_Ω b = ϕ_A^b(ξ).e_b (5.55d) F_p^Φ= hf_b, u^b_o(Φ_p)i_Ω b = u^b_o(Φ_p)(ξ).e_b (5.55e) F_s,p= hf_s, u^s(Φ)i_Ω s = − ht_s(u^f_s), Φ_pi_Γ sf (5.55f)

Il est ensuite possible d'obtenir, grâce à la solution approchée de l'Eq.(5.54), une projection du vecteur contrainte de ˜uGc sur Γsf dans le même sous-espace de dimension ni de V0(Γsf) que celui utilisé pour la discrétisation de l'opérateur de Steklov-Poincaré de l'Eq.(5.44) (ou pour la représentation en potentiel de simple couche ci-dessus) et la construction de uf

s par le système (5.48)(5.49). Celle-ci s'écrit :

t_s(˜u^Gc−) = t_s(u^f_s) +

P

X

p=1

c_pt_s(u^s(Φ_p)) (5.56)

5.2.2 Représentation par équations intégrales dans le sol Equations intégrales directes

La fonction de Green du domaine composite réduite au domaine sol, soit uGc−, est élastodynamique dans Ωs/ {ξ} si éventuellement ξ ∈ Ωs. On peut donc lui appliquer le théorème (5.18), et nous avons alors l'équation intégrale directe de frontière :

κu^Gc−(ξ, x; e) = κu^G(ξ, x; e) + U^Gt_s(u^Gc−)(ξ, x; e) + T^Gu^Gc−(ξ, x; e), x ∈ Γ_sf (5.57) L'équation intégrale directe de représentation correspondante est :

u^Gc−(ξ, x; e) = u^G(ξ, x; e) + U^Gts(u^Gc−)(ξ, x; e) + T^Gu^Gc−(ξ, x; e), x ∈ Ωs (5.58) La fonction de Green uG du demi-espace sol est nulle par dénition si ξ /∈ Ωs. Dans les équations (5.57)(5.58) uGc− et ts(u^Gc−)sont a priori inconnus sur Γsf. Néanmoins le résul-tat de la section précédente (application de la méthode de sous-structuration) nous donne γ u^Gc− et uGc− par un relèvement élastodynamique. En fait la représentation intégrale di-recte ci-dessus, Eq.(5.58), est équivalente à la représentation (5.51) dans le sol, où uf

s et u^s(Φ) sont évalués par équations intégrales comme dans la section Ÿ5.1.5.

Equations intégrales indirectes

Il apparaîtra utile dans la suite de construire la fonction de Green du domaine composite de référence sur l'interface Γsf par une représentation en potentiel de simple couche du sol. On note qGc la densité du potentiel telle que :

u^s(Φ) = U^Gq^Gc, dans Ωs (5.59)

où Φ est la solution du problème (5.50). Elle est obtenue de manière unique dans V0(Γ_sf) (voir le théorème (5.11)) par l'équation intégrale de première espèce :

U^Gq^Gc = Φ, sur Γsf (5.60)

pourvu que Φ soit donné dans V(Γsf). Le vecteur-contrainte associé sur Γsf orientée par la normale extérieure au sous-domaine sol est obtenu ensuite par :

t_s(u^s(Φ)) = − κ⁻+ T^G∗
qGc, sur Γsf (5.61) On en déduit alors la fonction de Green et le vecteur-contrainte associé sur l'interface Γsf :

γ u^Gc−= U^Gq^Gc (5.62)

t_s(u^Gc−) = t_s(u^f_s) + I_d− κ − TG∗
qGc (5.63) qui permettent de reconstruire la fonction de Green du domaine composite de référence réduite au sol par la représentation (5.58). Dans l'expression de ts(u^Gc−) ci-dessus, l'orien-tation de la normale est inversée par rapport à la dénition du théorème (5.21).

A partir de la donnée de qGc, on dénit alors :

Dénition 5.64 (tenseur de densité) Le tenseur de densité du potentiel de simple couche (5.59) représentant le tenseur de Green du domaine composite réduit au domaine sol est tel que ∀ (a, b) ∈R3×R3 :

Q^Gc(ξ, x) : (a ⊗ b) = q^Gc(ξ, x; a).b et vérie pour tout ξ ∈ Ωb :

U^Gc(ξ, x) = U^GQ^Gc(ξ, x), x ∈ Ωs

T^Gc(ξ, x) = κ − I_d+ T^G∗
QGc(ξ, x), x ∈ Γ_sf

On associe enn au tenseur de densité QGc relativement à la base (e1, e₂, e₃) de R3 l'opé-rateur QGc : V(Γsf) → V(Ωb) tel que :

u(ξ) = Q^Gcv(ξ) = Z

Γsf

Q^Gc(ξ, x)v(x) dS(x)

Il est borné grâce aux propriétés du potentiel de simple couche dans le sol. On montre maintenant que cet opérateur s'identie en fait à l'opérateur Ui introduit au chapitre Ÿ2.

