Conclusion

Nous avons ici présenté les diérents axes d'approfondissement possibles pour le trai-tement du problème d'interaction sol-structure sous champ incident aléatoire et avec des caractéristiques du massif de sol adjacent à la fondation également aléatoires. Le cadre xé est celui des méthodes déjà développées au laboratoireMSS-MATpour l'analyse déterministe des phénomènes d'interaction sol-structure : sous-structuration dynamique et équations in-tégrales de frontière, implantées dans la famille de codesMISS-3D. Les dicultés principales sont liées à l'étude de la propagation d'ondes en milieux aléatoires, d'une part pour le champ sismique incident, et d'autre part pour les champs rayonnés par le mouvement de la

fondation qui interviennent dans l'expression générale de son impédance.

L'étude bibliographique présentée à la section Ÿ1.3 montre que la principale donnée dis-ponible permettant de caractériser l'aléa spatiale des tremblements de terre est leur fonction de cohérence transversale en surface. Elle n'est connue la plupart du temps que de manière empirique, sur la base d'enregistrements sismiques pour des événements passés, ou encore par des modèles paramétrés semi-empiriques. Cette donnée tient compte implicitement du phénomène de propagation en milieu hétérogène de l'onde sismique depuis sa source jus-qu'au site étudié et sut à caractériser les vibrations aléatoires générées dans un ouvrage particulier en termes de moyenne, écart-type et fonction de densité spectrale. Nous avons également présentés quelques méthodes simpliées qui permettent d'approcher ces gran-deurs pour la réponse des structures. L'objectif de la suite de ce travail est d'en donner une formulation générale non approchée qui tiennent compte de manière exacte  dans la limite des hypothèses physiques retenues pour cette étude  des phénomènes de couplage entre le sol et la structure, et permettent d'accéder à des grandeurs directement utilisables par un projeteur pour un dimensionnement industriel.

L'étude bibliographique présentée aux sections Ÿ1.5, Ÿ1.6 et Ÿ1.7 concernant la propaga-tion d'ondes élastiques en milieux hétérogènes déterministes ou aléatoires a montré que les résultats obtenus sont généralement limités à des congurations particulières du milieu de propagation, et aux types de sollicitions imposées (conditions aux limites ou chargements volumiques). Les méthodologies présentées permettent de mettre en évidence certains phé-nomènes caractéristiques tels que la diraction, la localisation ou le transport. Par exemple, en liaison avec la caractérisation de la propagation des ondes sismiques en milieux aléatoires, une approche du type transfert radiatif a permis de mettre en évidence le caractère universel de la répartition des énergies associées aux modes longitudinal et transversaux, en accord avec certaines observations courantes des sismologues. Néanmoins elles ne permettent pas d'établir des critères discriminatoires entre les diérents phénomènes an de pouvoir trai-ter un problème complexe donné, et encore moins de formuler correctement les transitions possibles entre ceux-ci. En particulier, il n'est pas possible de sélectionner, pour le champ rayonné dans le sol par le mouvement de la fondation qui conditionne le comportement vibratoire du système couplé sol-structure, un régime spécique entre les deux limites, lo-calisation d'une part et diusion d'autre part. On pourrait ainsi envisager qu'il s'établit un régime de localisation de l'énergie rayonnée entre la fondation et les hétérogénéités du sol proches de celle-ci, mais également un régime de diusion qui irradie l'énergie loin du site considéré. Les hypothèses spéciques aux approches développées, par exemple la distribu-tion aléatoires d'inclusions élastiques identiques pour l'étude de la diracdistribu-tion ou l'existence d'une échelle de séparation caractéristique ε pour l'étude de la localisation, sont en outre trop restrictives pour pouvoir être raisonnablemement invoquées dans notre cas. Dans la suite de ce travail, l'eort est porté sur le développement d'une modélisation robuste su-samment générale pour pouvoir aborder une large gamme de problèmes industriels pratiques par des méthodes numériques intensives, du type simulation de Monte-Carlo, sans avoir à trancher entre telle ou telle conguration particulière.

