Décomposition de domaine et sous-structuration

L'objectif de cette section est de donner une formulation de ce problème par sous-structuration permettant de construire sa solution numérique par éléments nis classiques sur Ω_d, et équations intégrales et éléments nis de frontière sur Ω0. Nous proposons à cet eet une approche originale qui permet de s'aranchir de l'assemblage d'une matrice d'impédance de bord pour la zone hétérogène. Elle peut être vue comme une méthode de discrétisation de l'équation de Lippmann-Schwinger pour laquelle la perturbation des paramètres mécaniques est discrétisée par une méthode d'éléments nis usuelle tandis que la propagation dans le domaine de référence est traitée par une méthode d'équations intégrales. Cette approche a été choisie car elle constitue une extension naturelle de la méthode de sous-structuration présentée dans la section précédente à des interfaces volumiques. Elle a été récemment mise en oeuvre pour la propagation des ondes acoustiques dans un milieu incluant une distribution aléatoire d'hétérogénéités (inclusions ou ssures à petite échelle) par Muijres et al. [155]. Elle s'apparente aux méthodes de domaines ctifs, ou embedding methods (Glowinski et al. [78]), qui consiste, pour des géométries complexes, à étendre la solution du problème aux limites recherchée à un domaine de géométrie plus simple en introduisant une nouvelle inconnue (typiquement un multiplicateur de Lagrange) an de ne prendre en compte qu'au sens faible la condition aux limites imposée. On trouvera par exemple dans Joly et al. [101] une application récente au cas d'une ssure en élastodynamique transitoire. On notera également les similarités avec les méthodes proposées par Ben Dhia [58, 16] et Lions [135], dont nous nous inspirons pour certains éléments d'analyse mathématique de l'approche introduite ici.

Principe

Pour simplier l'exposé, on suppose dans toute la suite que Γσd = ∅. Nous donnerons néanmoins, sous forme de remarques, les éléments nécessaires pour traiter le cas Γσd 6= ∅. Le problème (4.22) est reécrit sous la forme de deux problèmes couplés sur l' interface volumique généralisée Σ = Ωd par un champ Φ dans H(Σ) arbitraire, par analogie avec les problèmes locaux (4.2) et (4.3) de la méthode de sous-structuration présentée à la section Ÿ4.1. Ainsi en notant u0 = u|_Ω0 et ud = u|_Ωd où u est solution du problème (4.22) on se ramène à :

Problème 4.23 Pour tout champ de force f, trouver Φ, u0(Φ) et ud(Φ) tels que : 

−Div σ₀(u₀) − ρ₀ω2u₀ = f + Φ dans Ω0

t0(u0) = 0 sur Γa

où Γa est orientée par la normale extérieure à Ω0, 

−Div σ_d(u_d) − ρ_dω²u_d = −Φ dans Ωd

t_d(u_d) = 0 sur ∂Ωd

où ∂Ωd est orientée par la normale extérieure à Ωd, et enn : u0(Φ) − π⁰_du_d(Φ) = 0 dans Σ

Remarquons que sur ∂Ωd les perturbations des modules du sol p_d(x) sont nulles par dé-nition ; d'où la condition td(u) = 0 sur ∂Ωd. π0

d est l'opérateur de jonction [58] déni comme suit : pour tout v dans V(Ωd), π0

dv est sa projection orthogonale, au sens du pro-duit scalaire L2, dans l'espace des restrictions à Ω_d des champs de V(Ω0), noté V(Ω0|Ω_d). En dimension innie, dans le cadre continu, l'opérateur de jonction est égal à l'identité, par contre ce ne sera plus le cas en dimension nie, notamment pour la discrétisation du problème variationnel (4.24) ci-dessous. Notons enn que le champ d'interface Φ est ici un champ de force volumique, contrairement à celui de la section précédente qui est un champ de déplacement. L'objectif de cette section est de donner une formulation variationnelle de ce problème éliminant l'inconnue u0 an de pouvoir discrétiser Φ et u_d sur Ω_d uniquement. Approche formelle

