IAApproche globale à deux paramètres
I.6. Approche locale
1.6.1. Modélisation de ces phénomènes
1.6.2.1. Détermination des paramètres
L'ensemble de ces modèles nécessitent des essais de traction sur éprouvettes axisymétriques entaillées (AE). Pour ces éprouvettes non fissurées, le taux de triaxialité des contraintes h est directement relié au rayon de fond d'entaille (figure 1.6.2.1-a) [1-76] :
(1-53)
)
Figure I.6.2.1-a : Description d'une éprouvette AE.
Dans le cas du modèle de Rice et Tracey [1-30], ces essais suffisent pour connaître le rapport (R/R0)c. Cependant ces essais montrent que cette grandeur critique n'est pas réellement indépendante de la triaxialité des contraintes [1-77] comme le montre la figure 1.6.2.1-b pour des éprouvettes AE en acier ferritique 18MND5.
' critique
3.5 3 2.5 2 1.5
: A A
A A
• A .
à"'
1
0.75 1 1.25 1.5 1.75 h
Figure 1.6.2.1-b : Influence du taux de triaxialité sur le rapport (R/Ro)critique [1-77].
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Chapitre I : Etude bibliographique sur la déchirure ductile
Pour les modèles de Gurson et de Rousselier, hormis la fraction volumique initiale f0, tous les paramètres sont obtenus à partir de la comparaison des essais avec les courbes calculées. La figure 1.6.2.1-c montre l'influence des paramètres dans le modèle de Rousselier [1-78], ainsi que la taille de maille le sur les résultats obtenus sur éprouvettes AE.
De plus, Rousselier [1-74] montre que son modèle permet de prévoir la localisation de l'endommagement dans une éprouvette AE (voir figure 1.6.2.1-c).
cri, fo, t e7 1
Contraction diamétrale : Contraction diamétrale Acj) = <{)0 — (J)
Figure 1.6.2.1-c : Influence des paramètres sur le modèle de Rousselier [1-78].
La fraction volumique initiale fo peut être, quant à elle, déterminée à partir d'observations métallo graphiques en utilisant la technique des cellules de Voronoï ou de la triangularisation de Delaunay [1-79]. Franklin [1-80] propose également une relation empirique permettant de déduire la fraction volumique des inclusions dans le matériau (et donc la distance inter-inclusionnaire en supposant une distribution isotrope) à partir de la composition chimique du matériau : Dans le cas d'un acier présentant des inclusions de sulfures de manganèse (MnS) et des particules d'alumine (AI2O3), la relation s'écrit :
f
vFraM'" = o.O54|
%S —0.001%Mn 0.05%O (1-54)
r.6.2.2.Modélisation de la propagation de fissure
Schématiquement, la propagation de fissure correspond à la coalescence de cavités successives comme le propose la figure I.6.2.2-a. D'où l'idée d'utiliser ces modèles de
croissance de cavités pour simuler la propagation de fissure. Pour ce faire, il a fallu lier la taille de maille à la distribution inter-inclusionnaire. La distance moyenne entre 2 points de Gauss doit correspondre à la distance inter-inclusionnaire. Cette condition fait de la taille de maille X un dernier paramètre à déterminer pour utiliser ces modèles d'approche locale.
Amorçage # • m •
Croissance de cavités
Coalescence entre la
pointe de fissure et les j f j fj\ £jj[
cavités
Figure I.6.2.2-a : Mécanisme de la propagation en déchirure ductile.
De nombreux travaux de ce type sont proposés dans la littérature à partir du modèle de Rice et Tracey. Parmi les précurseurs dans ce domaine, D'Escatha et Devaux [1-81] proposent un critère de rupture prenant en compte la taille des cavités (via leur rayon R) et la distance entre deux cavités voisines (via la distance inter-centre /). Soit Ro et /o les valeurs initiales de ces deux paramètres. R évolue au cours du chargement suivant la relation de Rice et Tracey et / est donné par la relation :
() (1-55) En définissant a par le rapport (R//), les auteurs décrivent la rupture (amorçage et propagation) à partir d'une valeur critique a^. Les grandeurs caractéristiques sont moyennées dans le premier élément devant la pointe de fissure dont les dimensions sont liées à la distribution inclusionnaire.
