Dénition de la perturbation

Le domaine composite sol-structure Ω a sa frontière maintenant notée ∂Ω = Γa∪uavec ici Γa= Γ_sa∪ Γ_baet, formellement,u= Γ_s∞(voirFIG.3.1) la frontière à l'inni. On note par ailleurs s = ∂Ωsf ∩ Γ_saⁱ = Γ_saⁱ /Γsa. Il contient sur une zone donnée du sol une perturbation élastique, grande ou petite, des paramètres mécaniques du système composite, typiquement la densité et les modules de Lamé. Elle est donc représentée par un domaine ouvert borné de Ω noté Ω_d, de frontière ∂Ω_d, sur lequel les paramètres mécaniques du milieu composite réel s'écrivent :

p (x) = p₀(x) + p_d(x), ∀x ∈ Ω_d (3.39) où p désigne la densité ρ ou les modules de Lamé λ, µ; p0 désigne les paramètres mécaniques du milieu composite de référence sans perturbation, à savoir :

p (x) = p0(x), ∀x ∈ Ω/Ω_d (3.40)

Par la suite, on introduit le vecteur générique des paramètres mécaniques de la perturba-tion donné par p_d = (ρ_d, λ_d, µ_d), et déni sur Ωd à valeurs éventuellement dans C3 si l'on

Ω0

Γa

Ω_δ Γs

Γ_{s 8}

tient compte de l'amortissement. Avec ce choix de la dénition des paramètres mécaniques perturbés du sol p_d, l'opérateur associé est linéaire vis-à-vis de cette perturbation ce qui est essentiel pour la mise en oeuvre de la méthode de réduction ci-dessous.

Si l'hétérogénéité est de nature aléatoire, alors p_dest modélisé par un champ stochastique P(x)déni sur (A ,T,P ), du second ordre et centré, indexé sur Ωd à valeurs dans C3, non homogène, et dont on suppose connue la fonction d'auto-corrélation RP dénie sur Ωd×Ω_d à valeurs dans End(C3). Elle s'écrit :

R_P(x₁, x₂) =EP(x₁) ⊗ P(x₂)

On suppose en outre que les trajectoires x 7→ p_d(x; a), a ∈ A , des paramètres mécaniques du second ordre de la zone hétérogène sont dans L2 Ω_d,C3

ce qui se traduit pour le champ stochastique du second ordre P(x) par la condition suivante [192] sur sa fonction d'auto-corrélation : tr Z Ωd RP(x, x) dx < +∞ Opérateur associé

La formulation du couplage sol-structure nous a conduit au problème variationnel (2.38) correspondant à l'Eq.(2.42) en terme d'opérateur :

−Ku_d∗ = f⁰, ∀ω ∈R (3.41)

Avec les notations de l'Eq.(3.39), la forme sesqui-linéaire associée kΩ(u, v)peut être décom-posée en deux termes, respectivement k0 et kdavec :

k0(u, v) = −ω^2R_Ωρ0u.v dV +^R_Ωσ0(u) : (v) dV k_d(u, v) = −ω²R

Ω_dρ_du.v dV +R

Ω_dσ_d(u) : (v) dV (3.42) tous les deux continus sur V(Ω) × V(Ω). On identie maintenant les formes sesqui-linéaires k0(u, v) et kd(u, v) avec les fonctions à valeurs opérateurs ω 7→ −K0(ω)et ω 7→ −dK(ω) deR dans L (V(Ω), V0(Ω))telles que pour tous les u et v de V(Ω) on ait :

− hK₀u, vi_Ω = k₀(u, v)

− hdKu, vi_Ω = k_d(u, v) (3.43)

Le problème (3.41) dans D0

(Ω)est alors reécrit en terme d'opérateurs sous la forme :

− [K₀+dK] u_d∗ = f⁰ (3.44)

dKreprésente la perturbation de l'opérateur K0 associé par dénition au système composite de référence (non perturbé) induite par une perturbation des modules du sol. Cet opérateur est linéaire vis-à-vis de ces perturbations, propriété essentielle pour la mise en oeuvre de la méthode de réduction développée par la suite.