Pour cela, on commence par reécrire le problème (4.23) ci-dessus sous forme variation-nelle, ce qui conduit au problème (4.24) ci-dessous. Formellement, il peut être résolu de la manière suivante. La solution du premier problème local relatif au sous-domaine composite de référence Ω0 est construite à partir des résultats du chapitre Ÿ2. On y a en eet établi l'existence d'un opérateur de souplesse noté U0 tel que l'on peut écrire u0(Φ) = U₀f + U₀Φ. En introduisant U0 dans la formulation variationnelle (4.24) de (4.23), on obtient le pro-blème (4.28) ci-dessous. La solution du deuxième propro-blème local relatif au sous-domaine Ω_d peut elle être construite de deux manières :

 par une méthode d'éléments nis usuelle, conduisant à un système de la forme −dKu_d= −Φ. Les expressions obtenues pour u0 et ud sont ensuite injectées dans l'équation de compatibilité u0 = u_décrite au sens faible sur l'interface Σ pour en déduire le champ de force inconnu Φ équilibrant les deux sous-domaines. Néanmoins cette approche n'est pas applicable dans le cas général car dK correspond à une perturbation, donc est un opérateur sans signature éventuellement nul, auquel cas le système −dKu_d= −Φ n'est pas inversible ;

 en revenant à une équation de Lippmann-Schwinger, on peut reécrire le problème local dans Ω0 sous la forme :

U₀ Divσ_d(u_d) + ρ_dω²u_d
= u₀− uf 0

d'inconnue ud. Sa résolution par une méthode de collocation n'est pas possible car elle exige le calcul de termes de la forme R_Ωd(U₀) : (u_d) dV, soit des déformations associées à U0, qui n'est pas abordable pratiquement compte-tenu de la complexité de cet opérateur. De plus le système obtenu dans ce cas est non symétrique, et pose les mêmes dicultés liées à l'inversibilité dedK que dans le cas précédent.

La méthode retenue par la suite consiste à résoudre le problème local dans Ωd pour ud = U₀f + U₀Φ déf_{= u}f

0+ U₀Φ, soit en imposant la condition de compatibilité au sens fort. On obtient ainsi l'équation :

Φ − Divσ_d(U₀Φ) + ρ_dω²U₀Φ
= Divσ_d(u^f₀) + ρ_dω²u^f₀

d'inconnue Φ. La diculté liée à l'inversibilité de dK est résorbée car maintenant le terme de uctuation est une perturbation de l'opérateur identité. On intègre ensuite cette équation sous forme variationnelle en choisissant des champs tests de la forme U0Ψan d'obtenir un système symétrique d'une part, et de se ramener à des intégrales de termes très réguliers

ne nécessitant aucun eort d'intégration particulier, de la forme R_Ωd(U0Φ) : (U0Ψ) dV, d'autre part. Cette approche conduit au problème variationnel symétrique (4.30), avec la dénition (4.32) lorsqu'on y intègre la réduction de l'opérateur de perturbationdKprésentée au chapitre Ÿ3 lorsque celui-ci est de nature aléatoire.

La démarche présentée ci-dessus est détaillée dans les paragraphes suivants, où l'on essayera de conserver un certain degré d'abstraction mathématique. Les résultats présentés constituent une première tentative de justication de la méthode proposée, et à ce titre ne peuvent être considérés comme un étude complète. Les principales dicultés rencontrées sont liées à la dénition du support des champs Φ et Ψ, et à leur régularité. Le lecteur non intéressé par ces développements peut directement passer au chapitre suivant, où sont donnés les éléments nécessaires à la construction de l'opérateur de souplesse U0, qui constitue maintenant le principal eort numérique de cette formulation.

Formulation variationnelle

L'équilibre des deux domaines Ω0 et Ωd est reécrit au sens faible ainsi que la condition de raccord cinématique entre u0 et ud. En reprenant les notations de la section Ÿ3.2.1, Eq.(3.42), et en notant f0 la forme anti-linéaire continue sur V(Ω0) dénie par :

f0(v) = Z

Ω0

f .v dx = hf , vi_Ω

0

le problème (4.23) ci-dessus est résumé dans la formulation variationnelle hybride mixte ci-dessous :

Problème 4.24 Trouver (u0, u_d, Φ) ∈ V(Ω₀) × V(Ω_d) × V⁰(Σ)tels que :    k0(u0, v0) − hΦ, v₀i_Σ k_d(u_d, v_d) +Φ, π0 dv_d Σ − hu₀, Ψi_Σ +π0 du_d, Ψ_Σ = = = f₀(v₀) 0 0 pour tous (v0, v_d, Ψ) ∈ V(Ω0) × V(Ω_d) × V⁰(Σ).