Le critère peut être simplifié de manière à n'utiliser que la valeur critique du rapport (R/Ro), en négligeant la variation de la distance entre deux cavités voisines. Cette approche fut utilisée avec succès par :
• Devaux et al [1-82] dans le cas d'éprouvettes CT et de Traction fissurées en acier type A508,
Pa e42
Chapitre I : Etude bibliographique sur la déchirure ductile
O par Delmotte et al [1-83] dans le cas d'une plaque en traction avec une fissure centrale en alliage d'aluminium.
L'utilisation de ces modèles découplés impose le calcul en parallèle du taux de croissance de cavité, ou d'une autre grandeur équivalente. La simulation de la propagation est réalisée par relâchement de noeuds lorsque le critère d'endommagement est atteint.
Les modèles couplés sont beaucoup plus séduisants puisque l'endommagement est déterminé au cours du calcul, au même titre que les contraintes ou les déformations. Ils donnent ainsi directement l'étendue de la propagation. Les exemples suivants montrent les possibilités de ces modèles :
• Seidenfuss [1-75] a utilisé le modèle de Rousselier pour modéliser la propagation avec succès dans des éprouvettes CT en acier 20 MnMoNi 5 5 avec des profondeurs de défaut a/W différentes (figure I.6.2.2-b).
Force
Figure I.6.2.2-b : Modélisation de la déchirure ductile sur éprouvettes CT en acier ferritique avec le modèle de Rousselier [1-75].
• De même, Pitard-Bouet et al [1-84] utilisent ce modèle pour des essais de déchirure pour différentes geometries dans un acier similaire.
n Devaux et al [1-85] ont réalisé le même type d'étude avec le modèle de Gurson sur éprouvettes CT de différentes tailles et axisymétriques fissurées. Des calculs 3D permettent de comparer le front prédit pour les éprouvettes CT à la propagation obtenue au cours des essais.
H Ce type de résultats a également été obtenu par Poussard et al [1-86] sur éprouvettes CT en acier 20 MnMoNi 5 5 à partir du modèle de Rousselier : l'effet tunnel est correctement reproduit dans le cas d'une éprouvette sans entaille latérale, alors que le front prédit reste rectiligne lorsque l'éprouvette présente des entailles latérales (figure 1.6.2.2-c).
Figure 1.6.2.2-c : Modélisation de la propagation tridimensionnelle à l'aide du modèle de Rousselier [1-86].
Cependant, malgré les succès de l'approche locale présentés précédemment, des problèmes persistent. Outre les difficultés de détermination des paramètres, des problèmes de direction de propagation peuvent apparaître : par exemple, dans le cas d'une éprouvette CT modélisée avec le modèle de Rousselier, sans prise en compte d'une fraction volumique de cavité critique pour laquelle le matériau perd toute résistance, la fissure ne se propage pas dans le plan de symétrie comme le montre la figure I.6.2.2-d [1-79],
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Chapitre I : Etude bibliographique sur la déchirure ductile
Position initiale de la fissure
Figure I.6.2.2-d : Bifurcation de la fissure lors de la simulation de la propagation dans une éprouvette CT [1-79].
Seidenfuss [1-75] propose une solution numérique permettant de forcer la propagation dans le plan de symétrie : il suffit de pré-endommager tous les points de gauss de l'élément devant la pointe de fissure hormis le plus proche de celle-ci et de bloquer le noeud la précédant (figure 1.6.2.2-e). Cette astuce a pour effet d'améliorer également la convergence initiale.
Cas classique : direction de propagation
•
Astuce numérique proposée : direction de propagation
•
• •
• D
• •
• •
ô
•
• •
• D
• point de Gauss sain
g point de Gauss pré-endommagé o noeud libre
• noeud bloqué
Figure 1.6.2.2-e : Solution numérique proposée pour forcer la direction de propagation (cas d'éléments quadratiques (8 noeuds) sous intégrés (4 points de Gauss) [I-75].
