5.2 Evolution à masse et moment cinétique constants
5.2.1 Evolution des paramètres stellaires de surface
Concentrons nous, dans un premier temps, sur l’évolution des paramètres stel-laires de surface au cours de la séquence principale pour un modèle ESTER 2D de 5 Md, à deux métallicités différentes Z “0.02etZ “10´3 (typique des étoiles de la population II), et avec une vitesse angulaire initiale égale à 50% de la vitesse angulaire critique. Les étoiles de cette masse ayant une accélération radiative négligeable à leur surface, leur vitesse angulaire critique est considérée comme étant la vitesse angulaire képlérienneΩK (voir Sect.2.5). Lorsque cette vitesse angulaire critique est atteinte,ω ne peut plus augmenter (sinon l’étoile n’est plus liée gravitationnellement), et l’étoile doit perdre du moment cinétique pour rester en rotation sous-critique. Nous suppo-sons que cette perte de moment cinétique résulte d’une perte de masse mécanique à
PRÉCOCE AU COURS DE LA SÉQUENCE PRINCIPALE
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
R/RO•
Xcore/X0 Req at Z= 0.02
Req at Z= 10-3 Rp at Z= 0.02 Rp at Z= 10-3
Figure 5.1: Rayon équatorial et rayon polaire en fonction de la fraction massique d’hydrogène dans le cœur convectif pour un modèle ESTER de5Mddont la rotation initiale est telle que ωi“0.5, pour Z “0.02et Z “10´3. L’évolution du rayon dans le cas sans rotation est représentée en traits pleins et pointillés noirs, respectivement pourZ “0.02et 10´3. Source : Gagnier et al. (2019b).
l’équateur (e.g., Okazaki, 2004; Krtička et al., 2011). Pour décrire l’évolution sécu-laire de ces modèles, nous nous concentrons sur l’évolution du rayon équatorial et du rayon polaire, respectivementReq etRp, le rapport entre vitesse angulaire équatoriale vitesse angulaire képlérienne ω, l’aplatissement de la surface “1´Rp{Req, et la vi-tesse équatorialeVeq “ReqΩeq. Les figures5.1,5.2,5.4, et5.5représentent l’évolution de ces quantités au cours de la séquence principale.
Evolution du rayon stellaire
Il est bien connu que le rayon stellaire moyen augmente pendant l’évolution sécu-laire sur la séquence principale, les modèles les moins métalliques étant plus compacts (e.g. Yoon et al., 2006; Ekström et al., 2011). De plus, lorsqu’il s’agit de modèles en rotation, la force centrifuge se traduit par une tendance à éloigner les particules fluides de l’axe de rotation. Son amplitude étant proportionnelle à la distance à l’axe de ro-tation, elle est nulle aux pôles et maximale à l’équateur. En effet, dans le cas général, la gravité effective s’écrit
geff ”∇ψ ´Ω2ses , (5.2)
PRÉCOCE AU COURS DE LA SÉQUENCE PRINCIPALE
0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66
0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
ω
Xcore/X0 Z= 0.02
Z= 10-3
Figure 5.2: Evolution du rapport entre vitesse angulaire équatoriale et vitesse an-gulaire képlérienne ω “ Ωeq{ΩK, pour les mêmes modèles que ceux représentés en Fig. 5.1. Source : Gagnier et al. (2019b).
où s est la coordonnée radiale cylindrique, et ψ est le potentiel gravitationnel. Si la vitesse angulaire Ω n’est fonction que de la distance à l’axe de rotation (rotation différentielle géostrophique, voir Sect. 6.2), alors nous pouvons écrire
geff “ ´∇φ , (5.3)
où
φ“ψ` ż
Ω2sds . (5.4)
Si l’on se place maintenant dans le cas particulier d’un profil de vitesse angulaire en coquilles, c’est-à-dire le cas ou la vitesse angulaireΩest constante sur les surfaces isobares Ω“ΩpPq, alors
φ1 “ψ` 1
2ΩpPq2s2 . (5.5)
n’est plus un potentiel, mais coïncide toujours avec les surfaces isobares (Meynet
& Maeder, 1997). En première approximation, la surface d’une étoile à la vitesse angulaire critique peut être décrite en supposant que toute la masse est concentrée en son centre en adoptant le modèle de Roche, qui simplifie grandement l’expression de la force gravitationnelle. La gravité effective s’écrit alors
PRÉCOCE AU COURS DE LA SÉQUENCE PRINCIPALE
0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06
2.5 3 3.5 4 4.5 5
I/MR2
R/RSUN
Figure 5.3: Evolution du rapport A“I{pM R2qen fonction du rayon stellaire pour une étoile de 5 Md tournant initialement à ωi “ 0.1 et avec Z “ 0.02. Le “fit”
approximatif est représenté par la courbe noire et donne A9R´0.76. Source :Gagnier et al. (2019b).
