La figure C

3.3.1. Les connaissances sollicitées

En termes de surfaces, l’élève doit reconnaître que la figure complexe est la superposition de deux carrés. L’élève pourrait aussi percevoir la figure complexe comme la juxtaposition d’un carré et de quatre triangles rectangles.

En termes de lignes, l’élève doit être capable de construire un carré. Il doit donc être capable de mesurer des longueurs de segments données. Il faut aussi qu’il sache construire des angles droits. Pour ce faire, l’élève doit savoir utiliser les nœuds du quadrillage à bon escient.

3.3.2. La description de la figure C

La figure C se compose d’un carré de 7 cm de côté et d’un carré, inscrit dans le premier, qui a subi une rotation et une homothétie. Les sommets du 2e _{carré sont situés à 2 nœuds de}

quadrillage de ceux du 1er _{carré. Nous avons fait le choix de prendre un côté dont une mesure}

est un nombre impair pour nous assurer que le 2e _{carré ne soit pas en position prototypique.}

Si l’élève fonctionne dans un paradigme géométrique GI, pour réaliser une description adéquate, il doit reconnaître que la figure complexe est composée de deux figures simples soit de deux carrés. Il se pourrait aussi que l’élève utilise sa règle graduée pour mesurer la longueur des côtés du 2e carré qui n’est pas un nombre entier de centimètres. Si l’élève perçoit cette figure complexe comme la juxtaposition de figures simples, il pourra repérer un carré autour duquel sont placés quatre triangles rectangles dont l’hypoténuse est aussi le côté du carré.

Par ailleurs, il se pourrait que l’élève ne spécifie pas quel est le type de quadrilatère ou le qualifie mal: l’élève pourrait simplement dire que c’est un rectangle ou un « losange » (ce qui est vrai; cependant nous pouvons nous demander si l’élève le saura lui-même).

Si l’élève fonctionne dans le paradigme géométrique G0, au mieux, il mentionnera qu’il y a deux carrés sans évoquer les liens d’incidence entre les deux figures. Un tel élève pourrait décrire la figure en la comparant à un objet qu’il connaît (ex. : « ça ressemble à une fleur, une étoile », etc.).

3.3.3. Exemples de descriptions

Nous donnons ici quelques descriptions auxquelles nous nous attendons en précisant la valeur que nous leur accordons.

Descriptions complètes

« Dans cette figure, il y a un carré de 7 cm de côté dans lequel il y a un autre carré. Les sommets du deuxième carré se situent à 2 cm des sommets du 1er carré »

« Dans cette figure, il y a un carré de 5,3 cm de côté et autour de ce carré il y a quatre triangles rectangles dont les côtés mesurent 5 cm, 2 cm et 5,3 cm ». Même si cette description peut sembler incomplète, nous la considèrerons juste étant donné que les élèves de 4e année n’ont pas le vocabulaire géométrique adéquat pour en dire davantage.

Description complète avec un surplus d’informations

« Dans cette figure, il y a un carré avec quatre côtés qui mesurent 7 cm de côté dans lequel il y a un autre carré qui a quatre côtés de 5,3 cm. Les sommets du deuxième carré se situent à 2 cm des sommets du 1er carré. Il y a 8 angles droits ».

Descriptions incomplètes ou erronées

Ne parle pas de l’incidence entre les figures : « Il y a un carré de 7 cm de côté et un carré de 5,3 cm de côté »

Ne parle pas des mesures de longueur : « Il y a deux carrés »

Utilise du vocabulaire non-géométrique ou géométrique non-pertinent : « Il y a un cube* qui mesure 7 cm de côtés. Il y a un cube* dont ces faces* mesurent 5,3 cm ». « La figure ressemble à une fleur ».

3.3.4. La description proposée dans le scénario 3

Nous proposons ci-dessous un programme de construction dont le vocabulaire est adapté aux élèves de 4e _{année. Ainsi il ne serait pas pertinent de dire que le carré est inscrit dans le carré,}

- Construis un carré de 7 cm de côté.

- Sur chaque côté du carré, marque 4 points à 2 cm de chaque sommet, en tournant toujours dans le même sens.

- Relie ces 4 points entre eux pour former un nouveau carré.

Le nouveau carré à l’intérieur du grand carré a des côtés qui mesurent environ 5,4 cm.6

3.3.5. La reproduction de la figure C

Cette figure peut être construite de plusieurs façons. Si l’élève fonctionne en GI, il sera en mesure de déconstruire la figure et d’identifier qu’elle se compose de deux carrés, l’un inscrit dans l’autre. Il pourra commencer par construire le carré de 7 cm de côté en comptant le bon nombre de carreaux et en suivant les nœuds du quadrillage, puis construire le deuxième carré à l’intérieur du premier. Dans la construction du 2e carré, il placera d’abord les sommets du carré en les plaçant à deux carreaux des sommets du 1er carré. Puis, il joindra les quatre sommets pour tracer les côtés du carré. Il pourra aussi repérer un sommet à la fois et tracer au fur et à mesure les segments. Vu que la reproduction de la figure C se fait sur du papier quadrillé, nous pensons qu’il serait étonnant qu’un élève construise le petit carré pour ensuite tracer le carré à l’extérieur du premier. Cette façon de faire serait trop difficile. Malgré cela, il se pourrait qu’un élève construise le petit carré en premier pour ensuite construire des triangles rectangles autour de ce dernier, surtout s’il perçoit la figure complexe comme la juxtaposition de figures simples. Tout en travaillant en GI, nous pensons qu’il sera possible qu’un élève se trompe dans la mesure des longueurs et ne dénombre pas le bon nombre de carreaux pour les dimensions du carré et pour le placement des sommets du 2e _carré.

Si un élève travaille dans le paradigme G0, la décomposition de la figure C en ses deux figures simples ne sera pas facile : il n’est pas certain qu’il reconnaisse les deux carrés et que la plupart des côtés suivent les lignes du quadrillage. Nous pensons que l’élève pourra ne pas utiliser avec habileté les instruments mis à sa disposition et qu’il pourra tracer toute ou une partie de la figure à main levée. Il se fiera uniquement à sa perception et réajustera ses tracés pour que sa production ressemble globalement davantage à la figure initiale. Ainsi, nous envisageons qu’un élève pourra construire un carré de 6 cm de côté et un losange dont les sommets sont les milieux

des côtés du carré comme pour mieux se rapprocher d’une figure disposée en position prototypique.