Approximation en dimension nie

  rT d^{Φ, v}0  Ω₀    kv0k_V(Ω 0) =   hΦ, rdv0i_Ω d    kv0k_V(Ω 0) =   hΦ, vdi_Ω d    kvd^kV₀(Ωd) dont on déduit : kr^TdΦk_V0(Ω₀)≥ sup vd∈ V₀(Ωd) vd6= 0   hΦ, vdi_Ω d    kvd^kV₀(Ωd) = kΦk_V0 0(Ωd) (a)

Enn par la coercivité de h0 sur V0

0(Ω0)nous avons : <ⁿ−ihd 0(Φ, Ψ) o ≥ ^α(ω) C(ω)kr^TdΦk_V0 0(Ω₀)

d'où le résultat avec (a). 

La coercivité de hd

0 sur V0(Γσd) sera donnée dans le cadre de la représentation intégrale de l'opérateur U0 étudiée en Ÿ5.1.

Soulignons enn que les principales dicultés mathématiques soulevées par les formula-tions variationnelles (4.29) et (4.30), non résolues ici, sont à notre sens :

 le choix de la régularité, tant au niveau continu que discret, des champs d'interface Φ;

 la validité du choix d'une représentation de la forme U0Φpour les champs de dépla-cement de V(Ωd), notamment dans la formulation (4.30).

4.2.8 Approximation en dimension nie

On présente ici, pour nir cette section, la discrétisation en dimension nie des formla-tions variationnelles (4.29) et (4.30) obtenues précédemment. La méthode utilisée du type Galerkin est classique et ne pose pas de diculté particulière dans ces deux cas.

On suppose toujours, pour simplier, que Γσd= ∅. La construction des opérateurs U0 et dK en vue d'un traitement numérique des problèmes variationnels (4.29) et (4.30) ((4.31) et (4.32) dans leurs versions réduites) passe par leurs approximations en dimension nie. Celle-ci résulte d'une approximation de la géométrie du problème d'une part, et des es-paces fonctionnels introduits d'autre part, et permet d'assembler sous forme matricielle les diérents opérateurs par la méthode de Ritz-Galerkin, par exemple en introduisant une projection du type éléments nis. On considère donc les sous-espaces :

 VK(Ω_d) ⊂ V(Ω_d) de dimension nie K ≥ 1 engendré par une famille de fonctions linéairement indépendantes {uk}_1≤k≤K de H(Ωd);

 VM(Ω_d) ⊂ V₀⁰(Ω_d) de dimension nie M ≥ 1 engendré par une famille de fonctions linéairement indépendantes {Φm}_1≤m≤M de H(Ω_d).

Formulation hybride mixte approchée En notant : ˜ u_d= K X k=1 Ukuk, ˜Φ = M X m=1 ΦmΦm

la projection de la solution (ud, Φ) ∈ V(Ω_d) × V₀⁰(Ω_d)dans VK(Ω_d) × V_M(Ω_d), la formulation variationnelle (4.29) s'écrit sous forme matricielle :

U_0M −Π^T −Π dK_K  U F  =L 0  (4.35) avec {U} = (U1, . . . U_K)^T et {F} = (Φ1, . . . Φ_M)^T.

Une condition nécessaire pour avoir l'inversibilité du système linéaire ci-dessus, en liaison avec la condition LBB en dimension nie, est M ≥ K [26]. En eet si l'on note :

KM déf₌ F ∈CM; Π^TF = 0 = Ker ΠT

et TM son orthogonal dans CM :

CM =KM⊕TM

une condition nécessaire d'existence et d'unicité de la solution du système linéaire de l'Eq.(4.35) est K = rg ΠT= DimTM.

