Existence d'un taux de restitution d'énergie local en plasticité confinée Schématisation du problème

Figure II.3.2.1-a : Représentation du processus de propagation en déplacement imposé.

Nous allons maintenant présenter en quoi ce mécanisme va nous permettre d'isoler l'énergie liée à la rupture du matériau.

II.3.2.2.Existence d'un taux de restitution d'énergie local en plasticité confinée Schématisation du problème

Soit une fissure présente dans une géométrie quelconque en plasticité confinée au moment où le critère d'amorçage est atteint. Selon notre description de la propagation, nous réalisons une extension de fissure à déplacement imposé constant. Supposons que l'extension de fissure amène la pointe de fissure dans une zone où le matériau était élastique au moment de l'amorçage (figure II.3.2.2-a).

Dans la première configuration de la figure II.3.2.2-a, le comportement élasto-plastique étant comparable à celui d'un matériau élastique non-linéaire, la zone autour de la pointe de fissure ne présente aucune décharge, même dans la zone plastique.

Dans la seconde configuration (après extension), la zone élastique présente, par nature, un chargement radial. La nouvelle zone plastique présente également peu de points en décharge. On supposera alors que le comportement élasto-plastique peut être assimilé au comportement d'un matériau élastique non-linéaire. Par contre, le domaine correspondant à la zone plastique initiale ne peut plus être assimilé à un matériau élastique non-linéaire compte tenu de la décharge liée à l'extension de fissure.

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Chapitre II : Approche énergétique de la déchirure ductile : proposition de critères

Sollicitation de la pointe de fissure avant l'extension de fissure Zone plastique

O

Sollicitation de la pointe de fissure après l'extension de fissure

Domaine élastique

Zone plastique précédente : Chargement non radial

Nouvelle zone plastique

Figure II.3.2.2-a : Illustration de l'exemple considéré.

Dans ce cas, les conditions numériques de validité de la force fissurante F, introduite par N'Guyen [11-19] sont vérifiées lorsqu'elle est calculée autour de la nouvelle pointe de fissure dans un domaine ne traversant pas la zone plastique initiale. Rappelons que F s'exprime par :

(II-6) où F est un contour d'intégration, s l'abscisse curviligne, w la densité d'énergie de déformation, n la normale extérieure à r , m sa composante parallèle à la direction de propagation et u le champ de déplacement. Cette force fissurante en élasticité (linéaire et non-linéaire) est égale à J (puisque N'Guyen obtient la même relation que Rice [II-2]).

Par conséquent, si l'on prend un contour d'intégration Y entourant la pointe de fissure dans sa position actuelle, mais ne traversant pas la zone plastique initiale, l'expression de F est valide et donne une représentation de l'énergie dissipée au niveau de la nouvelle pointe de fissure.

Vérification numérique de Vexistence de ce terme énergétique en plasticité confinée

Considérons le cas d'une éprouvette CT, sollicitée par un chargement croissant monotone, et modélisée par éléments finis. La loi de comportement utilisée est du type Ramberg-Osgood : est bidimensionnel, dans un état en déformations planes. Pour la première pointe de fissure, une fois que la valeur de J atteint 30 kJ/m2, une extension de fissure de 0.4 mm est réalisée par relâchement de noeuds. La longueur de cette extension de fissure est choisie de façon à sortir de la zone plastique initiale.

Pour permettre le calcul de la force fissurante F dans le domaine précédemment cité, cette extension de fissure se fait sur plusieurs éléments afin de pouvoir définir plusieurs contours d'intégration dans ce domaine. Un maillage fin dans la zone de propagation est donc nécessaire, de façon à avoir plusieurs éléments entre les deux pointes de fissures successives.

Cette démarche originale permet de plus d'avoir une description relativement précise des champs de contraintes et de déformations autour de la pointe de fissure et de multiplier le nombre de contours d'intégration possibles. La figure II.3.2.2-b présente le maillage utilisé avec 10 éléments d'une taille de 40 |am entre les deux pointes de fissures. Deux autres maillages, avec 20 et 40 éléments (c'est-à-dire respectivement de 20 et 10 um), seront également utilisés, afin d'évaluer l'influence du maillage sur les résultats.

Précisons que le calcul de J est effectué en utilisant la procédure programmée dans le code CASTEM 2000. L'équipe de développement a opté pour la méthode variationnelle de calcul de G introduite par Destuynder [11-23], dénommée G(0). Cette méthode est présentée en annexe 4. Il est ici question d'évaluer la variation de l'énergie potentielle lors d'une extension de fissure, c'est pourquoi nous préférons parler de taux de restitution d'énergie plutôt que d'intégrale J (bien que ces deux quantités soient identiques en élasticité linéaire et non-linéaire).

Afin d'avoir un niveau de chargement significatif autour de la nouvelle pointe de fissure, le chargement a été poursuivi après l'extension de fissure jusqu'à ce que la valeur de J, mesurée loin de la nouvelle pointe de fissure, atteigne 40kJ/m2. Ce choix est totalement arbitraire. La figure 11.3.2.2-c représente la contrainte équivalente au sens de Von Mises (la zone plastique est en gris) juste avant l'extension. L'hypothèse de plasticité confinée est confirmée, la zone plastique le long du ligament s'étendant sur une distance inférieure à 0.2 mm.

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Chapitre II : Approche énergétique de la déchirure ductile : proposition de critères

"f - ~ - - - 2n a e pointe de fissure l^ere pointe de fissure

Figure II.3.2.2-b : Maillage avec 10 éléments entre les deux pointes de fissure successives.