geff “ ´GM
r2 er`Ω2ses . (5.6)
Si l’on considère maintenant que la vitesse angulaire équatoriale est égale à la vitesse angulaire képlérienne (2.21), il vient, à la surface et à l’équateur
φ1pReq, π{2q “ ´3 2
GM Req
, (5.7)
et aux pôles
φ1pRp,0q “ ´GM Rp
. (5.8)
Ainsi, à la vitesse angulaire critique, dans la limite du modèle de Roche et en faisant l’hypothèse d’une rotation en coquilles (ou d’une rotation uniforme)
Req “ 3
2Rp . (5.9)
La Fig. 5.1 représente l’évolution du rayon polaire et du rayon équatorial pour les modèles considérés sur la séquence principale, en fonction de la fraction massique
PRÉCOCE AU COURS DE LA SÉQUENCE PRINCIPALE
0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18
0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
ε
Xcore/X0 Z= 0.02
Z= 10-3
Figure 5.4: Evolution de l’aplatissement de la surface“1´Rp{Req, pour les mêmes modèles que ceux représentés en Fig. 5.1. Source : Gagnier et al.(2019b).
d’hydrogène dans le cœur convectif. Nous notons qu’en effet, le rayon équatorial est toujours plus grand que le rayon polaire, et que les étoiles sont plus compactes et se dilatent plus lentement à métallicité réduite. Nous remarquons aussi que l’évolution du rayon polaire est quasi-indépendante de la vitesse de rotation du modèle, ce qui s’explique simplement par le fait que la force centrifuge est nulle aux pôles.
Evolution de la rotation de surface
L’évolution du rapport des vitesses angulaires ω “ Ωeq{ΩK est représentée en Fig. 5.2. Il apparaît que cette quantité augmente au cours de la séquence principale.
Cette caractéristique peut être facilement expliquée. En effet, en supposant une rota-tion lente, donc un faible aplatissement et une faible rotarota-tion différentielle, le moment d’inertie de l’étoile peut s’écrire
I “ ż
r2dm“AM R2, (5.10)
oùA contrôle la répartition de la masse dans l’intérieur stellaire. PlusA est petit, et plus la masse de l’étoile est concentrée en son centre. Nous représentons l’évolution de cette quantité en fonction du rayon de l’étoile au cours de la séquence principale, pour un modèle ESTER 2D de 5 Md ayant une rotation initiale ωi “ 0.1 et pour Z “ 0.02, en Fig. 5.3. Un “fit” approximatif de cette courbe montre que A9R´0.76.
PRÉCOCE AU COURS DE LA SÉQUENCE PRINCIPALE
Figure 5.5: Evolution de la vitesse équatoriale et de la vitesse angulaire équatoriale, pour un modèle ESTER de 5 Md dont la rotation initiale est telle que ωi “ 0.5, et avec Z “0.02. Source : Gagnieret al. (2019b).
Ainsi, tandis que l’étoile évolue sur la séquence principale, sa masse devient de plus en plus concentrée en son centre. De plus, dans cette section nous considérons une évolution à moment cinétique L “ AM R2Ω constant, ce qui signifie qu’à mesure que l’étoile se dilate, Ω décroît commeR´1.24. Ωdiminue donc plus lentement que la vitesse angulaire képlérienne qui elle est proportionnelle àR´3{2 (voir Eq.2.50). Ainsi, la tendance naturelle de l’évolution de la rotation est une augmentation deω, c’est-à-dire une augmentation du degré de criticité au cours de la séquence principale. Aussi, à mesure que ω augmente, la contribution de la force centrifuge à la gravité effective augmente (voir Eq. 5.2), ce qui a pour effet d’augmenter le taux d’aplatissement de l’étoile “ 1´Rp{Req, le rayon polaire n’étant pas affecté par la force centrifuge.
L’évolution de l’aplatissement de l’étoile est représenté en Fig. 5.4. La métallicité joue également un rôle dans l’évolution de ω : comme mentionné précédemment, une étoile moins métallique se dilate plus lentement (voir Fig. 5.1), la vitesse angulaire képlérienne ΩK diminue ainsi moins rapidement, entraînant une augmentation plus lente de ω.
A ce stade, il est important de souligner le fait que l’augmentation de ω au cours de la séquence principale n’implique pas que la vitesse de rotation de l’étoile augmente. En réalité, c’est même l’inverse jusqu’au “crochet” (hook en anglais) à la fin de la séquence principale. Nous illustrons cela en Fig. 5.5. Après le crochet, la production d’énergie nucléaire ne permet plus de compenser l’énergie rayonnée par
PRÉCOCE AU COURS DE LA SÉQUENCE PRINCIPALE
l’étoile. Cela entraîne sa contraction (Iben, 1967), et par conservation du moment cinétique, l’augmentation de sa vitesse angulaire équatorialeΩeq.