La figure A

Figure 26 : La figure A

3.1.1. Les connaissances sollicitées

En termes de surfaces, l’élève doit reconnaître que la figure complexe est la juxtaposition d’un carré et d’un triangle rectangle. L’élève doit repérer qu’un des côtés de l’angle droit du triangle mesure la moitié du côté du carré.

En termes de lignes, l’élève doit être capable de construire un carré et un triangle rectangle en traçant les segments de longueurs données. Il doit donc être capable de mesurer des longueurs de segments. Il faut aussi qu’il sache construire des angles droits. Pour ce faire, l’élève doit savoir utiliser les nœuds du quadrillage à bon escient. Cette dernière connaissance est aussi valable pour les figure C et E qui sont aussi sur un support quadrillé.

3.1.2. La description de la figure A

La figure A se compose d’un carré de 6 cm de côté auquel est adjacent un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 6 cm, le côté de 6 cm étant dans le prolongement d’un côté du carré.

En GI, pour réaliser une description adéquate l’élève doit reconnaître que la figure complexe est composée de deux figures simples soit le carré et le triangle rectangle. Cependant, il ne peut seulement se fier à sa perception pour réaliser une description complète : il doit utiliser les instruments disponibles pour faire des liens entre les égalités de longueurs entre les deux figures (au minimum, compter les carreaux). De cette façon, l’élève pourra décrire les lignes (segments) plutôt que les surfaces. Par ailleurs, il se pourrait que l’élève ne spécifie pas quel est le type de triangle ou le qualifie mal: l’élève pourrait simplement dire que c’est un triangle ou que c’est un triangle isocèle. De même, il est important de mentionner que l’élève pourrait repérer des éléments qui sont redondants et non nécessaires pour la description. Par exemple, on peut s’attendre à ce que l’élève dise qu’il y a un carré qui a quatre côtés de 6 cm, quatre angles droits, que ce dernier a des « droites » perpendiculaires et des « droites » parallèles. À propos du triangle rectangle, il pourra dire que celui-ci a trois côtés, qu’il a un côté deux fois plus long que l’autre sans préciser que ce sont les côtés de l’angle droit, ou que la mesure de l’hypoténuse (« le 3e côté ») n’est pas un nombre entier de centimètres. Nous pensons également qu’il se pourrait que l’élève ne tienne pas compte de la hiérarchisation des propriétés dans la figure. Par exemple, il pourrait dire « la figure a des angles droits, des droites parallèles, un triangle et un carré de 6 cm de côté qui sont collés ». Quoique cette description soit complète, il aurait peut- être été plus pertinent d’indiquer en premier lieu que cette figure est composée d’un triangle et d’un carré avant même de parler des angles droits et des droites parallèles. Nous supposons que l’élève pourrait faire de même pour la description des autres figures (B, C, D, E, F).

Si l’élève fonctionne dans le paradigme géométrique G0, il ne se fiera qu’à sa perception globale de la figure et ne vérifiera pas ses intuitions avec les instruments. L’élève décrira sans doute davantage les surfaces plutôt que les liens entre les lignes. Il pourra mentionner qu’il y a un carré et un triangle sans nécessairement évoquer les liens d’incidence entre les deux figures. Un tel élève pourra décrire la figure en la comparant à un objet qu’il connaît (ex. : « ça ressemble à une souris, un oiseau sans pattes, une voiture », etc.).

3.1.3. Exemples de descriptions de la part des élèves

Nous donnons ici quelques descriptions auxquelles nous nous attendons en précisant la valeur que nous leur accordons. Il est important de mentionner que pour toutes les productions des élèves, nous ne prendrons pas en compte les erreurs d’orthographe.

Description complète

« Cette figure est composée d’un carré et d’un triangle rectangle collés ensemble. Le carré mesure 6 cm de côté. Les côtés de l’angle droit du triangle mesurent 3 cm et 6 cm ». Description complète avec des informations superflues.

« Cette figure est composée d’un carré de 6 cm de côté. Le carré a 4 angles droits et 4 côtés qui mesurent 6 cm. Le carré a deux paires de côtés parallèles. Le triangle rectangle a un angle droit et il touche le carré. Les côtés de l’angle droit du triangle mesurent 3 cm et 6 cm ». Descriptions incomplètes ou erronées

Ne parle pas de l’incidence entre les figures : « Il y a un carré avec quatre côtés qui mesurent 6 cm. Il y a un triangle rectangle et les côtés mesurent 3 cm, 6 cm et 6,7 cm »

Ne parle pas des mesures de longueur : « Il y a un carré et un triangle »

Utilise du vocabulaire non-géométrique ou géométrique inadéquat : « Il y a un cube* qui mesure 6 cm. Il y a un triangle carré* et ses côtés mesurent 3 cm, 6 cm et 6,7 cm ». « La figure ressemble à la tête d’un oiseau : la tête est carrée et le bec est pointu ».

