La figure B

Figure 27 : La figure B

3.2.1. Les connaissances sollicitées

En termes de surfaces, l’élève doit reconnaître que la figure complexe est la superposition d’un rectangle et d’un carré. L’élève doit repérer qu’une des diagonales du

En termes de lignes, l’élève doit être capable de construire un rectangle et un carré avec ses instruments de géométrie. Il doit donc être capable de mesurer des longueurs de segments. Il faut aussi qu’il sache construire des angles droits en utilisant son équerre et sa règle.

3.2.2. La description de la figure B

La figure B se compose d’un rectangle de 6 cm par 8 cm et d’un carré dont le côté de 10 cm est la diagonale du rectangle.

S’il fonctionne en GI, pour réaliser une description adéquate l’élève doit reconnaître que la figure complexe est composée de deux figures simples superposées soit le rectangle et le carré. Pour réaliser une description complète, il ne peut se fier à sa perception : il doit utiliser les instruments disponibles (règle et équerre) pour établir que la diagonale du rectangle est un des côtés du carré. Ainsi, il décrira les lignes (segment) plutôt que les surfaces. Il se pourrait que l’élève ne reconnaisse pas le carré, car il n’est pas disposé en position prototypique. Par ailleurs, il est important de mentionner que l’élève pourrait repérer des éléments qui sont redondants et non nécessaires pour la description. Par exemple, on peut s’attendre à ce que l’élève dise qu’il y a un carré qui a quatre côtés de 10 cm, quatre angles droits, que ce dernier a des « droites » perpendiculaires et des « droites » parallèles. À propos du rectangle, il pourra dire que celui-ci a quatre côtés, qu’il a quatre angles droits et qu’il a deux côtés de 6 cm et deux côtés de 8 cm. Nous pouvons aussi nous attendre à ce qu’un élève perçoive la figure B par juxtaposition. Il pourrait voir qu’il y a un carré et deux triangles rectangles de même mesure. À partir de cette autre perception, l’élève pourra donner une description complète de la figure.

Si l’élève fonctionne dans le paradigme géométrique G0, comme pour la figure A, il ne se fiera qu’uniquement à sa perception et ne vérifiera pas ses intuitions à l’aide des instruments. Il dira qu’il y a un rectangle et un carré sans nécessairement mentionner les liens d’incidence entre les deux figures ou sans préciser qu’il y a deux figures et le lien qui existe entre elles. Un élève pourrait également décrire la figure en la comparant à un objet usuel (ex. : ça ressemble à une enveloppe).

3.2.3. Exemples de descriptions

Nous donnons ici quelques descriptions auxquelles nous nous attendons en précisant la valeur que nous leur accordons.

Descriptions complètes

« Dans cette figure, il y a un rectangle et un carré. Le rectangle mesure 6 cm × 8 cm et il a une diagonale qui mesure 10 cm. Cette diagonale est un des côtés du carré. »

« Dans cette figure, il y a un carré de 10 cm de côté. Sur un des côtés du carré, il y a un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm et l’autre côté mesure 10 cm. Sur ce même côté du carré, il y a en dessous un autre triangle rectangle de même mesure ». Même si cette description peut sembler incomplète, nous la considèrerons juste étant donné que les élèves de 4e _{année n’ont pas le vocabulaire géométrique adéquat pour en dire}

davantage.

Description complète avec un surplus d’informations

« Cette figure a un rectangle qui a deux côtés qui mesurent 6 cm et deux côtés qui mesurent 8 cm. Le rectangle a une diagonale qui mesure 10 cm. Le carré a quatre côtés qui mesurent 10 cm et il a aussi quatre angles droits. Un des côtés du carré est la diagonale du rectangle. »

Descriptions incomplètes ou erronées

Ne parle pas de l’incidence entre les figures : « Il y a un rectangle qui mesure 6 cm par 8 cm. Il y a un carré qui mesure 10 cm de côté »

Ne parle pas des mesures de longueurs : « Il y a un rectangle et un carré »

Utilise du vocabulaire non-géométrique ou géométrique non-correct : « Il y a un rectangle qui mesure 6 cm de largeur et 8 cm de longueur. Il y a un carré dont ces faces* mesurent 10 cm ». « Il y a rectangle et un cube* ». « La figure ressemble à une enveloppe ».

