Approche cinétique

Des modèles s'appuyant sur la théorie cinétique des milieux granulaires secs (Jenkins & Savage, 1983) ont été développés pour des écoulements diphasiques denses. Le mécanisme prédominant considéré est cette fois celui des collisions inter particules. Ces modèles sont donc valables pour des écoulements diphasiques très denses (αp > 0,1), lorsque l'influence du gaz sur les particules est

négligeable (Lun et al, 1984 ; Ding & Gidaspow, 1990).

La forte analogie qui existe entre le mouvement des particules dans un écoulement turbulent et celui des molécules dans un gaz (à l'échelle microscopique) a également poussé certains auteurs à appliquer aux particules une approche utilisée en théorie cinétique des gaz (Chapman & Cowling, 1939). Le nuage de particules est alors traité comme un milieu continu, à l'instar des molécules d'un gaz. On peut citer par exemple Morioka et Nakajima (1987), Reeks (1991), Zaichik & Vinberg (1991) et Simonin (1991).

La phase dispersée est décrite par une fonction de densité de probabilité (pdf). L'équation de transport de cette pdf particulaire est analogue à l'équation de Boltzmann. Les équations continues pour la phase dispersée sont obtenues par une opération de moyenne de cette équation cinétique. Les hypothèses de fermeture du système d’équations sont dérivées en supposant que la taille des particules reste très petite par rapport à l’échelle de longueur des variations de l’écoulement moyen. Cette approche statistique est très riche car elle permet de prendre en compte les interactions avec le fluide (Zhang & Prosperetti, 1994 et 1997) ainsi que de nombreux phénomènes physiques tels que la turbulence du fluide et les corrélations fluide/particules (Simonin, 2000), les collisions particule/particule (Laviéville et al, 1997 ; Gourdel et al, 1998) et particule/paroi (Sakiz & Simonin, 1999 ; Sakiz, 1999).

Néanmoins, la difficulté de cette méthode réside dans l'estimation de la vitesse du fluide turbulent à la position de la particule. Plusieurs méthodes ont été développées dans le cadre des approches Euler/Lagrange pour représenter la turbulence du fluide le long des trajectoires des particules (Berlemont et al, 1990). A partir de ces travaux, Simonin (1996) a proposé une extension de l’approche utilisant une équation de Langevin. Néanmoins, cette approche, dérivée des modèles lagrangiens stochastiques monophasiques, ne permet pas de prendre en compte la corrélation spatiale de l'écoulement fluide vu par les particules, qui joue un rôle important dans la distribution instantanée des particules à faible inertie (temps de relaxation comparable à l'échelle de temps de Kolmogorov) et conduit à une mauvaise prédiction des interactions particule/particule. C'est pourquoi des méthodes de simulations numériques type DNS ou LES sont parfois couplées aux modèles issus de l'approche statistique. Ainsi le champ fluide turbulent local instantané "vu" par les particules est exactement celui donné par la DNS, ou par une technique de LES si le temps de relaxation des particules est plus grand que l'échelle caractéristique de sous maille. L'utilisation de ces techniques, couplée à une approche statistique permet de valider les modèles de fermeture utilisés (Laviéville et al, 1997 ; Simonin et al, 1997 ; Wang et al, 1998) et également d'effectuer des simulations plus précises permettant de mieux comprendre les caractéristiques des écoulements diphasiques (Boivin et al, 2000 ; Février et al, 2001).

Le couplage des techniques de LES (ou DNS) avec l'approche statistique pour la phase dispersée est la méthode de modélisation dite LES/LES (ou DNS/LES) (Pandya & Mashayek, 2002). Dans ce cas, l'équation cinétique de la phase dispersée est filtrée et les équations continues sont obtenues en prenant les premiers moments de l'équation cinétique filtrée. Des relations de fermeture sont ensuite utilisées pour les termes de sous maille de l'équation cinétique filtrée, et pour les moments d'ordre supérieur.

Cependant, cette méthode ne permet pas de prendre en compte le mouvement spatialement décorrélé des particules. En effet, Février a mis en évidence durant ses travaux de thèse que dans un écoulement diphasique, des particules venant de régions différentes de l'écoulement peuvent se retrouver très proches l'une de l'autre tout en ayant des vitesses différentes (Février, 2000). Cette constatation est à l'origine de nombreux et récents travaux qui ont permis de développer une

nouvelle approche statistique (Février et al, 2005), basée sur une décomposition de la vitesse particulaire instantanée en une contribution spatialement corrélée, due au champ de vitesse fluide sous-jacent, et une contribution indépendante non corrélée.

Cette approche, appelée Formalisme Eulérien Mésoscopique (MEF) et présentée au paragraphe 4, a été retenue dans le cadre de nos travaux de thèse. Elle nous a permis d'établir deux modèles diphasiques à pression particulaire, notés SPPM et CPPM (cf. Figure 3- 1). Auparavant, nous allons établir dans le paragraphe 3 les équations régissant le comportement d'une particule isolée dans un champ fluide. Ces équations seront ensuite utilisées pour décrire l'évolution d'un nuage de particules. Théorie cinétique Chapman et Cowling, 1939 Modèle de « dusty-gas » Marble, 1963 largement utilisé dans l’industrie aéronautique

mais

mêmes vitesse et température des particules dans un volume local

Méthodes PDF

équation cinétique de la pdf particulaire

Morioka & Nakajima, 1987 Simonin, 1991

nombreux phénomènes pris en compte

mais

problème de l’estimation de la vitesse du fluide turbulent à la

position de la particule

Approche continue

filtrage en volumes des équations locales séparées et instantanées + conditions de saut aux interfaces

Modèle à deux fluides Delhaye, 1974 ; Drew, 1983

méthode populaire simple mais approche très restrictive t gp u τ τ <<

Modèles à 2 fluides améliorés : modèles algébriques issus de la

théorie de Tchen

Elgobashi & Abou-Arab, 1983 ; Simonin et al, 1990 prise en compte de la turbulence du fluide mais mécanisme prépondérant = turbulence fluide 01 , 0 << p α

Théorie cinétique des mélanges granulaires

secs

Jenkins & Savage, 1983

Modèles diphasiques denses Lun et al, 1984 Ding & Gidaspow, 1990

mécanisme prépondérant = collisions particule/particule 1 , 0 > p α

Méthodes couplées PDF/DNS ou PDF/LES

équation cinétique filtrée de la pdf particulaire + fermeture des termes de sous maille

Boivin et al, 2000 Pandya & Mashayek, 2002

champ fluide local instantané connu mais

mouvement décorrélé des particules non pris en compte

Formalisme Mésoscopique Eulérien (MEF)

équation cinétique de la pdf particulaire moyennée sur une réalisation du champ fluide

Simonin et al, 2002 Février et al, 2005

prise en compte de la variance de vitesse mais

nécessite couplage avec LES ou DNS du gaz CPS

SPPM CPPM