5.2.3 Application à la résolution du problème de transmission par équa-tions intégrales

Les résultats des sections Ÿ5.2.1 et Ÿ5.2.2 ci-dessus nous permettent d'exprimer la fonction de Green du domaine composite sol-structure de référence sans perturbation dans V(Ω0). On peut alors dénir formellement les opérateurs de simple et de double couche associés à cette solution et dénis sur Γsf, ainsi que leurs traces et le potentiel de Newton. On les note, par analogie avec les notations de la section Ÿ5.1, respectivement UGc, TGc, UGc, TGc et U^Gc_Ω .

Représentation intégrale directe

Le problème de transmission caractéristique de l'interaction sismique sol-structure est donné par (rappel du chapitre Ÿ2, problème (2.32)) :

Problème 5.65 Pour tout ω ∈R, trouver u tel que : 





−Div σ₀(u) − ρ0ω²u = f dans Ω0

t(u) = 0 sur Γba∪ Γ_sa

[u] = u_i ; [t(u)] = −t_s(u_i) sur Γsf

pour le champ diracté total uddéni au paragraphe Ÿ2.1.3, et avec l'orientation des sauts compatible avec la dénition (5.10) . Si ui∈ V(Γ_sf) et ts(u_i) ∈ V⁰(Γ_sf), alors on en déduit la représentation intégrale suivante pour le champ diracté total :

ud= U^Gc_Ω f − U^Gcts(u_i) − T^Gcu_i, dans Ω0

et l'équation intégrale de frontière :

κγ₊u_d+ (I_d− κ)γ₋u_d= U^Gc∗f − U^Gct_s(u_i) − T^Gcu_i, sur Γsf

où les diérentes densités des potentiels de simple et de double couches dans ces équations ont pour support l'interface sol-structure Γsf. L'orientation de la surface Γsf est ici choisie en accord avec le Ÿ2, c'est-à-dire que le domaine Ω+ correspond ici au domaine structure et le domaine Ω− correspond ici au domaine sol ; la surface Γsf est orientée par la normale extérieure à Ωb. Compte tenu de la dénition de l'Eq.(2.8), nous avons donc la :

Proposition 5.66 Le champ de déplacements total dans le système couplé sol-structure est :

u = U^Gc_Ω f , dans Ω0

pour une force imposée f ∈ V0(Ω0), et :

u_b = −U^Gct_s(u_i) − T^Gcu_i, dans Ωb

u_s= −U^Gct_s(u_i) − T^Gcu_i+ u_i, dans Ωs

Représentation intégrale indirecte

L'introduction du tenseur de densité du potentiel de simple couche pour la fonction de Green du domaine composite sol-structure nous permet d'obtenir une représentation intégrale indirecte du champ des déplacements total dans la structure ou le sol ne dépendant plus que de ui, et non pas ts(u_i). Cette expression est intéressante pour l'analyse spectrale car en général seule la fonction d'auto-corrélation de ui est connue alors que sa fonction d'inter-corrélation avec ts(u_i) n'est jamais caractérisée. Le résultat obtenu est résumé dans la :

Proposition 5.67 Le champ des déplacements total dans le système couplé sol-structure est :

u = U^Gc_Ω f , dans Ω0

pour une force imposée f ∈ V0(Ω₀), et :

u_b = Q^Gcu_i, dans Ωb

us = Q^Gcu_i+ u_i, dans Ωs

pour un champ incident imposé ui ∈ V(Γ_sf).

Preuve  Le champ diracté total au point ξ dans la direction e est d'après le théorème (5.17) : ud(ξ).e = − hts(ui), u^Gc−i_Γ

sf + hui, ts(u^Gc−)i_Γ

sf (a)

De la dénition de la densité du potentiel de simple couche représentant uGc−, on déduit : hui, ts(u^Gc−)i_Γ sf = −^Dui, T^G∗q^GcE Γ_sf +^Dui, (Id− κ) q^GcE Γ_sf = −^D_T^Gui, q^GcE Γ_sf +^D(Id− κ) ui, q^GcE Γ_sf (b) Comme par ailleurs :

hts(ui), u^Gc−i_Γ sf =^Dts(ui), U^Gq^GcE Γ_sf =^D_U^Gts(ui), q^GcE Γ_sf (c) avec (b) et (c) on obtient : ud(ξ).e =^Dui, q^GcE Γ_sf −^D_TG ui+ U^Gts(ui) + κui, q^GcE Γ_sf (d)