3.2.4. La description proposée dans le scénario 3

Ainsi il ne serait pas pertinent de dire que le carré est superposé au rectangle, cet adjectif étant inconnu de la plupart des élèves.

- Construis un rectangle de 8 cm de longueur par 6 cm de largeur. - Trace une des diagonales du rectangle.

- Cette diagonale sera un des côtés d’un carré. - Construis les trois autres côtés du carré.

Le carré et le rectangle sont l’un par-dessus l’autre et le côté du carré mesure 10 cm.

3.2.5. La reproduction de la figure B

Si l’élève n’a pas bien reconnu ou identifié la figure complexe, il aura de la difficulté à bien la reproduire. Il devra donc utiliser correctement l’artefact « règle graduée et équerre » pour réussir sa construction sur le papier blanc. Ceci est également valable pour les autres figures à reproduire sur le papier blanc. Nous avons choisi de faire reproduire cette figure sur du papier blanc, car la diagonale du rectangle a une mesure entière en centimètres. Il sera donc plus facile pour les élèves de réaliser cette construction sur du papier blanc étant donné qu’ils n’auront pas à mesurer des longueurs en nombres décimaux.

Cette figure peut être construite de plusieurs façons. Si l’élève fonctionne en GI, il sera en mesure de déconstruire la figure et d’identifier qu’elle se compose d’un rectangle et d’un carré superposés l’un à l’autre. L’élève pourra commencer par construire le rectangle (6 cm × 8 cm) en mesurant la longueur des segments avec la règle graduée et en construisant les angles droits avec l’équerre. Il tracera ensuite une diagonale du rectangle. Cette diagonale sera l’un des côtés du carré. Pour tracer les autres côtés, il construira d’abord deux des angles droits à chaque extrémité de la diagonale en utilisant l’équerre. Il mesurera les longueurs à l’aide de sa règle graduée pour que les côtés des angles droits soient de 10 cm. Finalement, il pourra joindre les deux segments pour former le dernier côté du carré.

Une autre façon beaucoup moins efficace sera de commencer par construire le carré puis le rectangle. Pour ce faire, l’élève construira le carré de 10 cm de côté en mesurant en cm la diagonale du rectangle de la figure modèle en utilisant la règle graduée et l’équerre. Ensuite, il construira le rectangle qui lui est superposé. Puis, sur un des côtés qui sera la diagonale du rectangle, il tracera un segment de 6 cm à partir d’un des sommets du carré et il tracera un

deuxième segment, à partir de l’autre sommet, de 8 cm en s’assurant qu’ils forment un angle droit. Il répètera le geste pour construire les deux autres côtés du rectangle. Nous anticipons que l’élève procèdera par essai erreur pour que les angles formés soient bien des angles droits. Nous pensons que cette deuxième façon de construire la figure amènera l’élève à n’utiliser que la règle pour tracer les angles droits. Comme cette construction demande beaucoup plus d’étapes et qu’il est difficile de bien placer la règle et l’équerre pour tracer les angles droits du rectangle, on peut penser que les coins de la règle serviront à construire les angles droits. De plus, comme le carré n’est pas disposé en position prototypique, il est probable que les élèves ne le construisent pas correctement: ils seront tentés de construire un carré en position prototypique. Pour ce faire, ils traceront les côtés en suivant les bords de la feuille, par conséquent les angles construits ne seront pas des angles droits.

Si un élève travaille dans le paradigme G0, la décomposition de la figure B en deux figures simples ne sera pas facile : il se pourrait que l’élève ne reconnaisse pas le rectangle et le carré. Nous pensons que l’élève pourra ne pas utiliser avec habileté les instruments mis à sa disposition et qu’il pourra tracer toute ou une partie de la figure à main levée. Ainsi, nous envisageons qu’un élève construise un losange (voire un parallélogramme) à la place du rectangle qui aurait des côtés de 6 cm (largeur du rectangle) comme pour se rapprocher de sa description figurative (enveloppe, etc.). Nous anticipons le fait qu’un élève construise un rectangle de 6 cm par 10 cm en le juxtaposant à un carré de 10 cm de côté. Cela permettra à l’élève de construire une figure en position prototypique. D’autres situations similaires sont attendues.