Formulation de l'interaction

sol-structure

Dans le chapitre précédent, nous avons introduit brièvement le modèle d'interaction sis-mique sol-structure utilisé dans cette étude. Il nous a permis d'identier les enjeux de la prise en compte de la variabilité spatiale du séisme et du sol et de présenter les méthodes construc-tives abordables pour traiter un tel système. En particulier, la complexité du problème traité ne permet pas d'envisager sa résolution par les méthodes analytiques classiques des équations diérentielles à coecients aléatoires et l'on se concentrera dans la suite de ce travail sur des approches par simulation numérique. La prise en compte des incertitudes liées à un modèle complexe de structures industrielles par une approche probabiliste, que ce soit pour les lois de comportement, les conditions aux limites, les conditions initiales ou encore les charge-ments, est un élément important de la simulation numérique [149, 148, 184] et fait l'objet de nombreux travaux de recherche (voir par exemple [191, 196, 72, 187, 162, 201, 202]). Dans le chapitre suivant, Ÿ3, on se restreint à deux types d'incertitude, l'une liée aux paramètres mécaniques du modèle, l'autre aux chargements sismiques, et l'on met en oeuvre quelques techniques de simulation probabiliste de ces incertitudes. Cette étape requiert tout d'abord la dénition précise du modèle déterministe retenu en vue de sa discrétisation numérique d'une part, et an de pouvoir étendre l'analyse en prenant en compte l'aléa du système cor-respondant d'autre part. L'objet de ce chapitre est de montrer que le problème d'interaction sol-structure peut rigoureusement se mettre sous la forme (voir l'Eq.(2.42)) :

−K(p_s)u = f_i(u_i)

avec ps les paramètres aléatoires du sol ; u_i le champ sismique également aléatoire et f_i linéaire ; K un opérateur linéaire, qui peut être inversé pour obtenir (voir l'Eq.(2.46)) :

u = Tⁱ(ps)u_i.

La première section de ce chapitre est donc consacrée à la formulation détaillée du problème d'interaction sol-structure sous sollicitation sismique considéré. On donne notam-ment les équations d'équilibre du système, les conditions aux limites qui lui sont imposés, ses équations de comportement, et la dénition des chargements pris en compte. La formu-lation transitoire initiale ainsi obtenue est reécrite, dans la section suivante, dans le domaine fréquentiel permettant de se ramener à un problème de transmission stationnaire pour le champ des déplacements diracté par l'interface entre le sol et l'ouvrage. L'existence d'une

solution pour ce problème est conditionnée par le comportement qui lui est imposé à l'in-ni dans le domaine sol non borné. Ainsi la dénition d'une condition de radiation à l'inni sous la forme d'une relation d'impédance d'onde plane constitue la principale diculté du modèle, mais la prise en compte de l'amortissement hystérétique dans le sol dans la formu-lation stationnaire permet de l'écrire plus simplement en terme énergétique. Cette condition assure l'existence d'au moins une solution au problème de transmission, et l'unicité est en-suite établie par le théorème de Lax-Milgram dans un cadre variationnel classique, décrit dans une troisième section. On en déduit également l'expression générique de la fonction de réponse en fréquence du système couplé sol-structure sollicité par un champ incident ou un champ de force. Cette formulation en terme d'opérateur permet d'introduire de façon naturelle l'aléa considéré dans ce travail : celui lié au chargement sismique d'une part et celui lié au sol d'autre part, qui intervient dans l'expression de la fonction de réponse en fréquence de tout le système.

L'analyse du problème de transmission déterministe modélisant l'interaction sismique sol-structure est conduite dans un certain soucis de rigueur mathématique, néanmoins les diérents résultats présentés sont classiques  au moins pour le cas de l'équation de Helm-holtz [17, 48, 52, 99]. L'objectif est de garder un caractère susamment général à la for-mulation an de montrer qu'il est possible de traiter les aspects probabilistes dans ce cadre sans pour autant simplier à l'extrême le modèle introduit. Cette approche nous permet par ailleurs d'anticiper sur la construction d'une approximation numérique de la solution du pro-blème de transmission déterministe pour chacune des réalisations de l'aléa. Les principales dénitions mathématiques auxquelles il est fait référence dans ce chapitre sont rappelées en Annexe A.