Les programmes de 2002 précisent : « A la fin de l’école maternelle, l’enfant est confronté à des problèmes où les nombres peuvent être utilisés pour anticiper le résulta t d’une action sur des quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage). La résolution des problèmes rencontrés ne nécessite pas le recours au formalisme mathématique (+, -, =). Ceci sera introduit à l’école élémentaire ».
Ce qui suit est extrait du site
http://www.tematice.org/fichiers/t_article/128/article_doc_fr_Barrouillet_.rtf
Savoirs, savoir-faire arithmétiques, et leurs déficiences (version longue) Pierre Barrouillet, Valérie Camos et beaucoup d’autres…
A visiter absolument… particulièrement par les non-mathématiciens…
« Pour résoudre les additions simples comme 4 + 3, les enfants disposent de cinq classes générales de stratégies : l'utilisation d'objets, le comptage sur les doigts, le comptage verbal, les décompositions et enfin la récupération directe en mémoire du résultat (Carpenter & Moser, 1983;
Ilg & Ames, 1951; Siegler, 1987). Les mêmes classes de stratégies sont observées pour la soustraction, auxquelles il faut en ajouter une faisant appel à l'addition correspondante (voir Baroody, 1984b) ».
F3a) addition :
L’utilisation d’objets :
« En ce qui concerne l'addition, Fuson (1982) a montré que les enfants, dès l'âge de 3 ans, peuvent utiliser des objets pour répondre à des questions telles que "combien font 3 gâteaux et 2 gâteaux ?" en matérialisant chaque nombre à additionner par une collection d'objets et en dénombrant la collection résultante à l'aide du pointage manuel, "1, 2, 3, 4, 5". L'utilisation d'objets s'observe encore chez des enfants de 4 et 5 ans en fonction de la difficulté du problème (Fuson, 1982) ».
Le comptage sur les doigts, le comptage verbal :
« Cependant, s'ils ne connaissent pas le résultat, c'est-à-dire s'ils ne peuvent le retrouver en mémoire, les enfants de 4 et 5 ans utilisent plus fréquemment le comptage sur les doigts ou le comptage verbal pour résoudre les additions simples (Geary & Burlingham-Debree, 1989; Siegler & Shrager, 1984). Les doigts, comme les objets, peuvent être utilisés pour représenter les collections à additionner. Cependant les enfants semblent davantage les utiliser pour contrôler la progression du comptage que pour réellement représenter les nombres.
Une des stratégies les plus rudimentaires - elle renvoie à l'utilisation d'objets - consiste à représenter chacun des opérandes par un nombre correspondant de doigts et compter ensuite l'ensemble. Cette stratégie n'est applicable qu'aux sommes inférieures à 10.
La stratégie correspondante en comptage verbal n'est pas contrainte par cette limite. Elle est connue sous le nom de somme (sum strategy), ou "compter tout" (counting all) et consiste à compter les deux nombres en partant de 1. Ainsi, 4 + 3 est résolu en comptant à haute voix 1, 2, 3, 4, puis en poursuivant par un nombre de pas équivalant au second opérande : 5, 6, 7.
Certaines stratégies de comptage avec les doigts permettent cependant d'atteindre des sommes supérieures à 10. La plus fréquente, pour calculer par exemple 6 + 8, consiste à lever 8 doigts puis à compter au-delà de 6 en bougeant successivement chacun des doigts levés (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14).
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La stratégie équivalente en comptage verbal est dite comptage à partir du premier nombre (dite aussi "counting on" ou "first", Ashcraft, 1982; Groen & Parkman, 1972).
L'enfant contrôle alors mentalement, et non plus à l'aide de ses doigts, le nombre de pas dans la chaîne numérique correspondant au second opérande. Ces stratégies sont en général d'apparition plus tardive parce qu'elles requièrent de la part de l'enfant la capacité à énoncer la chaîne numérique en débutant à partir de n'importe quel nombre et non plus seulement à partir de 1 (Fuson 1982).
Fuson et Kown (1992) ont par ailleurs rapporté des stratégies de comptage sur les doigts beaucoup plus sophistiquées chez des enfants coréens…
La stratégie de comptage verbal la plus sophistiquée s'apparente à la précédente mais consiste à compter non plus à partir du premier mais du plus grand des deux nombres (dite aussi stratégie min, pour minimum, Groen & Parkman, 1972). Cette stratégie qui simplifie le calcul nécessite une compréhension intuitive du principe de cardinalité : l'ordre dans lequel sont additionnés les deux nombres n'a pas d'incidence sur le résultat.
La transition du comptage sur les doigts au comptage verbal est progressive et dépend principalement de la capacité de l'enfant à contrôler mentalement le déroulement du calcul et à conserver une trace de ce qui a déjà été et de ce qui reste à compter. En ce qui concerne les stratégies verbales qui supplantent progressivement le comptage sur les doigts, les enfants d'école maternelle semblent utiliser le plus fréquemment les stratégies "counting all" et "counting on" alors que la stratégie min semble privilégiée par les enfants de CP et CE1 (Ashcraft, 1982; Ashcraft & Fierman, 1982; Groen & Parkman, 1972).