Le produit d'anti-dualité sur V(Σ) est ici déni par : hu, Φi_Σ=

Z

Ωd

u.Φ dx Souplesse dynamique et applications

L'inconvénient de cette formulation est qu'elle requiert la discrétisation du domaine Ω0

non borné. Néanmoins nous savons d'après le chapitre Ÿ2 que la formulation variationnelle associée au problème local sur Ω0 dans le problème couplé global (4.23) admet une unique solution dans V(Ω0). Plus précisément, on a montré dans la section Ÿ2.3.3 que la forme bilinéaire k0était continue et V(Ω0)coercive. Par application du théorème de Lax-Milgram, on en déduit que l'opérateur d'impédance dynamique K0 de L (V(Ω0), V⁰(Ω0))tel que :

− hK₀u, vi_Ω0 = k0(u, v) (4.25)

est un isomorphisme de V(Ω0)sur V0(Ω₀). Il admet un inverse continu noté U0 déf_{= [−K} 0]⁻¹ dans L (V0(Ω0), V(Ω0))et appelé ici souplesse dynamique. K0 étant par ailleurs symétrique,

U₀ le sera également. D'un point de vue pratique, cela signie que pour résoudre le pro-blème local relatif au domaine de référence Ω0, il est possible de remplacer les champs des déplacements par des champs de force dans V0(Ω₀) par un simple changement de variable, puis de construire les déplacements correspondants à l'aide de l'opérateur U0. On verra par la suite que cet opérateur est un opérateur intégral dont on peut évaluer numériquement le noyau, l'intérêt étant alors de pouvoir s'aranchir de la discrétisation du domaine non borné Ω0 par éléments nis en se limitant à la seule discrétisation de l'interface généralisée Σ, bornée. Ce dernier point constitue l'objectif principal des développements qui suivent.

On donne donc dans la section suivante diverses formulations du problème (4.24) utilisant l'opérateur de souplesse dynamique. Elles vont nous permettre d'en déduire une formulation variationnelle hybride mixte (section Ÿ4.2.4) et une formulation variationnelle duale (section Ÿ4.2.5) simpliées du problème couplé global initial, posées uniquement sur l'interface Σ et donc numériquement abordables. Puis l'on donne leurs versions réduites pour la prise en compte d'une hétérogénéité aléatoire suivant la méthode de réduction développée au chapitre Ÿ3. Les propriétés mathématiques des diérents opérateurs introduits  dont U0  intéressantes pour la discrétisation du problème de couplage considéré ici sont rassemblées dans la section Ÿ4.2.7, avec des éléments de démonstration. L'étude mathématique détaillée des formulations variationnelles obtenues dans cette section (existence et unicité d'une solu-tion, stabilité, régularité, estimation d'erreur ...) dépasse le cadre de ce travail. Néanmoins nous nous sommes attachés à faire clairement apparaître, dans la mesure du possible, les principales dicultés associées et les éléments de réponse que nous avons pu obtenir. remarque 4.4  Si ∂Ωd ∩ Γ_a = Γσd 6= ∅, alors l'interface généralisée Σ est dénie par Σ = Ω_d∪Γ_σd. Dans ce cas, les champs d'interface Φ sont choisis arbitrairement dans V0(Σ) déf₌

V⁰(Ω_d)×V⁰(Γσd)avec ainsi Φ = (φ, τ ), φ ∈ V0(Ω_d)et τ ∈ V0(Γσd). Le problème couplé global (4.23) est reécrit :

Problème 4.26 Trouver Φ, u0(Φ) et ud(Φ) tels que :    −Div σ₀(u0) − ρ0ω²u0 = f + Φ dans Ω0 t₀(u₀) = 0 sur Γa/Γ_σd t0(u0) = τ sur Γσd dans Ω0,    −Div σ_d(u_d) − ρ_dω2u_d= −Φ dans Ωd t_d(u_d) = 0 sur ∂Ωd/Γσd t_d(u_d) = −τ sur Γσd dans Ωd, et : u₀(Φ) − π⁰_du_d(Φ) = 0 sur Σ.

Le produit d'anti-dualité sur Σ étant déni par : hu, Φi_Σ= Z Ωd u.φ dx + Z Γσd γ u.τ dS(x)

avec γ l'opérateur de trace déni en Annexe A, la formulation variationnelle (4.24) est alors inchangée, avec pour le champ d'interface virtuel Ψ = (ψ, π) où ψ ∈ V0(Ω_d) et π ∈ V0(Γ_σd) 

4.2.3 Formulation variationnelle en souplesse