2.1
Traitement numérique
L’analyse mathématique des systèmes convectifs des CPPM et SPPM, qui représente la partie la plus complexe du traitement des flux convectifs, a été présentée au chapitre 4. Nous ne revenons donc pas sur cet aspect.
En revanche, nous donnons dès à présent quelques précisions sur la méthode de calcul du pas de temps. En effet, en introduisant un terme de pression particulaire dans les équations du système de la phase dispersée, nous avons pu utiliser des méthodes classiques de résolution des problèmes de Riemann. Or, celles-ci nécessitent de définir un pas de temps selon diverses caractéristiques du système, dont la vitesse de propagation du son (condition dite de CFL). Une vitesse du son diphasique ayant été définie au cours de l'écriture des solveurs de Roe et de Godunov, il est logique d'en tenir compte lors du calcul du pas de temps. Nous calculons donc un premier pas de temps pour la phase gazeuse et un second spécifique à la phase dispersée. La valeur retenue pour l'intégration étant bien sûr la plus faible des deux. L'algorithme de détermination du pas de temps diphasique est rigoureusement identique à celui pour la phase gazeuse. Il suffit de raisonner par analogie, en tenant compte des vitesses particulaires et de la vitesse du son diphasique. La viscosité particulaire présente dans le modèle CPPM est également prise en compte dans le calcul du pas de temps diphasique.
Précisons que dans le cas du modèle simplifié, le calcul du pas de temps diphasique est réalisé plus par rigueur scientifique que par utilité pratique. En effet, la vitesse du son diphasique est faible4 et
les ordres de grandeur des vitesses des deux phases identiques, la grande majorité des écoulements est donc pilotée par le gaz. Pour le modèle complet la situation est différente car la viscosité particulaire peut être élevée.
Revenons aux flux convectifs. Grâce à la structure modulaire du code, leur calcul est entièrement réalisé dans un sous-programme indépendant. Selon le modèle choisi par l’utilisateur à la mise en données (modèle de base, SPPM ou CPPM) et le solveur élu (Godunov, Roe ou Roe-Toumi le cas échéant), le solveur idoine est utilisé.
Au chapitre précédent, nous avons validé sur des cas tests de tube à choc les solveurs numériques écrits pour résoudre le système convectif des modèles CPPM et SPPM. Nous allons à présent voir, à l’aide d’un cas de calcul très simple, quelle est l’influence du terme de pression particulaire sur le comportement de la phase dispersée.
3 La prise en compte de cette équation supplémentaire est effectuée à la lecture de la mise en données du calcul : si le
modèle diphasique choisi est le modèle de base ou le modèle simplifié SPPM, alors le paramètre fixant le nombre de variables physiques du système est fixé à 8 ; si le modèle complet est choisi, alors ce paramètre vaut 9. Dans la majeure partie des situations, cette modification suffit, nous n’insisterons donc pas sur cette particularité du CPPM.
2.2
Application à un cas test de compression
2.2.1 Description du cas de calcul
Nous cherchons à tester le comportement de la partie convective des modèles à pression particulaire sur une configuration de calcul que l'on sait mal traitée par le modèle diphasique actuel de CPS. Cette configuration peut correspondre à des particules injectées dans un tube, fermé à l'extrémité opposée (cf. Figure 6- 1).
Figure 6- 1 : Cas test d’accumulation de particules en paroi, dans un tube fermé.
Comme dans le cas théorique du tube à choc, les calculs sont réalisés en découplant les phases, ie en annulant les termes sources de façon à éliminer toute influence de la phase gazeuse. Le calcul CPS présente, sans surprise, une accumulation de particules près de la paroi opposée à l'injection, dans la dernière cellule (cf. Figure 6- 2). Cette accumulation se fait à taux constant (cf. Figure 6- 11) et peut mener à des niveaux de concentration de particules très importants.
2.2.2 Résultats SPPM
Nous effectuons le même calcul, en utilisant le modèle à pression particulaire simplifié, pour une valeur de λ fixée à 100. Nous comparons les résultats obtenus avec ce modèle et ceux obtenus par le modèle de base de CPS.
Le calcul effectué avec SPPM présente une répartition des particules dans le tube beaucoup plus homogène : l'accumulation de particules dans la dernière cellule a disparu (cf. Figure 6- 3) et les particules remplissent peu à peu le tube.
Les profils de fraction volumique solide dans le tube illustrent très clairement la différence de comportement des deux modèles : avec le modèle de CPS (sans pression particulaire) la fraction volumique peut augmenter indéfiniment (cf. Figure 6- 4) alors qu'avec SPPM, la fraction volumique ne dépasse pas une certaine valeur limite (cf. Figure 6- 5).
En ce qui concerne la vitesse axiale des particules, elle est constante et non nulle dans le cas du modèle sans pression (cf. Figure 6- 6), d’où l’accumulation de particules obtenue pour ce modèle. La présence du terme de pression particulaire dans le SPPM permet, grâce à la propagation dans l’écoulement d’un choc, d’annuler la vitesse près de la paroi, et au fur et à mesure dans tout le tube (cf. Figure 6- 7).
Ces résultats sont donc très concluants. Le comportement aberrant du modèle de base de CPS est nettement amélioré par la prise en compte d’une pression particulaire.