3.1.4. La description proposée dans le scénario 3

Nous proposons ci-dessous un programme de construction qui associe à la fois une description en termes de surfaces et en termes de lignes. Le vocabulaire est adapté aux élèves de 4e année. Ainsi il ne serait pas pertinent de dire que le triangle est adjacent au carré, cet adjectif étant inconnu de la plupart des élèves.

Dans les programmes de construction, nous faisons le choix de mettre en italique un indice de construction à l’élève. En effet, pour ne pas alourdir encore davantage la description, tout en levant un certain nombre d’ambiguïtés, il est nécessaire, par de tels indices, de répondre à

- Construis triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 3 cm. - Construis un carré de 6 cm de côté, collé au côté de 3 cm du triangle rectangle et à

l’extérieur du triangle rectangle.

- Le côté de 6 cm du triangle rectangle et un côté du carré doivent être dans le prolongement l’un de l’autre.

Le 3e côté du triangle rectangle mesure environ 6,7 cm.

3.1.5. La reproduction de la figure A

Si l’élève n’a pas bien reconnu ou identifié les figures simples dans la figure complexe, il aura de la difficulté à la reproduire. Il devra en particulier utiliser à bon escient l’artefact « papier quadrillé », comme un instrument, pour réussir sa construction. Ceci est également valable pour les autres figures à reproduire sur le papier quadrillé (C et E).

Cette figure peut être construite de plusieurs façons. Si l’élève fonctionne en GI, il sera en mesure de déconstruire la figure et d’identifier qu’elle se compose d’un carré et d’un triangle rectangle adjacents l’un à l’autre. L’élève pourra commencer par construire le carré de 6 cm de côté en comptant le bon nombre de carreaux et en suivant les lignes du quadrillage, puis construire le triangle rectangle. Dans la construction du triangle rectangle, il pourra d’abord prolonger le côté du carré de 6 cm, puis en repérer le milieu du « bon » côté du carré pour tracer l’hypoténuse du triangle rectangle. Il pourra aussi repérer le milieu du « bon » côté du carré, tracer le côté du triangle rectangle de 6 cm dans le prolongement du côté du carré et joindre le milieu repéré à l’extrémité du côté qu’il vient de tracer pour terminer la construction du triangle rectangle. L’élève pourra aussi commencer par construire le triangle rectangle en respectant les mesures des côtés de l’angle droit. Dans le prolongement du côté de 6 cm, il pourra construire le carré adjacent à ce triangle rectangle, le côté du carré mesurant 6 cm.

Tout en travaillant en GI, il arrivera que certains élèves commettent des erreurs dans la reproduction de la figure. Celles-ci peuvent être de différentes natures : elles peuvent être liées à l’utilisation des instruments, à la description ou à l’image mentale que l’élève se donne de la figure, au respect des mesures qu’il a repérées sur le modèle, etc. À propos de l’utilisation des instruments, on peut s’attendre à ce que les élèves manquent de dextérité et aient de la difficulté à tracer des traits qui suivent les lignes du quadrillage et en respectent les nœuds. Cela fera en sorte que les angles formés ne seront pas des angles droits (pour le triangle rectangle et pour le

carré) et les mesures de longueur ne seront pas rigoureusement respectées alors que la description proposée est pertinente (scénarios 2 et 3). En effet, il se pourrait qu’un élève ne tienne pas compte des nœuds du quadrillage, mais seulement des mesures de longueur de la figure modèle. Ainsi, il pourrait commencer à tracer un segment n’importe où comme si le support papier était blanc. Nous pensons également qu’il sera possible qu’un élève se trompe dans la mesure des longueurs en cm ou ne dénombre pas le bon nombre de carreaux pour les dimensions du carré et du triangle. Nous pensons que nous retrouverons ces maladresses sur les autres figures (B, C, D, E, F).

Si un élève travaille dans le paradigme G0, la décomposition de la figure A en ses deux figures simples ne sera pas facile : il n’est pas certain qu’il reconnaisse le carré et le triangle rectangle et que la plupart des côtés suivent les lignes du quadrillage. Nous pensons que l’élève pourra ne pas utiliser avec habileté les instruments mis à sa disposition et qu’il pourra tracer toute ou une partie de la figure à main levée. Il se fiera uniquement à sa perception et réajustera ses tracés pour que sa production ressemble globalement davantage à la figure initiale. Ainsi, nous envisageons qu’un élève construise un rectangle de 6 cm par 3 cm à la place du carré comme pour mieux se rapprocher de sa description figurative (souris, oiseau, etc.). D’autres situations de ce genre sont attendues.