Ce principe qui peut être interprété par un endommagement créé par la phase de préfissuration par fatigue permet d'obtenir une propagation dans le plan de symétrie.
Cependant, il met en évidence un problème intrinsèque à tous ces modèles couplés : la sensibilité au maillage.
/. 6.3. Conclusion
L'approche locale vise à modéliser le comportement du matériau endommagé en pointe de fissure. Dans le cas de la déchirure ductile, ces modèles sont basés sur l'initiation, la croissance et la coalescence de cavités.
Ces modèles, en particulier ceux dits couplés, nécessitent de nombreux paramètres à déterminer, mais leurs possibilités restent largement supérieures à celles des approches 'concurrentielles' actuelles, en particulier dans le cas de propagation 3D, ou des phénomènes comme l'effet tunnel ou l'influence des entailles latérales sont correctement reproduits.
Basée sur des concepts physiques, l'approche locale reste cependant contestée dans sa mise en œuvre numérique : la solution numérique proposée par Seidenfuss pour forcer la propagation à respecter les conditions de symétrie, la dépendance des résultats vis-à-vis de la taille de maille ou encore les temps de calcul importants ne font pas l'unanimité parmi les numériciens. Cependant, de nombreux travaux de recherche en cours portent sur différentes techniques, comme la délocalisation, qui devraient permettre de s'affranchir de ces problèmes.
De plus, du point de vu des coûts, cette approche n'est pas à la portée du simple bureau d'étude pour réaliser un dimensionnement : de la caractérisation expérimentale des paramètres à la mise en œuvre numérique, l'approche locale demande des moyens relativement conséquents, en particulier dans le cas de structures complexes. D'ailleurs, aucune application sur structure n'a été présentée à ce jour. Cette approche reste encore un outil de laboratoire.
Ajoutons pour terminer sur cet aspect, qu'il semble difficile de proposer une méthode simplifiée basée sur ce concept pour modéliser la déchirure ductile de façon répétitive ou paramétrique.
I.7.Synthèse
Cette étude bibliographique présente, succinctement, l'état des connaissances en ce qui concerne la déchirure ductile :
Le concept de l'intégrale J a permis l'extension de la mécanique de la rupture au comportement des matériaux élasto-plastiques, dans le cas de chargements proportionnels.
Cette intégrale présente de nombreuses caractéristiques importantes, en particulier :
• Elle est indépendante du contour d'intégration.
• Elle représente la variation d'énergie potentielle lorsqu'il y a extension de fissure. Cette propriété a permis de proposer des méthodes d'estimation expérimentales.
• Elle quantifie l'intensité des champs de contraintes et de déformations en pointe de fissure.
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Chapitre I : Etude bibliographique sur la déchirure ductile
Ces caractéristiques ne sont strictement valables que pour des sollicitations ne présentant pas de décharges, c'est-à-dire lorsque le comportement d'un matériau élasto-plastique peut être assimilé à celui d'un matériau élastique non-linéaire. Mais ces propriétés justifient l'intérêt des normes pour l'intégrale J dans les propositions de critère d'amorçage et
de propagation en déchirure ductile.
Cependant, les grandeurs caractéristiques décrivant l'amorçage et la propagation basés sur ce concept sont apparues sensibles aux effets de taille et d'échelle (dont les tendances restent assez variables) et aux effets de géométrie (les résultats obtenus lors des essais de caractérisation dépendent de la géométrie de l'éprouvette utilisée). Ces phénomènes posent le problème de transférabilité de ces grandeurs aux structures.
Ces observations sont relativement bien expliquées lorsque l'on étudie l'influence de la géométrie sur le confinement de la zone plastique et sur le taux de triaxialité des contraintes devant la pointe de fissure : plus la zone plastique est étendue, plus l'intensité des champs de contraintes diminue devant la pointe de fissure, impliquant une augmentation des valeurs de J pour obtenir le même endommagement que dans le cas d'une géométrie restant en plasticité confinée.