Glissement Injection
à débit constant
Figure 6- 2 : Calcul Euler sans pression particulaire, répartition des particules dans le tube.
Figure 6- 3 : Calcul SPPM (lambda=100), répartition des particules dans le tube
Figure 6- 4 : Profil de la fraction volumique solide,
calcul Euler sans pression particulaire. Figure 6- 5 : Profil de la fraction volumique solide, calcul SPPM, lambda=100.
Figure 6- 6 : Profil de vitesse particulaire axiale, calcul
Euler sans pression particulaire. Figure 6- 7 : Profil de vitesse particulaire axiale, calcul SPPM, lambda=100.
Nous avons ensuite réalisé le même calcul, pour une valeur plus faible du paramètre λ : λ =10.
Comme précédemment, le tube se remplit progressivement (cf. Figure 6- 8). Par contre, la fraction volumique maximale atteinte est environ trois fois plus importante. On remarque sur la Figure 6- 9 que l'onde de choc ne s’est pas autant propagée vers la gauche que dans le cas précédent (les deux solutions sont observées au même instant).
Figure 6- 9 : Profil de fraction volumique, calcul
SPPM, lambda=10. Figure 6- 10 : Profil de vitesse particulaire axiale, calcul SPPM, lambda=10.
Figure 6- 11 : Evolution de la fraction volumique solide dans la cellule adjacente à la paroi opposée à l’injection,
selon le modèle diphasique utilisé.
Nous pouvons également constater que, malgré l'utilisation d'un schéma numérique limitant fortement les gradients, pour cette valeur plus faible de la variable λ, les profils de fraction volumique et de vitesse présentent un comportement légèrement « oscillant » (cf. Figure 6- 9 et Figure 6- 10).
Mis à part ce comportement moyen du schéma numérique, il nous faut encore préciser que pour des valeurs plus faibles de λ, le calcul diverge. Nous avons étudié ce défaut du SPPM sur un cas de compression symétrique, dans lequel des particules sont injectées à vitesse constante par les deux parois opposées d'un tube. L'influence du traitement de la condition à la limite est ainsi supprimée. Les résultats obtenus ont confirmé l’instabilité du modèle, y compris pour un schéma d'ordre 1 en espace, lorsque le terme de pression particulaire n’est pas assez fort pour compenser le terme de quantité de mouvement. Le même calcul, réalisé avec le modèle de base de CPS a également abouti à une divergence du calcul, ce qui est logique puisque dans ce cas la pression particulaire est nulle. En revanche, en diminuant la vitesse d’injection des particules pour la même simulation (ie avec
10 =
λ ), le calcul s’est déroulé normalement.
Il s’agit donc d’un problème inhérent à la méthode numérique qui nécessiterait pour être corrigé de travailler sur le solveur. Dans la pratique, nous ne nous attendons pas à rencontrer trop souvent ce cas. En effet, au centre d’un moteur comme le LP6, les vitesses radiales des particules sont plutôt faibles. Nous avons donc décidé d’arrêter là nos investigations.
2.2.3 Résultats CPPM
Ce cas test a été réalisé avec le CPPM. Les flux diffusifs et les termes d'échange entre les phases sont annulés, toujours dans l’optique de découpler les phénomènes. Nous considérons également
que la variable λp reste constante au cours du calcul. Cette hypothèse est évidemment en con-
tradiction avec la physique que nous cherchons à représenter, mais elle a l’avantage de confirmer la validation de la méthode de Roe-Toumi écrite pour le CPPM. En effet, cette configuration de calcul est l’exact équivalent de celle présentée au paragraphe précédent, pour le SPPM.
Figure 6- 12 : Répartition des particules,
calcul CPPM plan, lambda=100. calcul CPPM axisymétrique, lambda=100. Figure 6- 13 : Répartition des particules,
Figure 6- 14 : Profil de fraction volumique, calcul CPPM plan, lambda=100.
Figure 6- 15 : Profil de fraction volumique, calcul CPPM axisymétrique, lambda=100.
Figure 6- 16 : Profil de vitesse particulaire axiale, calcul CPPM plan, lambda=100.
Figure 6- 17 : Profil de vitesse particulaire axiale, calcul CPPM axisymétrique, lambda=100.
Nous vérifions que les résultats obtenus avec ce modèle et λp = cste=100 (cf. Figure 6- 12, Figure
6- 14, Figure 6- 16) sont identiques à ceux obtenus avec le SPPM pour une valeur identique du paramètre λ.
Le même calcul est réalisé pour une configuration axisymétrique (cf. Figure 6- 13). Par rapport à la configuration plane étudiée précédemment, seul le coefficient γ est modifié dans la loi de pression particulaire : il vaut alors 5/3 au lieu de 2. Cela implique une pression particulaire plus forte, d’où une propagation plus rapide du choc dans l’écoulement (cf. Figure 6- 17) et un taux de particules atteint légèrement plus faible (cf. Figure 6- 15).
En conclusion, le traitement des flux convectifs des modèles à pression particulaire est globalement satisfaisant. Sur un cas test théorique simplifié à l'extrême, la pression particulaire a d'ores et déjà
montré sa capacité à améliorer le comportement physique de la phase dispersée. Ce qui est très encourageant pour la suite.