Enn le deuxième terme du membre de droite de l'égalité (d) s'annule grâce à l'Eq.(5.35). Le résultat nal de la proposition est obtenu en faisant parcourir la base {e1, e2, e3}à e.  Remarquons que le résultat de la proposition est bien compatible avec les hypothèses du pa-ragraphe Ÿ3.1.1 : la restriction de l'opérateur QGcà H(Ωb)s'identie à Ui

2∈L2(H(Γsf), H(Ωb)), déni sans perturbation des modules du sol.

Cas d'une fondation supercielle

Dans le cas d'une fondation supercielle pour laquelle Γsf ⊂ Γ_sa, nous avons par dénition de la fonction de Green du domaine sol seul :

T^G∗ ≡ 0 et TG≡ 0 donc TGc(ξ, x) = −Q^Gc(ξ, x) et :

QGc≡ −TGc|_V(Ω

5.2.4 Application à la résolution du problème de couplage avec une hé-térogénéité du sol

La fonction de Green du domaine composite sol-structure non perturbé telle qu'elle a été construite aux paragraphes Ÿ5.2.1 et Ÿ5.2.2 permet également d'exprimer formellement l'opérateur U0 déni et utilisé dans la section Ÿ4.2 sous la forme d'un opérateur intégral ; on étend donc ici les notations introduites à la section précédente Ÿ5.2.3 pour le potentiel de Newton associé déni maintenant sur Ω0. Ainsi on note UGc

Ω0 le potentiel de Newton construit sur le domaine composite de référence Ω0 et sa fonction de Green uGc qui vérie la condition de surface libre sur Γa et la condition de décroissance (2.31) sur Γs∞ (voir la

FIG.5.4). On reprend également les notations du Ÿ5.1 pour les autres opérateurs associés. Représentation intégrale par un potentiel de Newton

D'après le théorème (5.21), u0 ∈ V(Ω₀) solution du problème (4.23) pour le domaine composite sol-structure de référence admet une représentation intégrale sous la forme d'un potentiel de Newton :

u0= U^Gc_Ω0(f + Φ) , dans Ω0 (5.69) Le champ des déplacements uf

0induit par f dans le domaine de référence sans la perturbation p_d est par cette même représentation intégrale :

u^f₀ = U^Gc_Ω0f , dans Ω0 (5.70) Avec ces résultats, on en déduit une représentation formelle sous forme d'opérateurs in-tégraux de l'opérateur U0. Si maintenant le domaine composite sol-structure de référence ci-dessus est couplé avec une hétérogénéité telle que représentée sur la FIG. 5.5 (voir égale-ment laFIG. 3.1 de la section Ÿ3.2), nous avons avec les résultats de la section Ÿ4.2 :

U₀ ≡ U^Gc_Ω 0 (5.71) lorsque ∂Ωd∩ Γ_a déf_{= Γ} σd= ∅. Ω Γa Ω_δ Γ_{s 8} 0

Fig. 5.5  Domaine composite sol-structure de référence couplé avec une hétérogénéité. remarque 5.3  Si Γσd6= ∅ alors u0 admet une représentation intégrale sous la forme de la somme d'un potentiel de Newton et d'un potentiel de simple couche sur Γσd. Avec Φ = (φ, τ ), φ ∈ V⁰(Ω0) et τ ∈ V0(Γσd) on a la :

 représentation intégrale indirecte :

u₀ = U^Gc_Ω0(f + φ) + U^Gcq_a, dans Ω0

où la densité du potentiel de simple couche qa ∈ V⁰(Γ_a) est solution de l'équation intégrale de deuxième espèce pour x ∈ Γa :

κ₀+ T^Gc∗a
q_a= τ − U^Gc∗(f + φ) le support de qa étant Γa. Le terme libre κ0 est ici déni par :

κ0u(ξ) = lim

ε→0

Z

S(ξ,ε)∩Ω0

T^Gc(ξ, x)u(x) dS(x)

où S(ξ, ε) désigne la sphère de rayon ε centrée en ξ, et la normale sur Γaest extérieure à Ω0;

 ou bien plus simplement la représentation intégrale directe : u₀ = U^Gc_Ω0(f + φ) + U^Gcτ , dans Ω0

où UGc est le potentiel de simple couche déni sur Γade noyau la fonction de Green uGc du domaine composite de référence 

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