Couches verticales de cisaillement

Dans la section précédente, nous avons présenté les propriétés caractéristiques des couches limites horizontales d’Ekman, dans lesquelles l’amplitude de la force de Coriolis devient comparable à celle des forces visqueuses. Nous avons aussi vu que ces couches limites influent sur l’écoulement dans l’intérieur (quasi-)géostrophique de par la nécessité d’un écoulement de succion ou de pompage, perpendiculaire aux pa-rois. L’amplitude de cette vitesse verticale est d’ordreE^1{2 lorsque les conditions aux

Figure 6.9: Représentation des couches de Stewartson imbriquées et de la couche d’Ekman interne, ainsi que leur épaisseur, dans une configuration de coquilles sphé-riques concentsphé-riques pour des conditions aux limites de non-glissement au niveau de la coquille externe (gauche, Marcotte et al., 2016), et dans une configuration de cylindres concentriques (droite, basé sur la figure 2.17 de Greenspan, 1968).

limites portent sur la vitesse tangentielle, et pas sur leur dérivée verticale (compa-rer 6.35 et 6.50). Nous avons montré que l’étude des couches d’Ekman planes peut être généralisée aux couches limites horizontales inclinées et sphériques. Cependant, si elles sont localement parallèles à l’axe de rotation, nous avons vu que la théo-rie échoue du fait de l’apparition d’une singularité. Lorsque que cela arrive, nous avons vu que l’épaisseur des couches d’Ekman en ces points singuliers est modifiée (OpE^1{2q Ñ OpE^2{5q). Dans cette section, nous étudierons brièvement un second effet de la présence de cette singularité, à savoir l’apparition de couches de cisaillement imbriquées, dont l’ensemble est appelé couche de Stewartson (Stewartson,1966), tan-gente à la singularité des couches d’Ekman, et dont les propriétés sont plus compli-quées que celles des couches limites horizontales. La formation de ces couches imbri-quées est en réalité nécessaire pour plusieurs raisons. La première est qu’elle permet le transfert de fluide d’une couche d’Ekman à une autre. La seconde dépend de la géo-métrie de la configuration : pour des cylindres concentriques, les couches imbriquées doivent permettre à l’écoulement géostrophique interne, de satisfaire les conditions aux limites au niveau des parois verticales, pour des coquilles concentriques, elles doivent permettre de supprimer une singularité dans le gradient de vitesse angulaire et de lisser une discontinuité dans la dérivée de la vorticité. La couche de Stewart-son est représentée schématiquement en Fig. 6.9, dans les configurations de coquilles sphériques concentriques, et de cylindres concentriques.

Pour simplifier le problème, plaçons nous dans la configuration des cylindres concentriques où nous forçons une rotation différentielle entre les deux cylindres∆Ω“ Op1q, et prenons la composante verticale de l’équation du mouvement incompressible (6.17), à l’état stationnaire

Bp

Bz “E∆pez¨uq. (6.58)

La composante verticale de l’équation de la vorticité (6.18), à l’état stationnaire s’écrit quant à elle

´ B

Bzpez¨uq “E∆`

ez¨ p∇ˆuq˘

, (6.59)

où nous avons utilisé l’équation de continuité ∇ ¨u “ 0. Il est alors possible de combiner ces deux équations, pour obtenir

B²p

Bz² `E<sup>2</sup>∇<sup>4</sup>`

ez¨ p∇ˆuq˘

“0 , (6.60)

et enfin, nous utilisons la divergence de l’équation stationnaire du mouvement

ez¨ p∇ˆuq “∇²p , (6.61)

qui une fois insérée dans (6.60) donne l’équation différentielle de degré 6 pour la pression (expression aussi formulée parGreenspan,1968; Hopfinger,1992)

B²p

Bz² `E²∇⁶p“0 , (6.62)

qui représente un équilibre entre la force de Coriolis et les forces visqueuses. A partir de cette équation, nous allons maintenant retrouver l’épaisseur caractéristique des deux couches imbriquées de Stewartson, ainsi que l’amplitude des vitesses dans ces couches, en fonction du nombre d’Ekman.

