Agora que a proposi¸c˜ao 2.1.1 foi devidamente provada, podemos usa-la para provar o resultado chave desse cap´ıtulo, o Teorema de Pixton. Vamos primeiramente enunciar o teorema, para logo em seguida prov´a-lo usando a proposi¸c˜ao anterior:
2.2.1 Teorema (Pixton). Seja M uma superf´ıcie, possivelmente com bordo, que mergulha em S2. Para todo r ≥ 1 existe um subconjunto residual R de Diffr
ω(M )
tal que f ∈ R implica que todos os pontos peri´odicos hiperb´olicos de f tˆem pontos homocl´ınicos transversais.
Assumindo a proposi¸c˜ao 2.1.1, procedemos da seguinte maneira para provar o teorema. Seja βn,m o subconjunto de elementos f ∈ Diffωr(M ) para os quais para
cada ponto peri´odico hiperb´olico p de f com per´ıodo menor que n+1 existem pontos p1, p2 ∈ O(p) e curvas γ1 ⊂ Wu(p1, f ) e γ2 ⊂ Ws(p2, f ) de modo que:
(1) p1 ∈ γ1 , p2 ∈ γ
(2) tamanho de (γi) menor que m
(3)γ1\ {p1} possui uma interse¸c˜ao transversal com γ2\ {p2}
Pela proposi¸c˜ao 2.1.1 podemos afirmar que o conjunto S
m≥1βn,m, com n fixo, ´e
denso em Dif fr
ω(M). Resta provar que
S
m≥1βn,m ´e aberto em Dif fωr(M). Seja p
um ponto peri´odico hiperb´olico de f.
Para isso, vamos utilizar um resultado que est´a provado em [8].
2.2.2 Proposi¸c˜ao. Seja (M, ω) uma variedade simpl´etica. Se 1 ≤ r ≤ ∞ ent˜ao o conjunto ̺r(n) =
{f ∈ Diffr
ω : todo ponto peri´odico de per´ıodo menor que n ´e
elementar} ´e aberto e denso em Diffr
ω portanto o conjunto
T∞
p=1̺r(p) ´e um sub-
conjunto residual de Dif fr ω.
Toda fun¸c˜ao f ∈ ̺r(n) possui um n´umero finito de pontos peri´odicos de per´ıodo
menor ou igual a n, pois M ´e compacta e todo ponto peri´odico elementar ´e isolado, um resultado enunciado em [9]. O que nos resta provar ´e que se f ∈ ̺r(n) ent˜ao existe
ǫ > 0 tal que B(f, ǫ) ⊂ ̺r(n). De fato, seja δ > 0 e vamos definir S
n ={p ∈ M : p
ponto peri´odico de f com per´ıodo menor que n}. Seja ˆB =S
p∈SyB(p, δ). Para cada
i∈ {1, ..., n} temos que a fun¸c˜ao d(x, fi(x)) restrita a M− ˆB assume um m´ınimo, que
´e diferente de 0 pois M− ˆB n˜ao possui pontos peri´odicos de per´ıodo menor ou igual a n. Se tomarmos g suficientemente pr´oxima de f podemos garantir que g tamb´em n˜ao ter´a pontos peri´odicos de per´ıodo menor ou igual a n em M − ˆB. Da mesma maneira, se δ for suficientemente pequeno e g suficientemente pr´oxima a f podemos garantir que g ter´a o mesmo n´umero de pontos peri´odicos hiperb´olicos que f em ˆB e tamb´em o mesmo n´umero de pontos peri´odicos elementares , sempre restringindo o per´ıodo. Como a propriedade de possuir uma interse¸c˜ao homocl´ınica ´e aberta para cada ponto peri´odico hiperb´olico e o n´umero de pontos peri´odicos hiperb´olicos de f com per´ıodo menor que n + 1 ´e finito, temos que o conjunto S
m≥1βn,m ´e aberto,
como quer´ıamos demonstrar. Portanto, temos que o conjunto T
n≥1(
S
m≥1βn,m) ´e
Cap´ıtulo 3
Pontos Homocl´ınicos na
Vizinhan¸ca de Pontos Quase
El´ıpticos
Nessa se¸c˜ao apresentaremos o resultado principal dessa disserta¸c˜ao, que garante que existe um subconjunto residual B ⊂ Diffr
ω(M ) tal que se f ∈ B ent˜ao todo
ponto quase el´ıptico de f ´e tamb´em limite de pontos homocl´ınicos transversais de f . Para provar esse teorema ser´a necess´ario usar os diversos resultados apresentados at´e aqui, assim como alguns outros que por serem mais diretamente ligados `a prova desse teorema, decidimos apresentar diretamente nessa se¸c˜ao.
Antes de prosseguirmos devemos apresentar algumas defini¸c˜oes que nos servir˜ao ao longo desse cap´ıtulo. Vamos considerar M como sendo uma variedade dife- renci´avel cuja dimens˜ao ´e 2n, enquanto ω ´e uma forma simpl´etica definida nessa variedade. Dif fr
ω(M ) ´e o conjunto dos difeomorfismos de classe Cr em M que pre-
servam a forma simpl´etica ω. Agora vamos definir um ponto peri´odico quase el´ıptico de uma fun¸c˜ao.