Les diérentes matrices introduites dans le système ci-dessus sont dénies de la manière suivante :

 La restriction à VK(Ω_d) × V_K(Ω_d) de la forme sesqui-linéaire kd(u, v) = − hdKu, vi_Ω d dénie sur V(Ωd)×V(Ω_d)est représentée par la matrice (K ×K) complexe, symétrique [dK_K]telle que :

− [dK_K]_kl= k_Ωd(u_k, u_l), k, l ∈ {1, . . . K} qui peut encore s'écrire, avec les notations du Ÿ2.3.4 :

− [dK_K] = −ω²[dMK] + i [dCK] + [dK^e_K]

où [dMK], [dCK] et [dK^e_K], sont des matrices réelles, symétriques, a priori sans si-gnature avec (pour k, l ∈ {1, . . . K}) :

[dM_K]_kl= Z Ω_d ρ_du_k.u_ldV [dK^e_K]_kl= Z Ωd <(σ_d)(uk) : (ul) dV [dC_K]_kl= Z Ω_d =(σ_d)(u_k) : (u_l) dV

 La projection sur VM(Σ) × VM(Σ)de la forme sesqui-linéaire hd

0 dénie sur V0 0(Ω_d) × V₀⁰(Ω_d)est représentée par la matrice (M ×M) complexe, symétrique [U0M]telle que :

[U0M]_mn =U₀r_d^TΦm, r_d^TΦn

Ω0, m, n ∈ {1, . . . M }  La projection sur VM(Ω_d) × VK(Ω_d)de la forme sesqui-linéaire π0

dv, Φ_Σ dénie sur V₀⁰(Ω_d) × V(Ω_d) est représentée par la matrice (K × M) complexe [Π] telle que :

[Π]_km = hπ⁰_du_k, Φmi_Σ  La projection sur VM(Ω_d)de la forme anti-linéaire Φ 7→ − uf

0, Φ_Ω

ddénie sur V0 0(Ω_d) est représentée par le vecteur {L} = (L1, . . . L_M)^T de CM où :

Lm = − hu^f₀, Φmi_Σ Formulation duale approchée

La solution du problème variationnel (4.30) projeté sur VM(Ω_d)est quant à elle obtenue par :

[U_M] {F} = {L⁰_M} (4.36)

Ce système linéaire peut être comparé au système matriciel condensé de l'Eq.(4.17) (Ÿ4.1.5) écrit pour l'interface surfacique Γsf.

La diérente matrice introduite dans le système ci-dessus et le second membre sont dénis comme suit :

 La projection sur VM(Ω_d) × V_M(Ω_d) de la forme sesqui-linéaire k0

d(Φ, Ψ) dénie sur V₀⁰(Ω_d) × V₀⁰(Ω_d)est caractérisée par la matrice (M × M) complexe, symétrique [UM] telle que :

[U_M] = [U_0M] − [U_0M] [Π]^T[dK_M] [Π] [U_0M]  La projection sur VM(Ω_d) de la forme anti-linéaire Φ 7→ f0

d(Φ) dénie sur V0

0(Ω_d) est représentée par le vecteur L0

M = (F₁, . . . F_M)^T de CM où : {L⁰_M} = [U_0M] [Π]^T[dK_M] [Π] {L}

4.3 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre les principaux outils de modélisation déterministe de l'interaction sismique sol-structure en vue de son traitement par une approche probabiliste générique telle que décrite dans le chapitre Ÿ3. La méthode de sous-structuration développée ici est classique, par contre son extension à des interfaces volumiques est plus originale. Celle-ci, bien qu'écrite spéciquement pour le couplage de l'hétérogénéité du sol avec le domaine composite de référence sans perturbation, peut être étendue, au même titre que la méthode de sous-structuration classique [40], à l'analyse multi-domaines. Nous avons donner dans l'exposé quelques éléments d'analyse mathématique des formulations variationnelles obtenues, étant posé qu'une étude complète (existence, unicité, stabilité de leurs solutions, régularité, estimateurs d'erreur et schémas de discrétisation) reste nécessaire mais dépasse largement le cadre de ce travail.

La formulation retenue a donc été appliquée à une hétérogénéité élastique venant per-turbée le milieu de référence constitué de la structure et du sol sans la perturbation de ses paramètres mécaniques. Néanmoins on peut envisager de l'étendre à une perturbation non linéaire du comportement des matériaux telle que les eorts internes induits par une déformation visco-plastique. L'analyse de l'inuence d'une non-linéarité géométrique telle que la présence d'une ssure entre également dans ce cadre, les méthodes de résolution pour ce type d'hétérogénéité étant quant à elles plus classiques : équations intégrales (potentiels de simple ou de double couche, voir le chapitre suivant pour plus de détails), méthode des domaines ctifs, etc. Son application au problème inverse d'identication des paramètres du sol au voisinage d'une structure testée en vibrations forcées par exemple constitue également une perspective intéressante, en liaison avec certains travaux présentés dans la littérature (de Barros & Luco [53]).