Conséquences pour la résolution du problème de transmission

Dans toute la suite on s'intéresse au cas oùdKest un opérateur aléatoire, c'est-à-dire que les perturbations des modules du système de référence induites par l'hétérogénéité sont mo-délisées par des processus stochastiques indexés sur le domaine occupé par l'hétérogénéité.

Ici les techniques classiques mises en oeuvre dans le paragraphe Ÿ3.1 pour le cas d'un charge-ment aléatoire (champ sismique incident) ne s'appliquent pas car la solution de l'Eq.(3.44) n'est pas linéaire vis-à-vis des paramètres aléatoires introduits. Ce problème entre de façon générale dans le cadre des équations diérentielles à coecients de type processus aléatoires (Il est en eet toujours possible de ramener l'Eq.(3.44), écrite dans le domaine temporel, à une équation diérentielle du premier ordre homogène avec conditions initiales particu-lières). On a vu au premier chapitre Ÿ1 que les méthodes classiques de résolution  dans un certain sens, et dans la mesure du possible  de tels problèmes commencent par la réduc-tion de la dimension aléatoire de ces processus en se ramenant à des coecients de type variables aléatoires. Le type d'information probabiliste que l'on peut obtenir ensuite pour leur(s) processus solution(s) (recherché(s) dans L2(A ⊗ Ω), s'il(s) existe(nt)) dépend bien sûr de l'information probabiliste dont on dispose pour ces coecients (et éventuellement pour les conditions initiales si elles sont aléatoires, cas que l'on ne considère pas ici). L'in-formation la plus complète permettant de décrire entièrement le processus solution, déni sur le même espace probabilisé que les coecients aléatoires du problème, est son système de lois marginales. On ne peut espérer l'obtenir que si le système de lois marginales des co-ecients variables aléatoires est lui-même entièrement connu, ce qui dans la pratique n'est jamais le cas. On se limitera donc aux seuls produits du second ordre (moyenne, écart-type) de la solution  mais dans ce cas également la connaissance de la loi de probabilité des coecients aléatoires reste nécessaire. Donc si l'on ne dispose pas d'information sur la loi de probabilité de ses coecients, le problème est par dénition insoluble. Si par contre les coecients sont des processus bruits blancs normalisés ou gaussiens stationnaires, alors on sait caractériser dans certains cas la loi de probabilité de la solution, par exemple par la méthode de l'équation de Fokker-Planck (voir le chapitre Ÿ1).

Pour nos applications, a priori seules les fonctions d'auto et d'inter-corrélation des per-turbations des modules du sol dans la zone hétérogène sont connues (ainsi en fait que leurs moyennes, nulles par dénition de P(x)). La méthode constructive la plus générale dans ce cas de gure est la méthode de Monte-Carlo. Si l'on ne s'intéresse qu'aux produits du second ordre de la réponse, et moyennant certaines hypothèses sur les coecients aléatoires, il est toujours possible d'obtenir des informations par des développements purement asymp-totiques, par exemple par une méthode de perturbations ou un développement de Neumann. Néanmoins les solutions de référence permettant de valider ces approches seront toujours construites par une simulation du type Monte-Carlo : par exemple un sous-ensemble du système de loi marginale de la réponse, sa moyenne, sa fonction d'auto-corrélation, etc.

La suite de cette section se divise donc comme suit : on introduit une méthode de réduc-tion de la dimension aléatoire des paramètres mécaniques (champs stochastiques) associés à l'opérateur aléatoire {dK(a); a ∈A } ; cette technique est appliquée au système considéré (3.44) an d'en obtenir un modèle réduit sur l'espace probabilisé (A ,T,P ) ne dépendant plus que de variables aléatoires. De ce modèle réduit sont déduites quelques représentations constructives de la solution du problème de transmission en fonction des variables aléa-toires introduites. Celles-ci peuvent être utilisées pour calculer ses moments du second ordre ou simuler des réalisations par la méthode de Monte-Carlo, mais dans le cas de perturba-tions gaussiennes ou faibles on peut obtenir ces caractéristiques directement sous forme de développements algébriques.

3.2.2 Réduction du modèle par un développement de Karhunen-Loeve