6.4.1 La couche d’épaisseur E

Supposons qu’il existe une couche verticale d’épaisseur OpE^αqR, où R est le rayon du cylindre externe et ηR celui du cylindre interne, tangente à ce dernier, et dans laquelle les effets visqueux dominent. Introduisons maintenant la coordonnée cartésienne sans dimension étirée et d’ordreOp1q, x˜“E^´αx avecx“s´ηtelle que la dérivée radiale cylindriqueBs “E^´αB˜x. Nous considérerons aussi que l’écoulement

est axisymétrique. Enfin, nous nous plaçons dans la limite asymptotique des petits nombres d’Ekman E ! 1. Ne gardant que les termes dominants, l’équation (6.62) peut alors être réécrite

B²p

Bz² `E^2´6αB⁶p

Bx˜⁶ “0 . (6.63)

Pour que les termes soient en équilibre, il faut alors α “1{3. Ainsi, il peut exis-ter une couche verticale de cisaillement d’épaisseur OpE^1{3q (e.g., Greenspan, 1968).

De plus, comme mentionné plus haut, au moins une des couches imbriquées de Ste-wartson doit contenir l’écoulement de pompage/succion, permettant un transfert de masse entre les deux couches d’Ekman. D’après (6.35) et (6.52), la vitesse verticale de pompage associée est

oùuy est la vitesse géostrophique dans le cylindre, d’ordreOp1q. Supposons que dans cette couche d’épaisseurOpE^1{3q, il existe un écoulement vertical d’amplitudeOpE^βq, il faut alors que OpE^βq “ OpE^1{2´1{3q, c’est-à-dire β “1{6. Ainsi, l’amplitude de la vitesse verticale uz dans cette couche est OpE^1{6q. L’équation de continuité dans la couche limite s’écrit quant à elle

E^´1{3Bux

Bx˜ ` Buz

Bz “0 , (6.65)

et l’équilibre des deux termes impliqueux “OpE^1{2q. Projetons maintenant l’équation du mouvement dans les trois directions, x, y, et z. Il vient

$

Une nouvelle fois, l’équilibre des différents termes implique que uy “ OpE^1{6q, et que p “ OpE^1{2q. Notons que l’équation (6.66c) implique que l’écoulement dans cette couche verticale est agéostrophique, car la pression dépend de la coordonnée verticale. Notons aussi que la vitesse azimutale uy imposée à l’intérieur du cylindre estOp1q, et la couche considérée ne permet pas la reconnexion de la vitesse azimutale

avec l’écoulement intérieur. La couche d’épaisseurOpE^1{3qn’est donc clairement pas suffisante pour décrire entièrement la couche de Stewartson.

6.4.2 La couche d’épaisseur E

Considérons maintenant une seconde couche verticale de cisaillement dans la-quelle, pour permettre une reconnexion avec l’écoulement géostrophique intérieur, la vitesse azimutale uy “ Op1q. Comme pour l’étude de la couche d’épaisseur E^1{3, nous introduisons la coordonnée cartésienne sans dimension étirée et d’ordre Op1q,

˜

x “ E^´γx avec x “ s´η telle que la dérivée radiale cylindrique Bs “ E^´γBx˜. Les termes dominants de l’équation de la pression (6.62) donnent

B²p

Bz² `E^2´6γB⁶p

B˜x⁶ “0. (6.67)

Évidemment, γ ne peut pas être égal à 1{3 et deux cas se présentent à nous. Si γ ą1{3 alors le second terme domine, et (6.67) devient

B⁶p

Bx˜⁶ “0 . (6.68)

Cette condition ne peut cependant pas satisfaire à la fois les conditions aux limites pour uy, tout en assurant que p tende vers 0 loin de la couche verticale considérée.

Ainsi, γ est nécessairement plus petit que 1{3. Dans ce cas, (6.67) devient, dans la limite asymptotique E !1

B²p

Bz² “0 . (6.69)

Comme pour l’étude de la couche d’épaisseurOpE^1{3q, nous projetons maintenant l’équation du mouvement dans les trois directions,x, y, et z. Il vient

$

’’

’’

’’

&

’’

’’

’’

%

´uy “ ´E^´γBp

B˜x `E^1´2γB²ux

B˜x² , ux “E^1´2γB²uy

B˜x² , 0“ ´Bp

Bz `E^1´2γB²uz

B˜x² ,

(6.70)

et l’équation de continuité s’écrit

E^´γBux

B˜x `Buz

Bz “0 . (6.71)

Rappelons que nous imposons uy “Op1q, alors d’après (6.70b), ux “OpE^1´2γq, et d’après (6.71), uz “OpE^1´3γq. De plus, vu que γ ă1{3, le premier terme du côté droit de (6.70a) domine sur le second. Ainsi, p“OpE^γq, et donc (6.70c) se réduit à

Bp

Bz “0 , (6.72)

à l’ordre le plus bas. Ainsi, l’écoulement dans la couche d’épaisseur OpE^γqest quasi-géostrophique. Enfin, faisons le même exercice que dans la section précédente en faisant l’hypothèse que cette couche participe au transfert de masse entre les deux couches d’Ekman, c’est-à-dire que OpE^1´3γq “ OpE^1{2´γq. Il vient γ “ 1{4, donc ux “OpE^1{2q etuz “OpE^1{4q dans cette couche verticale d’épaisseur OpE^1{4q.