La méthode de sous-structuration permet maintenant de traiter les problèmes locaux d'élastodynamique relatifs a chacun des sous-domaines introduits  la structure, le sol de référence non perturbé et l'hétérogénéité  par la méthode numérique la plus adaptée à leurs géométries notamment. Pour le domaine sol de référence non borné, ou pour le do-maine composite de référence structure-sol non perturbé, non borné également, l'approche la plus ecace est une formulation par équations intégrales. Celles-ci sont fondées sur la connaissance de la solution fondamentale de l'élastodynamique, ou fonction de Green, dans chacun de ces sous-domaines. Dans le chapitre suivant sont donnés les éléments nécessaires pour la mise en oeuvre de cette approche. On montre également que la méthode de sous-structuration permet de calculer la fonction de Green du domaine composite de référence et ainsi de caractériser l'opérateur de couplage avec l'hétérogénéité du sol introduit à la section précédente Ÿ4.2, par un potentiel de Newton classique.

Fonction de Green du domaine

hétérogène

La résolution du problème global de transmission ramené sur l'interface sol-structure Γsf

par la méthode présentée à la section Ÿ4.1 du chapitre précédent passe par l'assemblage de la matrice d'impédance dynamique de frontière du sous-domaine sol non borné condensée sur Γsf. La recomposition de la solution du problème local dans le sol par l'Eq.(4.12) exige quant à elle de calculer le relèvement élastodynamique du champ d'interface imposé sur Γsf, ainsi que le relèvement du champ incident ui sur cette même surface. La discrétisation en éléments nis volumiques du demi-espace sol inni n'étant pas abordable, pour les raisons déjà mentionnées (voir la section Ÿ3.4), il est classique d'avoir recours pour des domaines non bornés deR3 ouR3−(1), à une formulation par équation intégrale posée sur la partie de leur frontière où s'appliquent des conditions aux limites non homogènes. Celle-ci est ensuite discrétisée par éléments nis de frontière, ce qui permet de réduire de façon signicative la taille du modèle. En revanche cette technique est fondée sur la connaissance d'une solution fondamentale pour le milieu considéré. La fonction de Green [52] élastique transitoire ou stationnaire d'un milieu homogène visco-élastique quelconque plongé dans R3 est connue analytiquement et peut être utilisée comme solution fondamentale pour traiter par équations intégrales le cas d'un domaine homogène borné ou non de frontière bornée ; elle vérie en outre des conditions de décroissance du type condition de radiation de Sommerfeld sortante (Eq.(2.17) en temps ou Eq.(2.27) en fréquence). Pour un milieu hétérogène quelconque, la fonction de Green correspondante n'est généralement pas connue. Une première solution pour s'aranchir de cette diculté consiste à utiliser la méthode de sous-structuration de la section Ÿ4.1 étendue à tous les sous-domaines identiés par la géométrie des diérentes hétérogénéités. Les frontières non bornées sont alors traitées à l'inni soit par une troncature numérique, soit par des éléments innis reproduisant les conditions de décroissance. Cette approche s'avère vite extrêmement coûteuse si les interfaces entre les sous-domaines sont étendues et/ou nombreuses, notamment pour un demi-espace stratié tel que couramment rencontré en génie civil. Il est en revanche possible, dans ce cas, de construire numériquement la fonction de Green vériant la condition de surface libre à la frontière du demi-espace et les conditions de raccord cinématique et dynamique aux interfaces entre les couches horizontales, par la méthode des coecients de réexion/transmission de Kennett décrite brièvement à la section Ÿ1.5.2. On peut alors utiliser, en deuxième approche, une équation

1R3−

=x = (x, y, z) ∈R3

; z ≤ 0 .

intégrale posée uniquement sur Γsf avec cette solution fondamentale, an de résoudre le problème local relatif au demi-espace sol stratié sans perturbation.

