Couche limite sphérique

Augmentons maintenant légèrement la complexité du problème en considérant une paroi sphérique. Cette dernière n’est ainsi plus perpendiculaire à l’axe de rotation (à l’exception des pôles). Il est assez simple de montrer que les couches d’Ekman ont aussi une épaisseur Op?

Eq pour cette géométrie en appliquant le principe de

2. Notons que l’emploi des termesdownwellingetupwellingpeut être trompeur. En effet, lorsque le fluide se situe sous la couche d’Ekman, l’écoulement de pompage d’Ekman est appelédownwelling tandis qu’il est appelé upwelling lorsque le fluide se situe au dessus de la couche d’Ekman (et inversement pour l’écoulement de succion d’Ekman).

Contrainte anticyclonique Contrainte cyclonique

Transport d'Ekman

Upwelling Downwelling

Figure 6.6: Schéma illustrant le sens de l’écoulement de pompage d’Ekman en fonc-tion de la nature cyclonique ou anticyclonique de la contrainte horizontale générée par un vent à la surface des océans dans l’hémisphère nord. Reproduit à partir de la Fig. 2 de Beesley et al.(2008).

moindre dégénérescence aux équations du mouvement. Cette fois, nous développons les quantités dynamiques en puissances du petit paramètre?

E. Il vient u“u0`u˜0`

?Epu1`u˜1q `Epu2`u˜2q `... , p“p₀`p˜0`

?Epp₁`p˜1q `Epp₂`p˜2q `... , (6.36) où les variables surplombées d’une barre sont associées à l’écoulement interne, et le symbole tilde est associé aux corrections de la couche limite d’Ekman. Du fait de l’équilibre géostrophiqueezˆu “ ´∇p, l’équation du mouvement stationnaire s’écrit

`8

ÿ

n“0

ezˆE^n{2u˜n“

`8

ÿ

n“0

E^n{2“

´∇p˜n`E∆pun`u˜nq‰

, (6.37)

où n PN. Nous gardons maintenant uniquement les termes OpE^m{2q dans (6.37), où mP N, et nous introduisons la coordonnée étirée de couche limiteζ “ p1´rq{?

E, il vient

ezˆu˜m “ ´Bp˜m`1

Bζ n` B²u˜m

Bζ² . (6.38)

Figure 6.7: Vitesse verticale d’Ekman (en mètres par an) résultant du vent à la surface des océans. L’écoulement est dirigé vers la surface (upwelling) dans les zones vertes, et vers le fond (downwelling) dans les zones marrons. Source : Beesley et al.

(2008).

oùn”er est le vecteur unitaire perpendiculaire à la paroi et dirigé vers l’extérieur, dans l’hémisphère supérieur. Une simple manipulation vectorielle de (6.38), et le fait quen¨ pum`u˜mq “ 0dans la couche d’Ekman, donne la composante tangentielle du champ de vitesses d’ordre OpE^m{2q

B²

Bζ²pnˆu˜m`iu˜mq “ ipn¨ezqpnˆu˜m`iu˜mq , (6.39) dont la solution est

pnˆu˜m`iu˜mq “ pnˆu˜m`i˜umqζ“0exp´

´ζa

i|n¨ez|

¯

. (6.40) Enfin, nous sommons (6.40) sur m P N pour obtenir la composante du champ de vitesses tangentielle à la paroi dans la couche limite d’Ekman (Greenspan, 1965;

Rieutord,2015)

nˆu˜`i˜u“Cexp´

´ζa

i|n¨ez|

¯

, (6.41)

oùC est un vecteur complexe défini comme

C “ pnˆu˜`i˜uqζ“0 . (6.42) En utilisant la condition d’imperméabilité de la paroi n¨ pu`uq “˜ 0 à ζ “0, (6.41) implique que

˜

uθ`ipuφ´uφq “ Cexp´

´ζa

i|cosθ|¯

. (6.43)

Rappellons que uφ est la solution géostrophique de la vitesse azimutale, elle est donc indépendante de la coordonnée parallèle à l’axe de rotation z, c’est-à-dire uφ “ uφpsq. La fonction C est telle que (6.43) satisfait les conditions aux limites au niveau de la paroi. Prenons, par exemple, la condition de stress horizontal nul

B Br

ˆu˜θ`iuφ

r

˙ˇ ˇ

ˇr“1 “0. (6.44)

Nous obtenons alors simplement

Cpθq “ p1`iq cE

2Γpθq (6.45)

où

Γpθq “ uφpsinθq ´sinθu¹_φpsinθq

a|cosθ| , (6.46)

et le prime indique une dérivée vis-à-vis de la coordonnée radiale cylindrique s “ rsinθ. La vitesse latitudinale dans la couche limite d’Ekman est alors obtenue en prenant la partie réelle de (6.43). Il vient

˜ uθ “

cE

2Γpθqpcosξ`sinξqe^´ξ , (6.47) oùξ”ζa

|cospθq|{2. De la même manière, la vitesse azimutale dans la couche limite d’Ekman est obtenue en prenant la partie imaginaire de (6.43). Il vient