//

Figure 11.3.2.2-c : Contrainte équivalente de Von Mises juste avant l'extension de fissure.

La figure II.3.2.2-d présente l'évolution de la valeur obtenue avec l'opérateur G(6) de CASTEM 2000 en fonction du choix du contour d'intégration dans le cas du maillage avec des éléments de 20 |im (lorsque le chargement global conduit à une valeur de J de 40 kJ/m2). Les

résultats obtenus avec la procédure G(9) de CASTEM 2000 montrent l'existence de trois domaines :

• Lorsque le contour d'intégration englobe la totalité de la zone de propagation (type T3), la valeur obtenue est la valeur globale J.

• Lorsque le contour d'intégration traverse la zone de décharge (type r2) , correspondant à la zone plastique existante avant l'extension de fissure, les résultats obtenus divergent, puisque ce domaine correspond à une zone de décharge. On observe un minimum négatif, sans aucun sens physique, lorsque le contour d'intégration passe par l'ancienne pointe de fissure.

• Enfin, si le contour d'intégration passe entre les deux pointes de fissures successives, sans traverser la zone de décharge (type F]), les résultats donnent une valeur indépendante du choix de ce contour, plus faible que la valeur obtenue pour J. Nous désignerons cette valeur, indépendante du contour choisi, sous le terme Gi0Cai.

La figure 11.3.2.2-e présente les résultats obtenus pour les trois longueurs d'éléments utilisées, montrant bien l'indépendance de ceux-ci vis à vis du maillage.

Contours d'intégration

G (kJ/m2) J = 40 kJ/m2

Giocai= 18.4 k J / m2

Contour F2: d = 0.1 mm

Contour F; : d = 0.2 mm

-0.3 -0

Zone de décharge

0.1 0.2 0.3 0.4

Contour / j . d = -0.2 mm

Nouvelle zone plastique Pointe de fissure précédente

Distance d entre le contour d'intégration et la pointe de fissure précédente (mm)

i

Pointe de fissure actuelle

Figure II.3.2.2-d : Résultats fournis par G(0) en fonction du contour d'intégration.

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Actuelle pointe de fissure a;

î V "

Pointe de fissure précédente a; «-Contour d'intégration r

Giocai=18,4kJ/m

actuelle pointe de fissure -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Distance d entre le contour d'intégration et la pointe de fissure précédente (mm) Figure 11.3.2.2-e : Influence du choix du maillage.

La modélisation proposée permet donc de mettre en évidence un terme correspondant à un taux de restitution d'énergie local, noté Giocai. Le fait d'utiliser une extension de fissure s'appuyant sur plusieurs éléments permet de calculer ce paramètre en utilisant des contours d'intégration passant entre deux pointes de fissures consécutives en dehors de la zone de décharge. De plus, ce taux de restitution d'énergie local est indépendant du maillage. Le choix du nombre d'éléments entre deux pointes de fissure successives est alors à établir de façon à avoir un bon compromis entre temps de calcul et finesse du maillage. Enfin, ce paramètre est toujours inférieur à la valeur globale de J. La différence correspond à l'énergie globalement dissipée dans la structure ainsi que celle impliquée dans les extensions de fissures précédentes.

Dans le cas traité, le chargement en pointe de fissure ne présente pas de décharge, du fait de l'hypothèse de plasticité confinée et d'une extension de fissure au delà de la zone plastique. Ce taux de restitution d'énergie Giocai , dont l'expression est similaire à celle de la force fissurante F introduite par N'Guyen, vérifie donc les conditions requises pour représenter l'énergie liée à la présence de la pointe de fissure en cours de propagation.

A l'image du concept de N'Guyen, l'énergie dissipée dans le processus de rupture au niveau de la nouvelle pointe de fissure pour une extension de fissure X et par unité d'épaisseur est donc représentée par :

=(Glocal-2.y0).X (II-8)

où yo peut être estimé, comme c'est le cas en élasticité linéaire, à partir de la partie élastique de Giocai, donc de J, puisqu'en élasticité elles sont égales.

C'est donc à partir de l'énergie ôUmpt, correspondant à une énergie plastique dissipée en pointe de fissure, que nous proposerons un critère.

IL3.2.3.Cas de la plasticité étendue

Le concept proposé n'est en théorie valable qu'en plasticité confinée avec une extension de fissure discrète menant la pointe de fissure hors de la zone de décharge.

Malheureusement, cette situation n'existe que très rarement en déchirure ductile. Cependant, dans le cas de la plasticité étendue, si la longueur de l'extension de fissure est suffisamment grande, nous admettrons que la singularité liée à la nouvelle pointe de fissure effacera l'histoire du chargement avant propagation.

En effet, schématiquement, la densité d'énergie de déformation au voisinage de la pointe de fissure est fonction de r"1, où r est la distance du point considéré à la pointe de fissure avant propagation. Si l'extension de fissure est de longueur X, la superposition des deux états (avant et après extension de fissure) conduit à une densité d'énergie de déformation w de la forme :

w = A.+B. (II9) r' r'+A

où le premier terme correspond à la nouvelle singularité, le second à l'ancienne pointe de fissure et r' est la distance du point considéré à la nouvelle pointe de fissure. Si X est suffisamment grand, alors le second terme devient négligeable.

Cette hypothèse sera validée par la suite.