6.4.3 La couche d’épaisseur E

De la même manière, il est possible de montrer que dans le cas d’une géométrie coquilles sphériques, il existe une couche supplémentaire localisée dans le cylindre de rayon sans dimension η et parallèle à l’axe de rotation. Contrairement à la couche d’épaisseurOpE^1{4q, celle-ci est située au dessus de la coquille interne (cf Fig.6.9), et est donc dépendante de sa géométrie.

La détermination de son épaisseur est, pour l’essentiel, identique au cas précé-dent. Nous introduisons une nouvelle fois la coordonnée cartésienne sans dimension étirée et d’ordre Op1q, x˜ “ E^´ξx avec x “ s´η telle que la dérivée radiale cylin-drique Bs “ E^´ξB˜x. Nous choisissons, comme dans la section précédente, uy “ Op1q afin de permettre une reconnexion avec l’écoulement géostrophique dans le cylindre tangent à la coquille interne. Ainsi, en suivant les mêmes étapes que pour l’étude de la couche d’épaisseur OpE^1{4q, nous trouvons, une nouvelle fois, ux “ OpE^1´2ξq, uz “OpE^1´3ξq, p“OpE^ξq, et Bp{Bz “0. Ainsi, la couche d’épaisseur OpE^ξq est elle aussi quasi-géostrophique. Enfin, et contrairement au cas précédent, nous considérons les effets géométriques associés à la coquille interne, dans l’expression de l’amplitude de l’écoulement de pompage/succion d’Ekman. En effet, dans cette couche, la hauteur de la coquille interne z n’est plus nécessairement Op1q, et d’après (6.35) et (6.52),

˜ uz “O

˜E^1{2

?z E^´ξBx˜u0

¸

. (6.73)

Notons que si l’on considère que z “Op1q, nous retrouvons la solution pour une couche d’épaisseur OpE^1{4q. Si l’on considère la géométrie de la coquille interne dans cette couche, et que l’on se place dans la limite asymptotique des petits nombres d’Ekman, l’équation du contour de la coquille interne s²`z² “η² donne

?z “ pη² ´s²q^1{4

“ ´

´

2E^ξη²x˜`E^2ξx˜²

¯1{4

» ´p2E^ξη²xq˜ ^1{4

“OpE^ξ{4q ,

(6.74)

où nous avons utilisé le fait que ξ ă 1{3 et s ď η. Ainsi, l’écoulement de pom-page/succion d’Ekman a pour amplitude

˜

uz “OpE^{1{2´ξ´ξ{4}q . (6.75)

Enfin, faisons encore une fois l’hypothèse que cette couche participe au transfert de masse entre les deux couches d’Ekman, c’est à dire queOpE^1´3ξq “ OpE^{1{2´ξ´ξ{4}q.

Il vient ξ“2{7. Ainsi, dans la couche d’Ekman d’épaisseur OpE^2{7q localisée dans le cylindre tangent à la coquille interne, ux “OpE^4{7q, uz “OpE^1{7q, et p“OpE^2{7q.

Pour finir cette section, il est important de préciser que l’existence de la couche centrale d’épaisseur OpE^1{3q dans laquelle la force de Coriolis et la force de viscosité sont en équilibre, ne dépend pas des conditions aux limites imposées. En revanche, l’existence des couches quasi-géostrophiques d’épaisseur OpE^2{7q et OpE^1{4) en dé-pend. En effet, lorsque, par exemple, l’on impose un stress horizontal au niveau de la coquille externe, l’équilibre caractéristique de la couche E^1{4, c’est-à-dire l’équilibre entre l’écoulement de pompage/succion d’Ekman et le frottement associé à la vitesse azimutale d’ordreOp1q, est en place dans toute la région externe au cylindre tangent.

Cette couche de cisaillement n’a donc pas lieu d’exister. Dans cette configuration, la couche quasi-géostrophique d’épaisseur OpE^2{7q existe cependant, mais l’écoulement qui la caractérise n’est pas celui présenté dans cette section. La configuration où l’on impose une conditions limite sur la dérivée radiale de la vitesse azimutale est présentée dans le chapitre7.