˜ uφ“

cE

2Γpθqpcosξ´sinξqe^´ξ . (6.48) Comme dans la section précédente pour l’étude de la couche limite d’Ekman plane, le champ des vitesses tangentielles dans la couche limite d’Ekman ne satisfait

pas la conservation de la masse, et l’équation de conservation de la masse dans la

où nous avons simplifié le problème en considérant que l’écoulement est axisymétrique par rapport à l’axe de rotation. Ainsi, la divergence de la vitesse dans la couche d’Ekman u˜ induit un écoulement de faible amplitude et normal à la paroi. Nous intégrons cette équation en utilisant la condition d’imperméabilité de la paroi, et le fait que limζÑ8u˜r “ 0. De plus, nous considérons que θ P r0, π{2s, c’est-à-dire

Notons que l’écoulement de pompage/succion d’Ekman est ici d’ordreOpEq, tan-dis que nous avionsu˜z “Op?

Eqen Sect.6.3.1pour l’étude de la couche limite plane.

Ce n’est cependant pas la géométrie de la couche d’Ekman (plane ou sphérique) qui induit cette différence d’amplitude, mais le fait que nous ayons imposé des conditions aux limites différentes : non-glissement pour la couche plane, et glissement sans frot-tement ici. Nous discuterons ce point plus en détail, et montrerons le rôle crucial des conditions aux limites sur l’écoulement interne dans le chapitre 7.

Ici, la condition limite (6.44) donne donc lieu à une vitesse tangentielle d’am-plitude Op?

Eq, qui elle même génère un écoulement radial d’amplitude OpEq. Il est intéressant de remarquer que dans cette configuration de couche limite d’Ekman sphérique, son épaisseur est

dans l’hémisphère supérieur (oùz ě0).

Ainsi, la couche d’Ekman s’épaissit pour des colatitudes croissantes, et tout comme la solution du champ de vitesses, la relation (6.52) est singulière au voisinage

de l’équateur (θÑπ{2). Le problème de la singularité équatoriale de la couche d’Ek-man est complexe et nous ne rentrerons pas dans les détails dans ce d’Ek-manuscrit (voir Marcotte et al., 2016, pour son étude analytique et numérique). Nous pouvons tout de même dire quelques mots sur l’echelle de longueur de son épaisseur. En effet, consi-dérons un fluide contenu dans une coquille sphérique de rayon1, et plaçons nous dans un référentiel cartésien en rotation avec cette dernière et dont l’origine est l’équateur de la sphère (c’est-à-dire x“s´1, cf Fig.6.8). L’équation du contour de la coquille, donc l’équation du cercle de rayon1est simplements²`z² “1. Proche de l’équateur, c’est-à-dire pourz !1, cette équation peut être écrites “?

1´z² »1´z²{2. Ainsi, dans cette région équatoriale, l’équation du contour de la coquille peut s’écrire

x» ´z²

2 . (6.53)

Nous introduisons maintenant les coordonnées

˜

x“E^´αx, et z˜“E^´βz , (6.54)

que nous choisissons comme étantOp1qdans la couche d’Ekman et proche de l’équa-teur (Marcotte et al., 2016), c’est-à-dire que nous choisissons x “ OpE^αq, et z “ OpE^β). Injectons maintenant (6.54) dans (6.53) ; il vient

E^αx˜» ´E^2βz˜²

2 . (6.55)

˜

xetz˜étantOp1q, (6.55) imposeα“2β. De plus, très proche de l’équateur, nous pouvons considérer que la couche d’Ekman est orthogonale au plan équatorial et ainsi x“E^αx˜“OpδEq. En utilisant (6.52), il vientz “E^βz˜“OpE{δ_E²q “OpE{x²q. Nous avons alors

E^β “E^1´2α, et α“2β , (6.56)

c’est-à-dire

z “E^1{5z,˜ et x“E^2{5x ,˜ (6.57) dans la couche d’Ekman et à l’équateur. Ainsi, dans la bande équatoriale de hauteur OpE^1{5q, la couche d’Ekman a pour épaisseur δE “ OpE^2{5q. Une vue schématique des couches d’Ekman et de leur épaisseur est représentée en Fig.6.8. Notons qu’il est logique qu’avec un développement des quantités dynamiques en puissances de E^1{2

Figure 6.8: Vue schématique des couches d’Ekman dont l’épaisseur n’est bien sûr pas à l’échelle, et de la singularité équatoriale. L’écoulement d’upwelling (pompage) et de downwelling (succion) est indiqué, respectivement pour la couche limite externe et interne, dans le cas où la vitesse azimutale dans le référentiel en rotation avec la coquille externe est de signe négatif.

(6.36), cette couche apparaisse d’épaisseur infinie car dans le régime asymptotique des petits nombres d’Ekman, E^2{5´1{2 Ñ 8 (Roberts & Stewartson, 1963; Rieutord, 2015).