Il est important de noter que ces stratégies ne sont pas enseignées aux enfants mais qu'ils les découvrent par eux-mêmes (Baroody, 1984a; Groen & Resnick, 1977; Siegler & Jenkins, 1989). Ainsi, lorsque l'enfant entre à l'école primaire, il a déjà une longue expérience de la pratique de l'addition et a développé diverses stratégies.
La récupération directe du résultat en mémoire :
La stratégie la plus efficace, c'est-à-dire la plus rapide et la plus sure, est la récupération directe du résultat en mémoire. L'utilisation récursive des procédures de comptage pour résoudre un même problème conduirait à une association en mémoire à long terme du problème avec le résultat ... Lorsque cette association est suffisamment forte, le résultat serait directement activé par la présentation des opérandes et récupéré en mémoire.
Il est à noter que même de très jeunes enfants peuvent utiliser la récupération pour certains problèmes très faciles (1 + 2). Les doubles (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) ainsi que les problèmes impliquant les plus petits opérandes sont mémorisés les premiers. La mémorisation précoce des doubles ouvre la voie à des stratégies de décomposition. Un problème difficile comme 7 + 6 peut être résolu en récupérant le résultat connu de 6 + 6 et en y ajoutant 1. Une autre stratégie courante de décomposition consiste à passer par 10 (7 + 6 équivaut à 7 + 3 = 10, plus 3, 13). Contrairement à ce que l'on pourrait penser, et comme nous le verrons plus loin, le nombre de résultats pouvant être mémorisés semble relativement restreint et ne concernerait au mieux que les résultats inférieurs à 20… ».
F3b) Soustraction :
« Comme indiqué précédemment, les mêmes grandes classes de procédures de réso-lution sont observées pour la soustraction ».
L’utilisation d’objets :
« Dès 4 ou 5 ans, beaucoup d'enfants sont capables de résoudre des soustractions simples à l'aide de matériel manipulable. 3 stratégies principales ont été décrites
(Carptenter & Moser, 1984).
* La 1ère, dite "separate from", consiste, pour
calculer 5 – 3, à ôter 3 objets d'un ensemble de 5 et à dénombrer le résidu.
* La seconde, "adding on", consiste à placer 3 objets, puis à ajouter des objets jusqu'à obtention d'un ensemble de 5. Le nombre d'objets ajoutés constitue le résultat.
* La troisième consiste à placer deux ensembles de 5 et 3 objets en correspondance terme à terme et à dénombrer les objets isolés.
Il est intéressant de noter que, même chez de jeunes enfants, la sélection de la procédure est fonction du problème posé. La question "Jean a 5 billes, il
en donne 3 à Luc, combien lui en reste-t-il ?" sera préférentiellement résolue par une stratégie
"separate from", alors que le problème "Jean a 5 billes, Luc a 3 billes, combien Jean a-t-il de billes de plus que Luc" le sera par mise en correspondance des deux ensembles (Carpenter & Moser, 1983; Riley, Greeno, & Heller, 1983). Cette adaptativité témoigne de ce que l'arithmétique intuitive des enfants de l'école maternelle repose en partie sur une représentation analogique des situations problèmes qu'ils ont à résoudre ».
Le comptage sur les doigts, le comptage verbal :
« Les stratégies de comptage sur les doigts ou de comptage verbal sont la reproduction de ces stratégies élémentaires. Deux stratégies sont observées, dites "counting up" et "counting down".
• La stratégie "counting down" consiste à compter à rebours à partir du nombre le plus grand un nombre de pas équivalent au plus petit (5 - 3: 4, 3, 2, le résultat est 2).
• La stratégie "counting up" consiste quand à elle à compter en partant du nombre le plus petit jusqu'à atteinte du nombre le plus grand : le nombre de pas constitue le résultat.
Toutefois, la stratégie "counting up" semble la plus fréquemment utilisée (Siegler, 1989) en raison de son plus faible coût cognitif que "counting down". Cette dernière nécessite en effet un comptage à rebours, difficile pour les enfants, et le contrôle simultané du nombre de pas.
La récupération en mémoire de faits additifs pour résoudre les soustractions est aussi utilisée par les enfants, bien qu'assez rarement: Siegler (1989) rapporte que 2% seulement des soustractions sont ainsi résolues par les enfants de CE1, et que ce pourcentage atteint 21% en CM1. Cette stratégie nécessite en effet la récupération en mémoire des faits additifs correspondants, récupération qui n'est majoritairement utilisée pour l'addition qu'à partir du CE2 ».
La récupération directe du résultat en mémoire :
« Enfin, la dernière stratégie est bien entendu la récupération directe en mémoire des faits soustractifs. Toutefois, l'existence d'un réseau stockant en mémoire à long terme les faits numériques relatifs à la soustraction n'est pas reconnue par tous… ».
Autres sites à visiter : http://maths.creteil.iufm.fr/Premier_degre/cadre_accueil_apprentissage.htm, http://www.mission-laique.com/enseignants/pdf/math50/am50p05.pdf,
Jean-Pierre Geslin. 155
« A l'inverse des additions et soustractions, les multiplications et divisions ne semblent pas accessibles à l'arithmétique intuitive des enfants de maternelle. Il n'existe… pas de
développement spontané de procédures de comptage pour ces opérations ».