La première section de ce chapitre est donc consacrée à l'introduction des principaux outils  fonction de Green, potentiels de simple et de double couche, potentiel de Newton ...  liés à l'utilisation des équations intégrales, ainsi que leurs diérentes propriétés. Les opérateurs intégraux correspondants font intervenir des termes singuliers qui nécessitent un traitement particulier en vue de leur discrétisation par la méthode des éléments nis de frontière. On donne donc ensuite une méthode de régularisation qui réduit le degré de la singularité, et les formulations approchées correspondantes. Ils sont ensuite mis en oeuvre pour le problème de transmission présenté au chapitre Ÿ2 (voir le problème (2.32)) et la représentation des champs diracté local udi et rayonné total ud∗(dénis respectivement en (2.35) et (2.37)).

Dans la deuxième section est déduite une représentation intégrale de l'opérateur Ui (où plutôt Ui

2, déni dans le chapitre Ÿ3, sans perturbation des modules du sol) à partir des équations intégrales de frontière introduites précédemment pour le sol non perturbé. Celle-ci justie ainsi les hypothèses correspondantes de la section Ÿ3.1.1. Elle est fondée sur la connaissance d'une solution fondamentale pour le système couplé sol-structure sans perturbation qui ne peut être évaluée que numériquement dans les cas généraux. A cet eet on utilise la méthode de sous-structuration dynamique classique du chapitre Ÿ4, section Ÿ4.1, pour un chargement de la forme force unitaire ponctuelle imposée dans le sous-domaine sol ou le sous-domaine structure. La fonction de Green du domaine composite non perturbé ainsi construite est évaluée, dans le sous-domaine sol par exemple, par une équation intégrale ne faisant intervenir que la fonction de Green du domaine sol seul. Elle est ensuite utilisée an de construire, par une représentation intégrale, la solution locale pour le domaine composite du problème global de couplage avec une hétérogénéité bornée de nature aléatoire, formulé par la méthode de sous-structuration volumique développée à la section Ÿ4.2 du chapitre précédent. Notamment l'opérateur U0 introduit à ce stade s'écrit simplement sous la forme d'un potentiel de Newton pour la fonction de Green du domaine composite non perturbé. Cette approche permet de conserver les avantages que procurent les équations intégrales pour le traitement de domaines non bornés, et de s'aranchir des dicultés théoriques et numériques liées aux méthodes de perturbation tout en autorisant la prise en compte de uctuations aléatoires de n'importe quelles amplitudes.

On rappelle enn, dans une dernière section, les outils nécessaires à la discrétisation en dimension nie par collocation des équations intégrales de représentation et de frontière introduites, notamment la régularisation pour l'intégration des singularités propres à ces méthodes. Un schéma d'intégration numérique du potentiel de Newton faiblement singulier est proposé pour nir.

Les diérents éléments introduits dans ce chapitre sont pour la plupart classiques : propriétés des potentiels de simple et de double couche, équations intégrales directes et indirectes, régularisation, méthode de collocation pour la résolution numérique. L'originalité tient ici dans l'utilisation d'une fonction de Green pour le domaine composite sol-structure non perturbé dans des équations intégrales de frontière et de représentation posées sur l'interface Γsf entre le sol et la structure. Le schéma d'intégration de la faible singularité sur des éléments nis de frontière est classique, en revanche son extension à des éléments de volume pour le potentiel de Newton associé à cette fonction de Green particulière est moins courante.

5.1 Fonction de Green et opérateurs associés

On présente dans cette section la technique des équations intégrales dans un cadre géné-ral, en commençant par dénir la fonction de Green utilisée par la suite pour le domaine sol seul et les diérents opérateurs intégraux associés. Leurs propriétés algébriques classiques sont également données dans ce cadre. Une méthode de régularisation pour ces équations est ensuite rappelée, suivant les développements initiaux de Bui et al. [28] et Clouteau [40, 9]. Ces opérateurs permettent enn de construire des équations intégrales de représentation des solutions des problèmes locaux dans le sol coorespondants aux dénitions (2.35) du relèvement élastodynamique udi du champ sismique imposé ui et (4.6) du relèvement élas-todynamique du champ d'interface imposé Φ.