Ainsi certains auteurs proposent des définitions de critères ou de J hors normes qui semblent s'affranchir, du moins en partie, de ces phénomènes : Eisele propose de définir la ténacité à l'amorçage à partir de la taille de la zone d'émoussement conduisant apparemment à une grandeur intrinsèque au matériau. Enrst, quant à lui, modifie l'expression de J pour la propagation permettant de s'affranchir partiellement des effets de géométrie.
Il a été alors proposé d'associer à J un second paramètre représentatif de cette diminution des champs en pointe de fissure. Deux types d'approches peuvent être distingués : certaines approches déterminent le second paramètre à partir de la différence entre les champs calculés numériquement et un champ de référence alors que d'autres obtiennent ce paramètre directement à partir des champs calculés numériquement. Si ces approches permettent de représenter qualitativement les effets de géométrie sur la ténacité à l'amorçage ou la pente dJ/da, elles ne sont pas suffisantes pour envisager une modélisation quantitative. De plus leur mise en œuvre reste relativement coûteuse car elle s'appuie sur des abaques réalisés généralement expérimentalement et nécessitant un nombre considérable d'essais sur différentes geometries.
Certains travaux ont tenté de modéliser la propagation de fissure par des méthodes énergétiques autres que celles liées à J. Ces modèles aboutissent au même bilan énergétique : l'énergie dissipée se divise en une composante volumique (plasticité globale) et une énergie de rupture. Mais ces approches se heurtent à la distinction entre plasticité globale et énergie de rupture. Il apparaît cependant que l'utilisation d'une intégrale telle que J, calculée loin de la singularité, n'est pas adaptée pour évaluer l'énergie dissipée dans le processus de rupture : en effet, l'hypothèse d'indépendance de contour d'intégration est perdue lors de la propagation.
Une approche de ce type doit donc être basée sur un paramètre calculé localement en pointe de fissure.
Enfin, une approche se distingue de ces modélisations énergétiques : l'approche locale qui décrit la rupture en tenant compte de F endommagement du matériau en pointe de fissure.
En déchirure ductile, les modèles sont basés sur les mécanismes d'initiation, de croissance et de
coalescence de cavités. Les modèles découplés sont à distinguer des modèles couplés : les premiers calculent l'endommagement en post traitement négligeant l'influence de l'endommagement sur le calcul des contraintes et des déformations en pointe de fissure alors que les seconds en tiennent compte. Ces modèles sont relativement puissants. Ils permettent de représenter les différents effets de géométrie et de taille ainsi que les phénomènes tridimensionnels tels que l'effet tunnel ou l'influence des entailles latérales sur le profil du front de fissure. Cependant, ils sont relativement coûteux : les paramètres à déterminer sont nombreux (bien que certains soient calés empiriquement) et leur détermination nécessite la mise en œuvre de plusieurs techniques expérimentales. De plus, les moyens numériques nécessaires, en particulier dans le cas de structures, sont également importants. Enfin, cette mise en œuvre numérique reste discutée en particulier à cause de l'influence de la taille de maille sur les résultats (dont la propagation est représentée par l'endommagement).
Ce bilan des connaissances et des approches proposées pour répondre au problème de la déchirure ductile permet de mettre en évidence quelques axes de recherche possibles au niveau de la démarche et du type d'approche utilisées dans ce mémoire. Rappelons que l'objectif du travail est de proposer une solution efficace mais relativement simple (peu de paramètres) et peu coûteuse (surtout numériquement) pour modéliser la propagation de fissure en déchirure ductile, dans un contexte industriel. En ce sens, l'approche proposée devra permettre d'aboutir à une méthode simplifiée.
Ce cahier des charges conduit à privilégier les approches énergétiques beaucoup moins coûteuses et complexes que les modèles d'approche locale. Ce mémoire se propose donc de poursuivre les recherches de Turner en cherchant à isoler l'énergie dissipée dans le processus de rupture. La définition de l'amorçage de la déchirure, préalable à la phase de propagation sera celle d'Eisele et étudiée à partir de notre base expérimentale.
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Chapitre I : Etude bibliographique sur la déchirure ductile
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