3.0.3 Defini¸c˜ao. Dizemos que p ´e um ponto peri´odico quase el´ıptico de per´ıodo τ para uma fun¸c˜ao f se temos que a aplica¸c˜ao Dfτ(p) possui no m´ınimo um autovalor
3.1
Fun¸c˜oes Semicont´ınuas
Agora vamos proceder fornecendo diversas defini¸c˜oes relacionadas ao conceito de se- micontinuidade superior e inferior de fun¸c˜oes cujo dom´ınio ´e um espa¸co topol´ogico qualquer enquanto o contradom´ınio ´e o conjunto de subconjuntos compactos de uma variedade M . Esses conceitos ser˜ao usados na demonstra¸c˜ao do Teorema principal, visto que uma das fun¸c˜oes que vamos definir posteriormente ´e semicont´ınua inferi- ormente.
Lembramos que a distˆancia de Hausdorff entre dois conjuntos compactos ´e defi- nida por
dH(Λ, Γ) = inf{ǫ > 0 : Λ ⊆ Bǫ(Γ) e Λn ⊆ Bǫ(Λ)}.
Denotamos por Pc(M ) o espa¸co dos subconjuntos compactos de M , munido da
topologia induzida pela m´etrica de Hausdorff. Seja X um espa¸co topol´ogico. Uma fun¸c˜ao a valores em conjuntos Φ : X → Pc(M ) ´e inferiormente semicont´ınua em
f ∈ X se, para cada conjunto aberto U ⊂ M, se tem que Φ(f) ∩ U 6= ∅ implica que Φ(g)∩ U 6= ∅, para todo g pr´oximo de f. Da mesma maneira, dizemos que Φ ´e superiormente semicont´ınua em f ∈ X se, para cada conjunto compacto K ⊂ M, se tem que Φ(f )∩ K = ∅ implica que Φ(g) ∩ K = ∅, para todo g pr´oximo de f. Dizemos que Φ ´e inferiormente semicont´ınua se ela ´e inferiormente semicont´ınua em todo f ∈ X .
3.1.1 Lema. ([3, p. 71]) Se Φ : X → Pc(M ) ´e uma fun¸c˜ao inferiormente semi-
cont´ınua ent˜ao existe um subconjunto residual deX onde Φ ´e tamb´em superiormente semicont´ınua.
Uma fun¸c˜ao que seja semicont´ınua superiormente e inferiormente em um deter- minado ponto ´e cont´ınua nesse ponto. De fato, provaremos esse resultado a seguir: 3.1.2 Lema. Seja φ uma fun¸c˜ao que seja ao mesmo tempo semicont´ınua inferior- mente e superiormente em f . Ent˜ao φ ´e cont´ınua em f .
Prova: Primeiramente vamos provar que para todo ǫ maior que 0 existe um δ1
g ∈ Bδ1(f )⇒ Bǫ(φ(f ))
De fato, como M ´e compacta e Bǫ(φ(f )) ´e aberto temos que (Bǫ(φ(f ))C ´e com-
pacto. Por defini¸c˜ao temos que
φ(f )∩ (Bǫ(φ(f )))C =∅
O que implica que
φ(g)∩ (Bǫ(f (x)))C =∅
para g suficientemente pr´oximo de f , pois φ ´e superiormente semicont´ınua, o que prova o que desej´avamos. Resta provar que existe δ2 > 0 tal que
g ∈ Bδ2(f )⇒ φ(f) ⊂ Bǫ(g)
Seja p ∈ φ(f). Obviamente temos que
Bǫ(p)∩ φ(f) 6= ∅
Pela semicontinuidade inferior de φ em f temos que φ(g)∩ Bǫ(p) 6= ∅
Agora a ´unica maneira de nosso resultado n˜ao ser verdadeiro ´e se existir uma sequˆencia de pontos (pn), com pn∈ φ(f) para todo n e uma sequˆenciade fun¸c˜oes gn
de modo que : d(f, g) < 1 n ⇒ Bǫ(pn)∩ φ(g) 6= ∅ mas d(f, gn) > 2 n e Bǫ(pn)∩ φ(gn) =∅.
Mas nesse caso, passando uma subsequˆencia se necess´ario, ter´ıamos que pn → p
e p∈ φ(f) pois φ(f) ´e compacto. Obviamente ter´ıamos que Bǫ(p)∩ φ(f) 6= ∅.
Mas tamb´em seria verdade que para todo δ > 0 existiria g com d(f, g) < δ
e Bǫ(p)∩ φ(g) = ∅
o que contraria a continuidade inferior de φ.
Portanto tomando δ = min{δ1, δ2} temos que d(f, g) < δ implica d(φ(f), φ(g)) <
ǫ, o que termina a prova da continuidade de φ em f .